1、11.3.2 函数的奇偶性（一）函数的奇偶性（一）引引 例例 1 1已知函数已知函数f(x)=x2,求求f(-2),f(2),f(-1),f(1),及及f(-x),并画出它的图象并画出它的图象解解:f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4f(-2)=f(2)f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1f(-1)=f(1)f(-x)=(-x)2=x2f(-x)=f(x)思考思考:(1)这个函数图象有什么特征吗？这个函数图象有什么特征吗？(2)从解析式上如何体现上述特征？从解析式上如何体现上述特征？偶函数的特征偶函数的特征:解析式的基本特征：解析式的基本特征：f(-x)=f(x)图像特征图像特征:关于
2、关于y轴对称轴对称.如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内的定义域内任意一任意一个个x,都有都有f(-x)=)=f(x),),那么函数那么函数f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数.偶函数的概念偶函数的概念2.已知已知f(x)=x3,画出它的图象画出它的图象,并求出并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及及f(-x)解解:f(-2)=(-2)3=-8,f(2)=8f(-2)=-f(2)f(-1)=(-1)3=-1,f(1)=1 f(-1)=-f(1)f(-x)=(-x)3=-x3 f(-x)=-f(x)思考思考:通过练习通过练习,你发现了什么规律你发现了什么规律?(-x,-y)(x,y
3、)引引 例例 2 2奇函数的特征奇函数的特征:解析式的基本特征：解析式的基本特征：f(-x)=-f(x)图像特征图像特征:关于原点对称关于原点对称.如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内的定义域内任意一个任意一个x,都都有有f(-x)=)=-f(x),),那么函数那么函数f(x)就叫做奇函数就叫做奇函数.奇函数的概念奇函数的概念如果一个函数如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数是奇函数或偶函数,那么那么我们就说函数我们就说函数f(x)具有奇偶性具有奇偶性.奇偶函数图象的性质奇偶函数图象的性质:(2)偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称.反过来反过来,如果如果一个函数的图象关于一个函
4、数的图象关于y轴对称轴对称,那么这个函数那么这个函数为偶函数为偶函数.(1)奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称.反过来反过来,如果如果一个函数的图象关于原点对称一个函数的图象关于原点对称,那么这个函那么这个函数为奇函数数为奇函数.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提要判断函数是否为奇偶函数，首先要求出函数要判断函数是否为奇偶函数，首先要求出函数的定义域，看看函数的定义域是否关于原点对称的定义域，看看函数的定义域是否关于原点对称.a,b-b,-axo奇、偶函数的定义域一定关于原点对称奇、偶函数的定义域一定关于原点对称.例例1.判断下列函数
5、的奇偶性判断下列函数的奇偶性2(1)(23);yxx 定义域不对称的函数无奇偶性，既不是奇定义域不对称的函数无奇偶性，既不是奇函数也不是偶函数。函数也不是偶函数。1(2)(1).1xyxx 例例2.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性 001(1)11;1(2)1;(3)(1)1;(4)2.yxxyxyxy定义域对称的非零常数函数仅是偶函数定义域对称的非零常数函数仅是偶函数,而而零函数既是奇函数又是偶函数零函数既是奇函数又是偶函数.(1)(1)先求函数的定义域；先求函数的定义域；若定义域不是关于原点对称，则函数为非奇非若定义域不是关于原点对称，则函数为非奇非偶函数偶函数.若定义域是关于原点
6、对称若定义域是关于原点对称,进入第二步进入第二步;(2)计算计算f(x)化向化向 f(x)的解析式；的解析式；若等于若等于 f(x),则函数是偶函数则函数是偶函数,若等于若等于f(x),则函数是奇函数则函数是奇函数,若不等于若不等于 ,则函数是非奇非偶函数则函数是非奇非偶函数(3)(3)结论结论.()f x 判定函数的奇偶性的步骤：判定函数的奇偶性的步骤：奇函数奇函数;偶函数偶函数;既奇又既奇又偶函数偶函数;非奇非非奇非偶函数偶函数.根据奇偶性根据奇偶性,函数可函数可划分为四类划分为四类:例3.若函数是偶函数,求m的值.2123fxmxmx例例 4.已已知知函函数数 yf(x)的的图图象象关关
7、于于原原点点对对称称，且且当当 x0 时时，f(x)x22x3.试试求求 f(x)在在 R 上上的的表表达达式式，并并画画出出它它的的图图象象，根根据据图图象象写写出出它它的的单单调调区区间间 f(x)x22x3 x0 0 x0 x22x3 x0 练习：1.已知函数 f(x)为偶函数，且当 x0 时，f(x)_.2.判判断断函函数数奇奇偶偶性性：f(x)x2x，x0.3.(1)如图是奇函数 yf(x)的部分图象，则 f(4)f(2)_.(2)如图是偶函数 yf(x)的部分图象，比较 f(1)与 f(3)的大小的结果为_ 1.1.两个定义两个定义:对于对于f(x)定义域内的任意一个定义域内的任意一个x,如果都有如果都有f(-x)=-=-f(x)f(x)为奇函数为奇函数.如果都有如果都有f(-x)=f(x)f(x)为偶函数为偶函数.一个函数为奇函数一个函数为奇函数它的图象关于原点对称它的图象关于原点对称.一个函数为偶函数一个函数为偶函数它的图象关于它的图象关于y 轴对称轴对称.2.2.两个性质两个性质:3.3.判断函数奇偶性的步骤判断函数奇偶性的步骤 考查函数定义域是否关于原点对称；考查函数定义域是否关于原点对称；判断判断f(-x)f(x)之一是否成立；之一是否成立；
