1、读教材读教材填要点填要点 1反证法反证法 先假设先假设 ，以此为出发点，结合已知条，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)的结论，以说明的结论，以说明 不正确，从而证明原命题成立，我不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法们称这种证明问题的方法为反证法 2放缩法放缩法 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 或或 ，简化不等式，从而达
2、到证明的目的我们把这种方法，简化不等式，从而达到证明的目的我们把这种方法称为放缩法称为放缩法 要证的命题不成立要证的命题不成立矛盾矛盾假设假设放大放大缩小缩小小问题小问题大思维大思维1用反证法证明不等式应注意哪些问题？用反证法证明不等式应注意哪些问题？提示：提示：用反证法证明不等式要把握三点：用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进反证法必须从否定结论进行推理，且必
3、须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法就不是反证法(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的2运用放缩法证明不等式的关键是什么？运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大运用放缩法证明不等式的关键是放大(或
4、缩小或缩小)要适要适当如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母当如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大有时也会把分子、分母同时放则相应分式的值就会放大有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式研一题研
5、一题 例例1设设a，b，c，d都是小于都是小于1的正数，求证：的正数，求证：4a(1b)，4b(1c)，4c(1d)，4d(1a)这四个数不可能都大于这四个数不可能都大于1.精讲详析精讲详析本题考查反证法的应用解答本题若采用本题考查反证法的应用解答本题若采用直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手解决解决 悟一法悟一法 (1)当证明的结论中含有当证明的结论中含有“不是不是”，“不都不都”，“不存在不存在”等等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体 (2)用反证法证明不等
6、式时，推出的矛盾有三种表现形用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式与已知相矛盾，与假设矛盾，与显然成立的事实相式与已知相矛盾，与假设矛盾，与显然成立的事实相矛盾矛盾通一类通一类1已知已知f(x)是是R上的单调递增函数，且上的单调递增函数，且f(a)f(b)f(a)f(b)求证：求证：ab.证明：证明：假设假设ab，则当，则当ab时时ba，于是有于是有f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾与已知矛盾当当ab时，时，ab，于是有，于是有f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾与已知矛盾a1，求证：求证：a、b、c、d中至少有一个是负数中至少有一个是
7、负数 精讲详析精讲详析本题考查本题考查“至多至多”、“至少至少”型命题的证明方型命题的证明方法解答本题应假设法解答本题应假设a、b、c、d都是非负数，然后证明并得都是非负数，然后证明并得出矛盾出矛盾 假设假设a、b、c、d都是非负数，都是非负数，即即a0，b0，c0，d0，则则1(ab)(cd)(acbd)(adbc)acbd，这与已知中这与已知中acbd1矛盾，矛盾，原假设错误，原假设错误，a、b、c、d中至少有一个是负数中至少有一个是负数 悟一法悟一法 (1)在证明中含有在证明中含有“至少至少”、“至多至多”、“最多最多”等字眼时，或等字眼时，或证明否定性命题、惟一性命题时，可使用反证法证
8、明在证证明否定性命题、惟一性命题时，可使用反证法证明在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾然的事实矛盾，也可以自相矛盾 (2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾这个增加的条件，否则将无法推出矛盾 通一类通一类 2已知函数已知函数yf(x)在区间在区间(a，b)上是增函数，求证：上是增函数，求证：yf(x)
9、在区间在区间(a，b)上至多有一个零点上至多有一个零点证明：证明：假设函数假设函数yf(x)在区间在区间(a，b)上至少有两个零点，上至少有两个零点，不妨设不妨设x1，x2(x1x2)为函数为函数yf(x)在区间在区间(a，b)上的两个零上的两个零点，且点，且x1x2，则，则f(x1)f(x2)0.函数函数yf(x)在区间在区间(a，b)上为增函数，上为增函数，x1，x2(a，b)且且x1x2，f(x1)f(x2)，与，与f(x1)f(x2)0矛盾，矛盾，原假设不成立原假设不成立函数函数yf(x)在在(a，b)上至多有一个零点上至多有一个零点 研一题研一题 精讲详析精讲详析本题考查放缩法在证明
10、不等式中的应用，本题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式悟一法悟一法 (1)放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证换，即欲证ab，可换成证，可换成证ac且且cb，欲证，欲证ab，可换成证，可换成证ac且且cb.(2)放缩法是不等式证明中
11、最重要的变形方法之一，放放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标而且要恰到好处，目标往往要从证明的结缩必须有目标而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、论考察常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等比如：行放缩等比如：通一类通一类 反证法和放缩法在高考中单独命题的可能性不大，反证法和放缩法在高考中单独命题的可能性不大，一般以解答题一问的形式出现，但反证法和放缩法是一种一般以解答题一问的形式出现，但反证法和放缩法是一种重要的思维模式，在逻辑推理中有着广泛的应用重要的思维模式，在逻辑推理中有着广泛的应用考题印证考题印证 (2011安徽高考安徽高考)设直线设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数其中实数k1，k2满足满足k1k220.(1)证明证明l1与与l2相交；相交；(2)证明证明l1与与l2的交点在椭圆的交点在椭圆2x2y21上上 命题立意命题立意本题考查直线与直线的位置关系，线线相本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，考查学生推理交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，考查学生推理论证的能力论证的能力点击下图片点击下图片进入进入:
