1、 空间向量与空间角1.1.直线与平面的夹角的定义及范围直线与平面的夹角的定义及范围(1)(1)定义：平面外一条直线与它在该平面内的定义：平面外一条直线与它在该平面内的_的的_，如图所示：如图所示：PO,PA=A,POPO,PA=A,PO=O,=O,则则_就是直线就是直线PAPA与平面与平面的夹角的夹角.投影投影夹角夹角PAOPAOAOP(2)(2)直线与平面的夹角的范围直线与平面的夹角的范围当直线与平面平行或在平面内时，直线与平面的夹角为当直线与平面平行或在平面内时，直线与平面的夹角为_；当直线与平面垂直时，直线与平面的夹角为当直线与平面垂直时，直线与平面的夹角为_;_;因此直线与平面的夹角的
2、范围是因此直线与平面的夹角的范围是_._.0 020,0,22.2.二面角的有关概念二面角的有关概念(1)(1)定义定义平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做_，从一条直线出发的两个，从一条直线出发的两个_所组成的图形叫做二所组成的图形叫做二面角，记为面角，记为-l-.(2)(2)二面角的平面角二面角的平面角二面角的大小，是用它的平面角来度量的，一个平面垂直于二二面角的大小，是用它的平面角来度量的，一个平面垂直于二面角面角-l-的棱的棱l，且与两个半平面的交线分别是射线，且与两个半平面的交线分别是射线OAOA，OBOB，O
3、O为垂足，则为垂足，则AOBAOB叫做二面角叫做二面角-l-的平面角的平面角.半平面半平面半平面半平面1.1.直线与平面所成的角如何用向量来描述？直线与平面所成的角如何用向量来描述？提示：提示：线面角线面角(即直线与平面所成的角即直线与平面所成的角)可以用直线的方向向量可以用直线的方向向量和平面的法向量来求，即线面角的正弦值等于直线的方向向量和平面的法向量来求，即线面角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值，如图所示与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值，如图所示.2.2.二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系？二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系？
4、提示：提示：二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角的大小相二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角的大小相等或互补，如图所示等或互补，如图所示.3.3.若直线若直线l的方向向量为的方向向量为a=(1,0,2)=(1,0,2)，平面，平面的法向量为的法向量为u=(-2,0,-4),(-2,0,-4),则则l与与的位置关系为的位置关系为_._.【解析【解析】a=u,u,l.答案：答案：垂直垂直121.1.对直线对直线(或斜线或斜线)与平面所成角的几点认识与平面所成角的几点认识(1)(1)斜线与平面的夹角范围是斜线与平面的夹角范围是(0,)(0,)；而直线与平面的夹角范；而直线与平面的夹角范围是围
5、是0,0,.(2)(2)设设 在平面在平面内的射影为内的射影为 且直线且直线ABAB与平面与平面的夹角的夹角为为，则，则22AB A B,A BAB cos.(3)(3)平面平面的法向量的法向量n与与 所成的锐角所成的锐角1 1的余角的余角就是直线就是直线ABAB与平面与平面所成的角；所成的角；(4)(4)斜线和它在平面内的射影所成的角斜线和它在平面内的射影所成的角(即斜线与平面所成的角即斜线与平面所成的角)是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.AB 2.2.关于二面角大小的求法关于二面角大小的求法(1)(1)根据二面角的定义，需要在两个半平面内
6、作棱的垂线，由根据二面角的定义，需要在两个半平面内作棱的垂线，由此得到二面角的平面角，此时可用两条垂线的方向向量的夹角此得到二面角的平面角，此时可用两条垂线的方向向量的夹角来求二面角的大小；来求二面角的大小；(2)(2)利用二面角的两个半平面的法向量来求，需要求出两个半利用二面角的两个半平面的法向量来求，需要求出两个半平面的法向量，然后根据它们之间的关系，结合图形判断二面平面的法向量，然后根据它们之间的关系，结合图形判断二面角的大小角的大小.3.3.利用向量法求空间角的注意事项利用向量法求空间角的注意事项利用向量法求空间角时，要注意空间角的取值范围与向量夹角利用向量法求空间角时，要注意空间角的
7、取值范围与向量夹角取值范围的区别，特别地二面角的大小等于其法向量的夹角或取值范围的区别，特别地二面角的大小等于其法向量的夹角或其补角，到底等于哪一个，要根据题目的具体情况看二面角的其补角，到底等于哪一个，要根据题目的具体情况看二面角的大小是锐角还是钝角大小是锐角还是钝角.求异面直线的夹角求异面直线的夹角求异面直线的夹角的两种方法求异面直线的夹角的两种方法(1)(1)几何法几何法方法方法:解决此类问题，关键是通过平移法求解解决此类问题，关键是通过平移法求解.过某一点作平过某一点作平行线，将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角形行线，将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角形求解求解
8、.主要以主要以“作，证，算作，证，算”来求异面直线所成的角，同时，来求异面直线所成的角，同时，要注意异面直线所成角的范围要注意异面直线所成角的范围.关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如等腰等腰(边边)三角形的性质、中位线的性质及勾股定理、余弦定理三角形的性质、中位线的性质及勾股定理、余弦定理及有关推论及有关推论.(2)(2)向量法向量法方法：利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角方法：利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角转化为两转化为两直线的方向向量所成的角直线的方向向量所成的角，若求出的两向量的夹角为钝角，则，若求出的两向
9、量的夹角为钝角，则异面直线的夹角应为两向量夹角的补角异面直线的夹角应为两向量夹角的补角,即即cos=|coscos=|cos|.|.关注点：求角时，常与一些向量的计算联系在一起，如向量的关注点：求角时，常与一些向量的计算联系在一起，如向量的坐标运算、数量积运算及模的运算坐标运算、数量积运算及模的运算.【典例训练【典例训练】1.1.如图，在空间直角坐如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱标系中有直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1，CA=CCCA=CC1 1=2CB2CB，则直线，则直线BCBC1 1与直线与直线ABAB1 1夹角的余弦值夹角的余弦值为为()()552 53A
10、B C D53552.2.如图所示，如图所示，A A1 1B B1 1C C1 1-ABC-ABC是直三棱柱，是直三棱柱，ACB=90ACB=90，点，点D D1 1，F F1 1分分别是别是A A1 1B B1 1，A A1 1C C1 1的中点，的中点，BC=CA=CCBC=CA=CC1 1，求，求BDBD1 1与与AFAF1 1所成角的余弦所成角的余弦值值.【解析【解析】1.1.选选A.A.设设CA=CCCA=CC1 1=2CB=2=2CB=2，则，则A(2,0,0)A(2,0,0)，B B1 1(0,2,1)(0,2,1)，B(0,0,1)B(0,0,1)，C C1 1(0,2,0)(
11、0,2,0)，=(-2,2,1),=(-2,2,1),=(0,2,-1),=(0,2,-1),所以直线所以直线BCBC1 1与直线与直线ABAB1 1夹角夹角的余弦值是的余弦值是1AB 1BC 02 2 1135cos.544 1 04 13 5 2.2.方法一：取方法一：取BCBC中点中点E E，连接，连接EFEF1 1,D,D1 1F F1 1,DD1 1F F1 1B B1 1C C1 1,BE,BEB B1 1C C1 1,D,D1 1F F1 1 BE,BE,四边形四边形BEFBEF1 1D D1 1是平行四边形，是平行四边形，EFEF1 1BDBD1 1,AFAF1 1E E是是B
12、DBD1 1与与AFAF1 1所成的角，所成的角，1212连接连接AEAE，设，设BC=CA=CCBC=CA=CC1 1=1=1，则则AE=AE=AFAF1 1=EFEF1 1=BD=BD1 1=在在AEFAEF1 1中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：BDBD1 1与与AFAF1 1所成角的余弦值为所成角的余弦值为151,42151,42261,4222211111655EFAFAE30444cos AFE.2 EF AF106522230.10方法二：如图所示方法二：如图所示,以以C C为原点，为原点，CACA，CBCB，CCCC1 1所在直线分别为所在直线分别为x x轴、轴、y y轴、轴
13、、z z轴建立空间直角坐标系，设轴建立空间直角坐标系，设CB=CA=CCCB=CA=CC1 1=1=1，则则A(1,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),DB(0,1,0),D1 1(1),(1),F F1 1(0,1),(0,1),则则则则BDBD1 1与与AFAF1 1所成角的余弦值为所成角的余弦值为1 1,2 21,211111AF(,0,1),BD(,1),222 1156AF,BD,22 111111AF BD30cosBD,AF10|AF|BD|，30.10【互动探究【互动探究】本题本题2 2中若改为中若改为“求求AFAF1 1与与BBBB1 1所成的角的余弦值所成的角的余
14、弦值”，结果如何？结果如何？【解析【解析】建系同题建系同题2 2方法二，可知方法二，可知B B1 1(0(0，1 1，1)1)，=(0 =(0，0 0，1)1)，1BB 1BB1，111111BB AF12 5cosBB,AF.5|BB|AF|512 【归纳【归纳】解答题解答题2 2所用的两种方法的关键点所用的两种方法的关键点.提示：提示：(1)(1)用综合法求异面直线所成的角，关键是作其中一条用综合法求异面直线所成的角，关键是作其中一条直线的平行线，构造出异面直线所成的角，然后解三角形求异直线的平行线，构造出异面直线所成的角，然后解三角形求异面直线所成的角面直线所成的角.(2)(2)当已知几
15、何图形中有线段长度和夹角时，解题关键是根据当已知几何图形中有线段长度和夹角时，解题关键是根据空间向量基本定理，利用向量的数量积求异面直线夹角空间向量基本定理，利用向量的数量积求异面直线夹角.求线面角求线面角求线面角的两种方法求线面角的两种方法几何法几何法作角作角:在直线上找一特殊点，过点作平面的垂线，在直线上找一特殊点，过点作平面的垂线，连接斜足与垂足连接斜足与垂足;证角证角:证明作出的角为线面角证明作出的角为线面角;求角求角:利用直角三角形的边角关系求出线面角利用直角三角形的边角关系求出线面角向量法向量法设直线设直线l与平面与平面所成的角为所成的角为，直线，直线l的方向向的方向向量为量为n，
16、平面，平面的法向量为的法向量为u，则，则sinsin=|cos=|cos|n un u【典例训练【典例训练】1.1.正三棱柱正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的所有棱长都相等，则的所有棱长都相等，则ACAC1 1与平面与平面BBBB1 1C C1 1C C所所成角的余弦值为成角的余弦值为_._.2.2.如图所示，已知点如图所示，已知点P P在正方体在正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD的对角线的对角线BDBD上，上，PDA=60PDA=60.(1)(1)求求DPDP与与CCCC所成角的大小；所成角的大小；(2)(2)求求DPDP与平面与平面AADDAADD所成角的
17、大小所成角的大小.【解析【解析】1.1.如图，取如图，取BCBC的中点的中点E E，则，则AEBCAEBC，AEBBAEBB1 1，AEAE平面平面BCCBCC1 1B B1 1，ACAC1 1E E为为ACAC1 1与平面与平面BBBB1 1C C1 1C C所成的角所成的角.设棱柱棱长为设棱柱棱长为1 1，则则答案：答案：1135AE,C E,AC2,221115C E102cos AC E.AC421042.2.如图，以如图，以D D为原点，为原点，DADA的长为单位长度建立空间直角坐标的长为单位长度建立空间直角坐标系，则系，则 =(1=(1，0 0，0)0)，=(0=(0，0 0，1)
18、.1).连接连接BDBD，BD.BD.在平面在平面BBDDBBDD中，中，延长延长DPDP交交BDBD于于H.H.设设 =(m,m,1)(m=(m,m,1)(m0),0),由已知得由已知得 =60=60,由由可得可得解得解得m=m=所以所以DACCDHDH,DA DA DHDA DH cosDH,DA,22m2m1.2,222DH(,1).22(1)(1)因为因为所以所以 =45=45，即，即DPDP与与CCCC所成的角为所成的角为4545.(2)(2)平面平面AADDAADD的一个法向量是的一个法向量是 =(0=(0，1 1，0).0).因为因为所以所以 =60=60，可得可得DPDP与平面
19、与平面AADDAADD所成的角为所成的角为3030.2200 1 1222cosDH,CC,212 DH CC，DC 2201 1 0122cosDH,DC,212 DH DC ，【思考【思考】应用向量法求线面角的一般步骤有哪些？应用向量法求线面角的一般步骤有哪些？提示：提示：(1)(1)建立空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；建立空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；(2)(2)求出直线的方向向量和平面内两个不共线的向量；求出直线的方向向量和平面内两个不共线的向量；(3)(3)求平面的法向量；求平面的法向量；(4)(4)根据直线的方向向量与平面的法向量求线面角根据直线的方向向量与平面的法向
20、量求线面角.求面面角求面面角1.1.求二面角的方法求二面角的方法几何法几何法作角作角:在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线内分别作垂直于棱的射线证角证角:证明作出的角为二面角的平面角证明作出的角为二面角的平面角求角求角:把平面角放到三角形中求解把平面角放到三角形中求解向量法向量法设二面角设二面角-l-的平面角为的平面角为,平面平面,的法向的法向量为量为n1 1,n2 2，则，则|cos|cos|=|=1212n nnn步骤一步骤一步骤二步骤二2.2.向量法求二面角向量法求二面角(或其某个三角函数值或其某个三角函数值)的四个步骤的四个
21、步骤步骤三步骤三步骤四步骤四建立适当的坐标系，写出相应点的坐标建立适当的坐标系，写出相应点的坐标求出两个半平面的法向量求出两个半平面的法向量n1 1,n2 2设二面角的平面角为设二面角的平面角为，则，则|cos|cos|=|cos|=|cos|根据图形判断根据图形判断为钝角还是锐角，从而求出为钝角还是锐角，从而求出(或其三角函数值或其三角函数值)【典例训练【典例训练】1.1.设设u=(1,1,0),=(1,1,0),v=(1,0,-1)=(1,0,-1)分别是平面分别是平面、的法向量，则平的法向量，则平面面与与的夹角为的夹角为()()(A)30(A)30(B)60(B)60(C)90(C)90
22、(D)45(D)452.2.如图所示，如图所示，,=l,A,B,A,B,点点A A在直线在直线l上的上的射影为射影为A A1 1，点，点B B在直线在直线l上的射影为上的射影为B B1 1.已知已知AB=2AB=2，AAAA1 1=1=1，BBBB1 1=求：求：(1)(1)直线直线ABAB分别与平面分别与平面,所成角的大小；所成角的大小；(2)(2)二面角二面角A A1 1-AB-B-AB-B1 1的余弦值的余弦值.2,【解析【解析】1.1.选选B.cosB.cosu,v=u,v=60=60,平面平面与与的夹角为的夹角为6060.11,|222u vuv2.2.方法一：方法一：(1)(1)如
23、图所示，连接如图所示，连接A A1 1B,ABB,AB1 1.,=.,=l,AAAA1 1l,BB,BB1 1l,AA,AA1 1,BB,BB1 1,则则BABBAB1 1,ABA,ABA1 1分别是分别是ABAB与与和和所成的角所成的角.在在RtRtBBBB1 1A A中，中，BBBB1 1=AB=2.=AB=2.sinBABsinBAB1 1=BAB=BAB1 1=45=45.在在RtRtAAAA1 1B B中，中，AAAA1 1=1,AB=2.=1,AB=2.sinABAsinABA1 1=ABA=ABA1 1=30=30.故故ABAB与平面与平面,所成的角分别是所成的角分别是4545，
24、3030.2,1BB2,AB21AA1.AB2FEAB1B1Al(2)BB(2)BB1 1,平面平面ABBABB1 1,在平面在平面内过内过A A1 1作作A A1 1EABEAB1 1交交ABAB1 1于于E E，则则A A1 1EE平面平面ABAB1 1B B，过，过E E作作EFABEFAB交交ABAB于于F F，连接，连接A A1 1F,F,则由三垂线则由三垂线定理得定理得A A1 1FAB,AFAB,A1 1FEFE就是所求二面角的平面角就是所求二面角的平面角.在在RtRtABBABB1 1中，中，BABBAB1 1=45=45,AB,AB1 1=B=B1 1B=B=在在RtRtAA
25、AA1 1B B1 1中，中，AAAA1 1=A=A1 1B B1 1=1,=1,2.1112A EAB.22在在RtRtAAAA1 1B B中，中，A A1 1B=B=由由AAAA1 1A A1 1B=AB=A1 1F FAB,AB,得得A A1 1F=F=在在RtRtA A1 1EFEF中，中，sinAsinA1 1FE=FE=cosAcosA1 1FE=FE=二面角二面角A A1 1-AB-B-AB-B1 1的余弦值为的余弦值为 221ABAA4 13.11AA A B133.AB2211A E6.A F33.33.3方法二方法二：(1)(1)同方法一同方法一.(2)(2)解题流程：解题
26、流程：【想一想【想一想】解答题解答题2 2的关键点是什么？另外求解题的关键点是什么？另外求解题2 2时易出现什时易出现什么错误？么错误？提示：提示：(1)(1)由于题中没有三线两两垂直的条件，因此无法直接由于题中没有三线两两垂直的条件，因此无法直接建立空间直角坐标系，而建立空间直角坐标系是解答的关键点，建立空间直角坐标系，而建立空间直角坐标系是解答的关键点，因此需要首先寻找线面垂直与面面垂直，确定其中两条坐标轴，因此需要首先寻找线面垂直与面面垂直，确定其中两条坐标轴，再通过在面内作垂线得到第三条坐标轴再通过在面内作垂线得到第三条坐标轴.(2)(2)在建立坐标系后，求点的坐标是易出错的步骤，会影响到在建立坐标系后，求点的坐标是易出错的步骤，会影响到后面的向量的求法以及最后结果后面的向量的求法以及最后结果.
