1、Neumann-Morgenstern期望效用函数 6.1“圣彼德堡悖论”的讨论概率论的早期历史Jacob Bernoulli(1654-1705)1713 年发表猜度术 (Ars Conjectandi)。这是当时最重要、最有原创性的概率论著作。由此引起所谓“圣彼德堡悖论”问题。“圣彼德堡悖论”问题 有这样一场赌博：第一次赢得 1 元，第一次输第二次赢得 2 元，前两次输第三次赢得 4 元，一般情形为前 n-1 次输，第 n 次赢得 元。问：应先付多少钱，才能使这场赌博是“公平”的？如果用数学期望来定价，答案将是无穷！“圣彼德堡悖论”的金融学含义“倍赌策略”是一种“套利策略”。在一个有等价概
2、率鞅测度的“二叉树”“存贷赌博”市场上，采用“倍赌策略”，如果允许无限借贷和无限次赌博，那么其“赢钱概率”为 1。它可以作为某些股票在一定时期内会“疯涨”的理由。“圣彼德堡悖论”1738 年发表对机遇性赌博的分析提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险度量新理论”。指出用“钱的数学期望”来作为决策函数不妥。应该用“钱的函数的数学期望”。Daniel Bernoulli（1700-1782)6.2 von Neumann-Morgenstern 期望效用函数的公理化陈述期望效用函数 1944 年在巨著对策论与经济行为中用数学公理化方法提出期望效用函数。这是经济学中首次严格定义风险。John von Ne
3、umann(1903-1957)Oskar Morgenstern(1902-1977)用期望效用函数来刻划风险 所谓期望效用函数是定义在一个随机变量集合上的函数，它在一个随机变量上的取值等于它作为数值函数在该随机变量上取值的数学期望。用它来判断有风险的利益，那就是比较“钱的函数的数学期望”。假定(x,y,p)表示以概率 p 获得 x,以概率(1-p)获得 y 的机会，那么其期望效用函数值为 u(x,y,p)=pu(x)+(1-p)u(y).一个简化的公理体系 公理 1 “不确定利益”是随机变量所构成的一个集合 L，并且对于任何两个“不确定利益”x,y 来说，“以概率 p 获得 x,以概率 1
4、-p 获得 y”也是“不确定利益”。这一“不确定利益”可称为 x 以概率 p 与 y 的“平均”，并记为(x,y;p).公理 2 任何两个“不确定利益”都可比较好坏。公理 3“不确定利益”中有一个最好的以及一个最差的。一个简化的公理体系(续)公理 4 如果有三个“不确定利益”一个比一个好，那么处于中间的“不确定利益”相当于另外两个“不确定利益”的对某个概率的“平均”。反之，两个“不确定利益”的对某个概率的“平均”的好坏必处于两者之间。假定 b“最好”，w“最坏”。那么任何 x 一定相当于 b 关于概率 p 与 w 的“平均”。取 u(x)=p,即得所求期望效用函数。期望效用函数的争论 期望效用
5、函数似乎是相当人为、相当主观的概念。一开始就受到许多批评。其中最著名的是“Allais 悖论”(1953)。由此引起许多非期望效用函数的研究，涉及许多古怪的数学。但都不很成功。Maurice Allais(1911-)1986 年诺贝尔经济奖获得者。6.3 Allais 悖论和 Kahneman-Tversky 的研究Kahneman-Tversky 理论Daniel Kahneman,(1934-)2002 年诺贝尔经济学奖获得者Kahneman 与 Amos Tversky,(1937-1996)两位心理学家于 1979 年发表的论文“展望理论(Prospect Theory)”已成为计量
6、经济学(Econometrica)有史以来被引证最多的经典。他们企图改变期望效用函数理论框架。Kahneman 诺贝尔演说的问题 问题问题 1.假设有一场这样的赌博：你赢 150 元的概率是 50%,而你输 100 元的概率也是 50%.你能接受这样的赌博吗？如果你身边的钱少于 100 元，你是否会改变你的决定？调查结果是：除非把所赢的钱提高到 200 元以上，绝大多数的人都不接受这样的赌博，只有少数人接受这样的赌博。但对于后一种情况，所有人都不接受。Kahneman 诺贝尔演说的问题 问题问题 2.现在有这样两种情况：一种情况是肯定损失 100 元；另一种情况是参加这样的赌博：你赢 50 元
7、的概率是 50%,而你输 200 元的概率也是 50%.对于这样的两种情况你选择哪一种？如果你身边的钱多于 100 元，你是否会改变你的决定？调查结果是绝大多数的人选择赌博，即使身边有多于 100 元的钱也并没有多大影响。6.4 Arrow-Pratt 风险厌恶度量有风险与无风险之间的比较 机会(x,y,p)与肯定得到 px+(1-p)y 之间的利益比较就是比较 u(x,y,p)=pu(x)+(1-p)u(y)与 u(px+(1-p)y)之间的大小。如果它们相等，表示对风险中风险中性性(不在乎)；一般取 表示对风险爱好。风险爱好。把 u 理解为“定价”，这就是“非线性定价”与“P-F 线性定价”之间的比较。Arrow-Pratt 风险厌恶度量 这就归结为函数 u 的凸性的比较。它的程度可用 u/u 来度量。它由 Arrow(1965)和 Pratt(1964)所提出。6.5 若干典型期望效用函数6.6 随机占优的概念
