1、教学目的：利用根轨迹分析系统性能教学目的：利用根轨迹分析系统性能教学重点：根轨迹的绘制和利用根轨迹分教学重点：根轨迹的绘制和利用根轨迹分 析系统性能析系统性能教学难点：根轨迹分析系统性能教学难点：根轨迹分析系统性能本章授课学时：本章授课学时：6 6第四章第四章 根轨迹法根轨迹法第一节第一节 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念第二节第二节 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则 第四节第四节 控制系统的根轨迹法分析控制系统的根轨迹法分析第五节第五节 仿仿 真真 实实 现现本本 章章 研研 究究 内内 容容第四章第四章 根轨迹法根轨迹法返回返回第六节第六节 本章小节本章小节第三节第三节 广义根
2、轨迹广义根轨迹 4.1 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念根轨迹概念根轨迹概念根轨迹方程根轨迹方程4.1.1 4.1.1 根轨迹概念根轨迹概念 系统开环传递函数中某一参数从零变到无穷大系统开环传递函数中某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在时，闭环系统特征方程的根在 s s 平面上变化的轨迹。平面上变化的轨迹。稳态性能和暂态性能稳态性能和暂态性能闭环特征根闭环特征根(极点极点)的位置的位置 稳定性稳定性闭环系统的零点、极点的位置闭环系统的零点、极点的位置 输入信号输入信号根轨迹法：根轨迹法：利用根轨迹分析系统性能的方法。利用根轨迹分析系统性能的方法。（图解法）（图解法）4.
3、1 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念已知已知:一单位反馈二阶系统的开环传递函数为：一单位反馈二阶系统的开环传递函数为：)2(2)15.0()(ssKssKsGk闭环传递函数为：闭环传递函数为：KssKs222)(2闭环系统特征方程为：闭环系统特征方程为：0222KssK211s1闭环系统特征根闭环系统特征根(即闭环极点即闭环极点)为：为：K211s2，)1s5.0(sK研究开环放大系数研究开环放大系数K K与闭环特征根与闭环特征根s s1 1、s s2 2之间的关系：之间的关系：R(s)R(s)C(s)C(s)K s1 s20 0 -20.5 -1 -11 -1+j1 -1-j12
4、 -1+j -1-j 3j13j1 K=1K=1K=1K=1K=2K=2K=2K=2K=0K=0K=0K=0K=0.5K=0.5-1-1 j j-2-20 03j3j开环放大系数开环放大系数K K改变改变改变特征根位置改变特征根位置改变系统性能改变系统性能j1j1-j1-j1 闭环系统特征方程为：闭环系统特征方程为：反映了系统开环传递函数与闭环特征方程之间的关系反映了系统开环传递函数与闭环特征方程之间的关系4.1.2 4.1.2 根轨迹方程根轨迹方程()()()KG s H sGs系统开环传递函数系统开环传递函数 系统闭环传递函数系统闭环传递函数 K1()0Gs)(1)()(sGsGsK*11
5、K11(1)()()(1)()mmiiiinnjjjjsszGsKKT ssp设系统开环传递函数的一般形式为设系统开环传递函数的一般形式为:*11miinjjzKKpK系统开环增益系统开环增益 K*根轨迹增益或根轨迹放大倍数根轨迹增益或根轨迹放大倍数-z-zi i,i=1,2m,i=1,2m开环传递函数的零点开环传递函数的零点-p-pj j,j=1,2n,j=1,2n开环传递函数的极点开环传递函数的极点*11()1()miinjjszKsp 特征方程为特征方程为:根轨迹方程根轨迹方程 绘制根轨迹时，实质上就是当某一参数绘制根轨迹时，实质上就是当某一参数(K(K*)变化时，寻求闭环特征方程式解的
6、变化轨迹。变化时，寻求闭环特征方程式解的变化轨迹。1*1()1()miinjjszssKsp开环有限零点到根轨迹上点 的矢量长度之积开环极点到根轨迹上点 的矢量长度之积1111()()180(12)mnmnijijijijszspk 幅角条件：幅角条件：i i开环有限零点到根轨迹上点开环有限零点到根轨迹上点s s的矢量幅角的矢量幅角 j j开环极点到根轨迹上点开环极点到根轨迹上点s s的矢量幅角，幅角按逆时针方向为正的矢量幅角，幅角按逆时针方向为正满足幅值条件和幅角条件的满足幅值条件和幅角条件的 s s 值，就是闭环特值，就是闭环特征方程的根，这些根所描述的曲线就是根轨迹征方程的根，这些根所描
7、述的曲线就是根轨迹幅值条件：幅值条件：根轨迹上任一点满足根轨迹上任一点满足幅值条件幅值条件 幅角条件幅角条件 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则本本章章返返回回4.2 4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制举例根轨迹绘制举例 4.2.1 4.2.1 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则 绘制根轨迹应确定以下几个方面的内容：绘制根轨迹应确定以下几个方面的内容：起点、终点、根轨迹数和对称性、起点、终点、根轨迹数和对称性、实轴上的根轨迹、分离点和汇合定、实轴上的根轨迹、分离点和汇合定、根轨迹的渐近线、根轨迹的出射角和入射角、根轨迹的渐近线、根轨迹的出射角和入射角、根轨迹
8、和虚轴的交点、根轨迹的走向。根轨迹和虚轴的交点、根轨迹的走向。(9(9项项)本本节节返返回回本本章章返返回回当当 K K*=0=0 时，有时，有0)(1njjps1)()(11*njjmiipszsK0)()(1*1miinjjzsKps1 1、起点（、起点（K K*=0=0）2 2、终点（、终点（K K*=）0)()(111*miinjjzspsK1)()(11*njjmiipszsK当当 K K*=时，有时，有 0)(1miizs根轨迹起始于开环极点根轨迹起始于开环极点根轨迹终止于开环零点根轨迹终止于开环零点（有限零点）（有限零点）3 3、根轨迹数和它的对称性、根轨迹数和它的对称性4 4、
9、实轴上的根轨迹、实轴上的根轨迹设设 N Nz z实轴上根轨迹右侧开环有限零点的数目实轴上根轨迹右侧开环有限零点的数目 N Np p实轴上根轨迹右侧开环极点的数目。实轴上根轨迹右侧开环极点的数目。在实轴上根轨迹分支存在的区间在实轴上根轨迹分支存在的区间的的右侧，开环零、极点数目的总和为奇数右侧，开环零、极点数目的总和为奇数根轨迹数为开环极点数根轨迹数为开环极点数n n；根轨迹都对称于实轴；根轨迹都对称于实轴本本节节返返回回本本章章返返回回实轴上根轨迹存在的条件：实轴上根轨迹存在的条件：N Nz z+N+Np p=1+2=1+2k kk=0,1,2k=0,1,2 A B CN Nz z+N+Np
10、p=3=3N Nz z+N+Np p=5=5N Nz z+N+Np p=1=1本本节节返返回回本本章章返返回回5 5、分离点和会合点、分离点和会合点 分离点分离点会合点会合点 b b a a s s2 2 -z -z1 1 -p -p1 1 s s1 1 -p-p2 2 确定分离点和会合点的位置：确定分离点和会合点的位置：当当K K*=K=Kd d*分离点和会合点分离点和会合点 闭环特征闭环特征方程式的重根。方程式的重根。本本节节返返回回本本章章返返回回本本节节返返回回本本章章返返回回设系统的开环传递函数为：设系统的开环传递函数为：0)s(D)s(N)s(N)s(D)()()()()(*11*
11、sDsNKpszsKsGnjjmiik计算分离点、会合点的位置：计算分离点、会合点的位置：注意：注意：1 1、分离点、会合点一定在实轴上、分离点、会合点一定在实轴上 2 2、求得的、求得的K Kd d*值必须大于零值必须大于零求分离点和会合点求分离点和会合点(重根重根)s=-)s=-d d方法方法 本本节节返返回回本本章章返返回回6 6、根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线渐近线的倾角渐近线的倾角 渐近线的交点渐近线的交点渐近线包括渐近线包括 两方面内容两方面内容1)()(11*njjdmiiddpszsK求得的求得的K Kd d*00有独立的有独立的(n-m)(n-m)条条 渐近线的倾角渐近线的倾角
12、 设在无穷远处有特征根设在无穷远处有特征根s si i ，则，则s s平面上平面上所有开所有开环有限零点环有限零点-z-zi i和极点和极点-p-pj j到到s si i的矢量辐角都相等，的矢量辐角都相等，即：即：i i=j j=代入幅角条件，得：代入幅角条件，得：)21(18011knmnjjmii渐近线的倾角为：渐近线的倾角为：mnk)21(1800 k=0,1,2,k=0,1,2,本本节节返返回回本本章章返返回回 渐近线的交点渐近线的交点 设无限远处有特征根设无限远处有特征根s si i ，则，则s s平面上所平面上所有开环有开环有限零点有限零点-z-zi i和极点和极点-p-pj j到
13、到 s si i的矢量长度都相等。的矢量长度都相等。可可认为对于认为对于s si i来说，所有开环零点和极点都汇集在来说，所有开环零点和极点都汇集在一起，设位置为一起，设位置为-,此即为渐近线交点。此即为渐近线交点。求此交点坐标求此交点坐标-：本本节节返返回回本本章章返返回回渐近线交点为：渐近线交点为：mnzpnjmiij11渐近线的交点在实轴上渐近线的交点在实轴上1)()(11*njjmiipszsK试试 计算渐近线倾角和交点，即确定渐近线的位置。计算渐近线倾角和交点，即确定渐近线的位置。解：由开环传递函数可知：解：由开环传递函数可知：m=0m=0，n=3n=3，故有，故有3 3条渐近线。条
14、渐近线。)4)(1()(*sssKsGk180,60,6003)21(180k渐近线交点为：渐近线交点为：180180 6060-60-60 j j mnzpnjmiij11渐近线渐近线-=-5/3=-5/3 35030410渐近线渐近线渐近线渐近线例例 设开环传递函数为：设开环传递函数为：本本节节返返回回渐近线倾角为：渐近线倾角为：本本章章返返回回7 7、根轨迹的出射角和入射角、根轨迹的出射角和入射角 111180njmiijcnjmiijr111180入射角：入射角：i i 除被测终点外，所有开环有限零点到该点的矢量辐角除被测终点外，所有开环有限零点到该点的矢量辐角 j j 开环极点到被测
15、终点的矢量辐角。开环极点到被测终点的矢量辐角。i i 开环有限零点到被测起点的矢量辐角；开环有限零点到被测起点的矢量辐角；j j 除被测起点外，所有开环极点到该点的矢量辐角除被测起点外，所有开环极点到该点的矢量辐角出射角：出射角：复数极点复数极点根轨迹的出射角根轨迹的出射角复数零点复数零点根轨迹的入射角根轨迹的入射角本本节节返返回回本本章章返返回回 p p4 4=-1+j1=-1+j1p p3 3=-1-j1=-1-j1 1 1 2 2 3 3 c c 1 114111180jiijc45)906.26135(1806.26求极点求极点 p p4 4 处的出射角：处的出射角：本本节节返返回回【
16、例例 4-14-1】已知开环传递函数为：已知开环传递函数为：试试 确定根轨迹的出射角。确定根轨迹的出射角。解：该系统的开环零点和开环极点分别为：解：该系统的开环零点和开环极点分别为：-z=-2z=-2，-p-p 1 1=0=0，-p-p 2 2=-3=-3，-p-p3,43,4=-=-1 1 j j对于极点对于极点 p p3 3 和和 p p4 4有出射角。有出射角。)22)(3()2()(2*sssssKsGk本本章章返返回回-p p2 2=-3 -z=-2 -=-3 -z=-2 -p p1 1=0 =0 p p3 3处的出射角为：处的出射角为：14111180jiijc6.2645)906
17、.26135(1808 8、根轨迹和虚轴的交点、根轨迹和虚轴的交点应确定根轨迹与虚轴交点的坐标值和临界放大系数应确定根轨迹与虚轴交点的坐标值和临界放大系数K Kp p*值。值。例例 4-2 4-2 已知系统开环传递函数为：已知系统开环传递函数为：试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大系数试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大系数 。)2)(1()(*sssKsGk本本节节返返回回本本章章返返回回*pK2解得：解得：=0=0，2js本本节节返返回回本本章章返返回回*pKK 32*p(j)3(j)2(j)0K*2p33020K*p6K 0)2(332*jKp 解：解：系统特征方程为：系统特征方
18、程为：1+G1+Gk k(s)=0 (s)=0 s s3 3+3s+3s2 2+2s+K+2s+K*=0 =0 方法一：当根轨迹与虚轴相交时方法一：当根轨迹与虚轴相交时 ，令，令 s=js=j，代入上式代入上式,得：得：即：即：根轨迹与虚轴的交点坐标为：根轨迹与虚轴的交点坐标为：临界放大系数为：临界放大系数为：方法二：方法二：利用劳斯判据计算交点和临界放大系数利用劳斯判据计算交点和临界放大系数 令令 s s1 1 行为零，即行为零，即 (6(6-K K*)/3=0)/3=0，得：，得：=6=6 根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点：由由 s s2 2 行的辅助方程求得，即令行的辅助方程求得，
19、即令 3 3s s2 2+K K*=0=0，得：，得：2js本本节节返返回回由特征方程：由特征方程：F(s)=sF(s)=s3 3+3s+3s2 2+2s+K+2s+K*=0=0 劳斯行列表：劳斯行列表：s s3 3 1 1 2 2 s s2 2 3 3 K K*s s1 1 (6-6-K K*)/3 )/3 0 0 s s0 0 K K*本本章章返返回回*pKK 9 9、闭环极点的性质、闭环极点的性质 1 1）若特征方程的阶次）若特征方程的阶次 n-m2n-m2，则，则 一些根轨迹右行时一些根轨迹右行时 另一些根轨迹必左行另一些根轨迹必左行 j j 2j2j 本本节节返返回回-2-2-1-1
20、0 0本本章章返返回回6*pK6*pK 特征方程：特征方程：01)(1)()(*sGsDsNKk改写为：改写为：常数，各特征根之和常数，各特征根之和0)(111nnnnjjasasssnjjsa11本本节节返返回回本本章章返返回回njjnsa1 常数，各特征根之积常数，各特征根之积2 2）闭环特征根与系数关系）闭环特征根与系数关系绘制根轨迹的法则：绘制根轨迹的法则：1 1、起点、起点(K K*=0=0)开环传递函数开环传递函数G Gk k(s)(s)的极点即为根轨迹的起点。的极点即为根轨迹的起点。2 2、终点、终点(K K*=)开环传递函数开环传递函数G Gk k(s)(s)的零点的零点(包括
21、无限零点包括无限零点)即为根即为根轨迹的终点。轨迹的终点。3 3、根轨迹数目及对称性、根轨迹数目及对称性 根轨迹数目与开环极点数根轨迹数目与开环极点数n n相同，根轨迹对称于实轴相同，根轨迹对称于实轴4 4、实轴上的根轨迹、实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹右侧的零、极点数目之和应为奇数实轴上根轨迹右侧的零、极点数目之和应为奇数本本节节返返回回本本章章返返回回0)s(D)s(N)s(N)s(Dmnk)21(180渐近线的交点：渐近线的交点：mnzpnjmiij116 6、根轨迹的渐近线、根轨迹的渐近线(有有n-mn-m条渐近线条渐近线)0)()()(*sNKsDsF渐近线的倾角：渐近线的倾角：本本节
22、节返返回回本本章章返返回回5 5、分离点与会合点、分离点与会合点注意：注意：求出求出s=-s=-d d后，应把它代入后，应把它代入 计算计算K K*，只有，只有K Kd d*为正值，为正值，s=-s=-d d才是分离点或会合点。才是分离点或会合点。7 7、根轨迹的出射角和入射角、根轨迹的出射角和入射角111180njmiijc出射角：出射角：njmiijr111180入射角：入射角：8 8、根轨迹与虚轴的交点。、根轨迹与虚轴的交点。按劳斯判据计算按劳斯判据计算9 9、根轨迹性质、根轨迹性质 一些根轨迹向右行时，另一些根轨迹必向左行一些根轨迹向右行时，另一些根轨迹必向左行 根与系数关系：根与系数
23、关系：复数极点复数极点复数零点复数零点本本节节返返回回本本章章返返回回)5.01(ssKR(s)R(s)C(s)C(s)【例例4.34.3】用根轨迹绘制法则重新绘制图用根轨迹绘制法则重新绘制图4.14.1所示所示的的 二阶系统的根轨迹。二阶系统的根轨迹。解：系统的开环传递函数为解：系统的开环传递函数为:*K()(0.51)(2)KKGssss s 起点。起点。根轨迹起始于两个开环极点，根轨迹起始于两个开环极点，s s0 0=0,s=0,s1 1=-2=-2 终点。终点。根轨迹终止于两个开环无限零点，即两条根轨根轨迹终止于两个开环无限零点，即两条根轨迹都迹都 终止于无限远处。终止于无限远处。K
24、K*=2K=2K4.2.2 4.2.2 根轨迹绘制举例根轨迹绘制举例 分离点。分离点。022)()()()(ssDsNsNsD1s本本节节返返回回本本章章返返回回 根轨迹数。有两条根轨迹。根轨迹数。有两条根轨迹。实轴上根轨迹。在实轴上根轨迹。在0 0和和-2-2之间必有根轨迹。之间必有根轨迹。(k=0)(k=0)渐近线。有渐近线。有n-m=2n-m=2条独立的渐近线。条独立的渐近线。902180)21(180mnk渐近线的倾角：渐近线的倾角：渐近线的交点：渐近线的交点：10202011mnzpnjmiij渐近线渐近线 j j 本本节节返返回回 -2 -1 0 -2 -1 0 本本章章返返回回
25、K K*=K/2=K/2 起点：起始于两个开环极点起点：起始于两个开环极点 s s0 0=0,s=0,s1 1=-2=-2。终点：终点：终止于一个开环有限零点终止于一个开环有限零点 s=-4s=-4和一个无限零和一个无限零点点 实轴上根轨迹：实轴上根轨迹：在在0 -20 -2之间和之间和-4-4-之间有根轨迹之间有根轨迹)15.0()125.0(sssK R(s)R(s)C(s)C(s)【例例4.44.4】已知具有开环零点的二阶系统结构图已知具有开环零点的二阶系统结构图,试绘制系统的根轨迹。试绘制系统的根轨迹。解：系统的开环传递函数为解：系统的开环传递函数为*K(0.251)(4)()(0.5
26、1)(2)KsKsGssss s分离点和会合点：分离点和会合点：根轨迹上的分离点和会合点：根轨迹上的分离点和会合点：复平面上根轨迹复平面上根轨迹设复平面上特征根为：设复平面上特征根为：s=s=+j+j，其满足下式：，其满足下式：22222)4(圆圆:圆心为（圆心为（-4,j0)-4,j0)，半径，半径为为本本节节返返回回本本章章返返回回2()()()()(22)(4)(2)0D s N sD s N sssss2880ss1242 21.17242 26.828ss 分离点会合点22 s s1 1 -4 -4 -2 0-2 0 s s2 2会合点会合点=-6.828=-6.828分离点分离点=
27、-1.172=-1.172开环系统中加入开环系统中加入 一个零点随着一个零点随着 K K*的增大，根的增大，根轨迹向左偏移远离虚轴，使系统动态性能改善。轨迹向左偏移远离虚轴，使系统动态性能改善。本本节节返返回回本本章章返返回回 起点：三个开环极点起点：三个开环极点s s0 0=0,s=0,s1 1=-2=-2，s s2 2=-4=-4 终点：终止于三个开环无限零点，无限远终点：终止于三个开环无限零点，无限远 根轨迹数：三条根轨迹数：三条)4)(2()125.0)(15.0()(*sssKsssKsGk本本节节返返回回本本章章返返回回【例例4.54.5】已知三阶系统的结构图，已知三阶系统的结构图
28、，试绘制该系统的根试绘制该系统的根轨迹。轨迹。K K*=8K=8K 实轴上根轨迹：实轴上根轨迹：在在0 0 -2-2和和-4-4 -之间有根轨迹。之间有根轨迹。分离点：分离点：08123)()()()(2sssDsNsNsDs=-0.85s=-0.85，s=-3.15s=-3.15（省（省略）略）渐近线：有渐近线：有n-m=3n-m=3条渐近线。条渐近线。渐近线倾角：渐近线倾角：180,60,6003)21(180)21(180kmnk渐近线交点：渐近线交点：根轨迹与虚轴交点：根轨迹与虚轴交点：特征方程：特征方程：劳斯行列表：劳斯行列表：s s3 3 1 1 8 8 s s2 2 6 K6 K
29、*s s1 1 (48-48-K K*)/6 0/6 0 s s0 0 K K*086)4)(2(*23*KsssKsss=0=0K K*=K=Kp p*=48=486s6s2 2+K+K*=6s=6s2 2+48=0+48=0得：得：203042011mnzpnjmiijjs22二阶系统中加入一个极点，随着二阶系统中加入一个极点，随着K K*的增大，根的增大，根轨迹向右偏移并穿过虚轴，使系统趋于不稳定。轨迹向右偏移并穿过虚轴，使系统趋于不稳定。6060 -60-60 -2-2-0.85-0.85-180-180 渐近线渐近线渐近线渐近线渐近线渐近线j22j22-4-44 4、具有复数极点的四
30、阶系统、具有复数极点的四阶系统)121)(131()121(2sssssKC(s)C(s)R(s)R(s)本本节节返返回回本本章章返返回回)22)(3()2()121)(131()121()(2*2sssssKsssssKsGk K K*=3K=3K 起点：四个开环极点起点：四个开环极点 0 0，-3-3，-1-1 j1j1；有；有4 4条根轨条根轨迹迹 终点：一个开环有限零点终点：一个开环有限零点-2-2，3 3个无限零点。个无限零点。实轴上根轨迹：在实轴上根轨迹：在0 -20 -2和和-3 -3 -之间有根轨之间有根轨迹。迹。渐近线：有渐近线：有3 3条渐近线条渐近线180,6014)21
31、(180)21(180kmnk1142)111130(11jjmnzpnjmiij 出射角：出射角：c1c1=-26.6=-26.6 ，c2c2=26.6=26.6 141111180jiijc45)906.26135(1806.26本本节节返返回回本本章章返返回回 根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点：闭环特征方程：闭环特征方程：s s4 4+5s+5s3 3+8s+8s2 2+(6+K+(6+K*)s+2K)s+2K*=0=0 s s4 4 1 1 8 2K8 2K*s s3 3 5 5 （6+K6+K*）s s2 2 8-(6+8-(6+K K*)/5)/5 2K2K*s s1 1 (
32、6+K (6+K*)-10K)-10K*/8-(6+K/8-(6+K*)/5 )/5 0 0 s s0 0 2K 2K*=0=0K K*=7=7，K=KK=K*/3=2.33/3=2.33 8-(6+8-(6+K K*)/5)/5 s s2 2+2K 2K*=0 =0 得：得：s=s=j1.61j1.61 -3 -2 -1 -3 -2 -1 0 0 -R4 -R3 -R1-R260 -60 sc1sc1=-26.6=-26.6 sc2sc2=26.6=26.6-1.58-3.42=j1.61=-j1.61本本节节返返回回本本章章返返回回)22)(3()2()(2*sssssKsGk求根轨迹与虚
33、轴相交时，另外两个根求根轨迹与虚轴相交时，另外两个根R R3 3、R R4 4。即：即：R R3 3=1.58=1.58，R R4 4=3.423.42本本节节返返回回s s4 4+5s+5s3 3+8s+8s2 2+(6+K+(6+K*)s+2K)s+2K*=0=0特征方程：特征方程：本本章章返返回回 R R1 1+R+R2 2+R+R3 3+R+R4 4=(+j1.61)+(-=(+j1.61)+(-j1.61)+Rj1.61)+R3 3+R+R4 4=5=5 R R1 1R R2 2R R3 3R R4 4=(+j1.61)(-j1.61)R=(+j1.61)(-j1.61)R3 3R
34、R4 4=2K=2K*4.3 4.3 广义根轨迹广义根轨迹 参数根轨迹参数根轨迹零度根轨迹零度根轨迹本本章章返返回回本本节节返返回回本本章章返返回回 除根轨迹增益除根轨迹增益 外，把开环系统外，把开环系统的其他参数从零变化到无穷或在某一范围内变的其他参数从零变化到无穷或在某一范围内变化时，闭环系统特征根的轨迹叫参数根轨迹。化时，闭环系统特征根的轨迹叫参数根轨迹。*K【例例4.64.6】已知控制系统结构图如图已知控制系统结构图如图4.134.13所示，当所示，当 *4K 时，试绘制参数时，试绘制参数 变化时的根轨迹。变化时的根轨迹。p4.3.1 4.3.1 参数根轨迹参数根轨迹解：系统闭环传递函
35、数为：解：系统闭环传递函数为：24()4ssps特征方程为：特征方程为：240sps214sps 等效开环传递函数等效开环传递函数 *11()1()miinjjszKsp 称为等效根轨迹增益称为等效根轨迹增益 pp一般绘制系统参数根轨迹的步骤归纳如下一般绘制系统参数根轨迹的步骤归纳如下:(1)(1)写出原系统的特征方程。写出原系统的特征方程。(2)(2)以特征方程式中不含参量的各项除特征方程，以特征方程式中不含参量的各项除特征方程，得等效系统的根轨迹方程。该方程中原系统的得等效系统的根轨迹方程。该方程中原系统的 参量即为等效系统的根轨迹增益。参量即为等效系统的根轨迹增益。(3)(3)绘制等效系
36、统的根轨迹，即为原系统的参数根绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参数根 轨迹。轨迹。本本节节返返回回本本章章返返回回4.3.2 4.3.2 零度根轨迹零度根轨迹 正反馈系统的根轨迹。正反馈系统的根轨迹。K()()()()()1()()1()C sG sG ssR sG s H sGs闭环传递函数为闭环传递函数为:K1()0Gs特征方程式为特征方程式为:*1K1()()()miinjjszGsKsp设开环传函的零、极点表达式为设开环传函的零、极点表达式为:（k=0k=0，1 1，2 2，）正反馈系统的根轨迹方程正反馈系统的根轨迹方程:*11()1()miinjjszKsp1*1()1()miim
37、jjszKsp幅值条件幅值条件:njjmiinjjmiikpszs1111360)()(相角条件相角条件:本本节节返返回回本本章章返返回回 零度根轨迹绘制方法：零度根轨迹绘制方法：起点、终点和条数（相同）：起点、终点和条数（相同）：(2)(2)实轴上的根轨迹存在的区间为其右侧实轴上的开环实轴上的根轨迹存在的区间为其右侧实轴上的开环 零点和极点个数之和为偶数。零点和极点个数之和为偶数。(3)(3)根轨迹的分离点和会合点的计算方法同常规根轨迹。根轨迹的分离点和会合点的计算方法同常规根轨迹。(4)(4)根轨迹的渐近线与实轴的交点的计算方法同常规根轨根轨迹的渐近线与实轴的交点的计算方法同常规根轨 迹。
38、倾角的计算公式为：迹。倾角的计算公式为：1802(0,1,2,)kknmo本本节节返返回回本本章章返返回回(5)(5)根轨迹的出射角和入射角的计算公式为根轨迹的出射角和入射角的计算公式为1c11mnijij1r11mnijij(6)(6)根轨迹与虚轴交点的计算方法同常规根轨迹。根轨迹与虚轴交点的计算方法同常规根轨迹。本本节节返返回回本本章章返返回回控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析本本章章返返回回4.4 4.4 控制系统的根轨迹法分控制系统的根轨迹法分析析控制系统的暂态性能分析控制系统的暂态性能分析控制系统的稳态性能分析控制系统的稳态性能分析开环传递函数开环传递函数 闭环系统闭环系统根轨
39、迹根轨迹 分析系统的性能分析系统的性能考虑闭环零点的作用考虑闭环零点的作用本本节节返返回回本本章章返返回回稳定性、暂态性能、稳态性能稳定性、暂态性能、稳态性能4.4.1 4.4.1 控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分析析*K()(0.51)(0.251)(2)(4)KKGsssss ssK Kp p*484848不稳定不稳定条件稳定系统条件稳定系统 本本节节返返回回本本章章返返回回*2K2(24)()(4)(6)(1.41)KssGss ssss*014K*64195K稳定条件：稳定条件：*1464K*195K 不稳定条件：不稳定条件：本本节节返返回回本本章章返返回回典型二阶系统：典型二阶系
40、统：2K()(2)nnGss s0222nnss特征方程特征方程绘制参数绘制参数 变化时的参数根轨迹：变化时的参数根轨迹：等效特征方程：等效特征方程：1222nnss起点（起点（=0=0）：s s1 1=+j=+j n n,s s2 2=-j=-j n n，2 2条条终点（终点（）：）：s=0s=0，无穷远，无穷远分离点：分离点：0)()()()(sNsDsNsD（忽略）ns,ns本本节节返返回回本本章章返返回回4.4.2 4.4.2 控制系统的暂态性能分控制系统的暂态性能分析析 njnj2n1j21nj-n 22,11:10nnjs阻尼线阻尼线arccosn 阻尼角阻尼角)0()0()1(强
41、强强强弱弱弱弱)()(n无阻尼振荡角频率无阻尼振荡角频率二阶系统：二阶系统：=0=0：等幅震荡：等幅震荡00 1pc，且 zc0，pc01/1/)()(1/1/)()(1/1/)()()()(cccccccccccckkpszssDsNKpszssDsNpzKpszspzsDsKNpszssGsG偶极子偶极子仿仿 真真 实实 现现)1s25.0)(1s(sK)s(Wkk例例4-1 4-1 已知系统开环传递函数为已知系统开环传递函数为试绘制系统根轨迹。试绘制系统根轨迹。j2j2-j2j26060 -60-60 -3/53/5-0.467-0.467-180-180 渐近线渐近线渐近线渐近线渐近线
42、渐近线仿真结果仿真结果理论计算结果理论计算结果本本章章返返回回)1ss21)(1s31(s)1s21(K2kXr(s)Xr(s)Xc(s)Xc(s)例例4-2 4-2 已知系统结构框图为已知系统结构框图为试绘制系统根轨迹。试绘制系统根轨迹。理论计算结果理论计算结果仿真结果仿真结果仿仿 真真 实实 现现本本章章返返回回 -3 -2 -1-3 -2 -1 -R4 -R3-R1-R260 -60 sc1sc1=-26.6=-26.6 sc2sc2=26.6=26.6-1.58-3.42=j1.61=-j1.61本本章章返返回回本本 章章 小小 结结1、根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念2 2、根轨迹的绘制法则、根轨迹的绘制法则 起点（起点（Kg=0Kg=0）终点终点 （Kg=Kg=）根轨迹数目及对称性根轨迹数目及对称性 实轴上根轨迹实轴上根轨迹 分离点与会合点分离点与会合点 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 闭环极点的性质闭环极点的性质 在根轨迹上确定特征根在根轨迹上确定特征根 增加闭环零点、闭环极点对系统性能的影响增加闭环零点、闭环极点对系统性能的影响 增加开环零点、开环极点对系统性能的影响增加开环零点、开环极点对系统性能的影响本本章章返返回回感谢下感谢下载载
