1、8.3 8.3 正态分布正态分布高二数学高二数学 选修选修2-2-3 3复习100100个产品尺寸的频率分布直方图个产品尺寸的频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535 产品 尺寸（mm)频率组距复习200个产品尺寸的频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535 产品 尺寸（mm)频率组距复习样本容量增大时频率分布直方图频率组距产品 尺寸(mm)总体密度曲线复习产品 尺寸(mm)总体密度曲线高尔顿板高尔顿板11总体密度曲线0YX导入导入产品尺寸的总体密度曲线产品尺寸的总体密度曲线就是或近似地是以下函数的图象：
2、就是或近似地是以下函数的图象：22()21()2xf xe),(x1 1、正态曲线的定义：、正态曲线的定义：函数函数式中的实数式中的实数、(0)(0)是参数，分别表示是参数，分别表示总体的平均数与标准差，称总体的平均数与标准差，称f(x)f(x)的图象称为正态曲线的图象称为正态曲线cdab平均数XY 若用若用X X表示落下的小球第表示落下的小球第1 1次与高尔顿板底部接触次与高尔顿板底部接触时的坐标时的坐标,则则X X是一个随机变量是一个随机变量.X.X落在区间落在区间(a,b(a,b的概率的概率为为:badxxbXaP)()(,2.2.正态分布的定义正态分布的定义:如果对于任何实数如果对于任
3、何实数 ab,ab,随机变量随机变量X X满足满足:badxxbXaP)()(,则称为则称为X X 的正态分布的正态分布.正态分布由参数、唯一确定.正态分布记作N（，2）.其图象称为正态曲线其图象称为正态曲线.如果随机变量如果随机变量X X服从正态分布，服从正态分布，则记作则记作 X NX N（，2 2）在实际遇到的许多随机现象都服从或近在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：似服从正态分布：在生产中，在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；在正常生产条件下各种产品的质量指标；在测量中，在测量中，测量结果；测量结果；在生物学中，在生物学中，同一群体的某一特征；同一群体的某一特征
4、；在气象中，在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度某地每年七月份的平均气温、平均湿度 以及降雨量等，水以及降雨量等，水文中的水位；文中的水位；总之，正态分布广泛存在于自然界、总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。生产及科学技术的许多领域中。正态分布在概率和统计中占有重要地位。正态分布在概率和统计中占有重要地位。m m 的意义的意义产品 尺寸(mm)x x1x x2总体平均数反映总体随机变量的总体平均数反映总体随机变量的 平均水平平均水平x x3x x4平均数x=x=产品 尺寸(mm)总体平均数反映总体随机变量的总体平均数反映总体随机变量的 平均水平平均水平总体标准差
5、反映总体随机变量的总体标准差反映总体随机变量的 集中与分散的程度集中与分散的程度平均数平均数 s s的意义的意义1 2 正态总体的函数表示式正态总体的函数表示式当=0，=1时222)(21)(xexf),(x2221)(xexf标准正态总体标准正态总体的函数表示式的函数表示式),(x012-1-2xy-33=0=1标准正态曲线21,0(（，（，+）（1）当 =时,函数值为最大.(3)的图象关于 对称.（2）的值域为 （4）当 时 为增函数.当 时 为减函数.)(xf)(xfxxx)(xf)(xf012-1-2xy-33=0=1标准正态曲线标准正态曲线正态总体正态总体的函数表示式的函数表示式22
6、2)(21)(xexf),(x=x例例1 1、下列函数是正态密度函数的是（、下列函数是正态密度函数的是（）A.A.B.B.C.C.D.D.22()21(),(0)2xf xe 都是实数222()2xf xe2(1)41()2 2xf xe221()2xf xeB B3 3、正态曲线的性质、正态曲线的性质012-1-2x xy y-3=-1=0.5012-1-2x xy y-33=0=1012-1-2xy y-334=1=2具有两头低、中间高、左右对称的基本特征具有两头低、中间高、左右对称的基本特征22()21(),(,)2xxex 012-1-2xy-3=-1=0.5012-1-2xy-33=
7、0=1012-1-2xy-334=1=2（1 1）曲线在）曲线在x x轴的上方，与轴的上方，与x x轴不相交轴不相交.（2 2）曲线是单峰的）曲线是单峰的,它关于直线它关于直线x x=对称对称.3 3、正态曲线的性质、正态曲线的性质（4 4）曲线与）曲线与x x轴之间的面积为轴之间的面积为1 1（3）曲线在）曲线在x x=处达到峰值处达到峰值(最高点最高点)1 1 2222()21(),(,)2xxex 方差相等、均数不等的正态分布图示方差相等、均数不等的正态分布图示312=0.5=-1-1=0=0=1 1若若 固固定定,随随 值值的的变变化化而沿而沿x x轴轴平移平移,故故 称为称为位置位置
8、参数参数；均数相等、方差不等的正态分布图示均数相等、方差不等的正态分布图示=0.5=1=2=0若若 固定固定,大大时时,曲曲线线矮而矮而胖；胖；小小时时,曲曲线线瘦瘦而高而高,故故称称 为为形形状参数状参数。=0.5012-1-2xy-33X=1=2(6)(6)当当一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由确定确定 .越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的分布越分散；，表示总体的分布越分散；越小，曲线越越小，曲线越“瘦高瘦高”，表示总体的分布越集中，表示总体的分布越集中.（5 5）当）当 x x时时,曲线下降曲线下降.并且当曲并且当曲线向左、右两边无限延伸时线向左、右两边无限延伸时,以
9、以x x轴为渐近线轴为渐近线,向它无限靠向它无限靠近近.3 3、正态曲线的性质、正态曲线的性质22()21()2xxe 动画动画例例3 3、把一个正态曲线、把一个正态曲线a a沿着横轴方向向右移动沿着横轴方向向右移动2 2个单个单位，得到新的一条曲线位，得到新的一条曲线b b。下列说法中不正确的是。下列说法中不正确的是（）A.A.曲线曲线b b仍然是正态曲线；仍然是正态曲线；B.B.曲线曲线a a和曲线和曲线b b的最高点的纵坐标相等的最高点的纵坐标相等;C.C.以曲线以曲线b b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a a为为概率密度曲线的总体的期望大概率密度曲
10、线的总体的期望大2;2;D.D.以曲线以曲线b b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a a为为概率密度曲线的总体的方差大概率密度曲线的总体的方差大2 2。C C正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律X X轴与正态曲线所夹面积恒等于轴与正态曲线所夹面积恒等于1 1。对称区域面积相等。对称区域面积相等。S(-,-X)S(X,)S(-,-X)正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律对称区域面积相等。对称区域面积相等。S(-x1,-x2)-x1 -x2 x2 x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)4 4、特殊区间的概率、特殊区间的概率:-a a+a ax x=若
11、若XN ,XN ,则对则对于任何于任何实数实数a0,a0,概概率率 为为如如图图中的中的阴阴影部分的面影部分的面积积，对对于固定的于固定的 和和 而言，而言，该该面面积随积随着着 的的减减少而少而变变大。大。这说这说明明 越小越小,落在落在区间区间 的的概概率越大，即率越大，即X X集中在集中在 周周围概围概率越大。率越大。2(,),()()aaPaax dx (,aa()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.PXPXPX特别地有特别地有 我们从上图看到，正态总体在我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有以外取值的概率只有4.64.6，在，在 以外取值的概率只有以外取
12、值的概率只有0.3 0.3。2,23,3 由于这些概率值很小（一般不超过由于这些概率值很小（一般不超过5 5 ），通常称这些情况发生为小概率事件。），通常称这些情况发生为小概率事件。()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.PXPXPX例例3:3:分别求正态总体分别求正态总体 在区间在区间:内取值的概率内取值的概率.2,N、,、2,2、3,3 954.02222FF解：解：同理，正态总体同理，正态总体 在区间在区间:内取值的概率是：内取值的概率是：2,N、2,2 正态总体正态总体 在区间在区间:内取值的概率是：内取值的概率是：2,N、3,3.997.03333FF上述计算结
13、果可用下表和图来表示：上述计算结果可用下表和图来表示：区间区间 取值概率取值概率,2,23,3oo3.68oo4.95oo7.99（7 7）假设检验方法的基本思想；）假设检验方法的基本思想；小概率事件的含义：小概率事件的含义：我们从上图看到，正态总体在我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有以外取值的概率只有4.64.6，在，在 以外取值的概率只有以外取值的概率只有0.3 0.3。2,23,3 由于这些概率值很小（一般不超过由于这些概率值很小（一般不超过5 5 ），通常称这些情况发生为小概率事件。），通常称这些情况发生为小概率事件。即事件在一次试验中几乎不可能发生。即事件在一次试验中几乎
14、不可能发生。例例4 4、在某次数学考试中，考生的成绩、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一服从一个正态分布，即个正态分布，即 N(90,100).N(90,100).（1 1）试求考试成绩）试求考试成绩 位于区间位于区间(70,110)(70,110)上的概上的概率是多少？率是多少？（2 2）若这次考试共有）若这次考试共有20002000名考生，试估计考试成绩名考生，试估计考试成绩在在(80,100)(80,100)间的考生大约有多少人？间的考生大约有多少人？练习练习：1 1、已知一次考、已知一次考试试共有共有6060名同名同学参学参加，考生的加，考生的成成绩绩X X ，据此估，据此估计计，大
15、，大约应约应有有5757人的人的分分数数在下列在下列哪个区间内哪个区间内？（？（）A.A.(90,110 B.(95,125 C.(100,120 D.(90,110 B.(95,125 C.(100,120 D.(105,115(105,1152(100,5)C C2 2、已知、已知XN(0,1)XN(0,1)，则，则X X在区间在区间 内内取值的概率等于（取值的概率等于（）A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.022A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 83 3、设离散型随机变量、设离散型随机变量XN(0,1),XN(0,1),则则
16、 =,=.4 4、若、若XN(5,1),XN(5,1),求求P(6X7).P(6X7).(,2)(0)P X(22)PX D D0.50.50.95440.9544引入引入 正态分布在统计学中是很重要的分布。我正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于等于某一特定实数的概率可能大于0 0，人们感兴趣，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为它等于任何一个实数的概率都为0 0，所以通常感兴，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的趣的是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述。概率分布规律用密度函数（曲线）描述。可编辑感感谢谢下下载载
