1、一元回归分析课件100428-PPT精选文档知识结构知识结构 收集数据收集数据 (随机抽样随机抽样)整理、分析数据整理、分析数据估计、推断估计、推断简单随机抽简单随机抽样样分层抽样分层抽样系统抽样系统抽样用样本估计总体用样本估计总体变量间的相关关系变量间的相关关系 用样本用样本的频率的频率分布估分布估计总体计总体分布分布 用样本用样本数字特数字特征估计征估计总体数总体数字特征字特征线性回归分析线性回归分析1、两个变量的关系、两个变量的关系不相关不相关相关相关关系关系函数关系函数关系线性相关线性相关非线性相关非线性相关问题问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪：现实生活中两个变量间的关系有哪些呢
2、？些呢？相关关系：相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。之间的关系。思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？函数关系函数关系中的两个变量间是一种中的两个变量间是一种确定性关系确定性关系相关关系相关关系是一种是一种非非确定性关系确定性关系 函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况问题问题2：对于线性相关的两个变量用：对于线性相关的两个变量用什么方法来刻划之间的关系呢？什么方法来刻划之间的关系呢？2、最小二乘估计、最小二乘估计最小二乘估计下的线
3、性回归方程：最小二乘估计下的线性回归方程：ybxa121()()()niiiniixxyybXx aybx 2211xnxyxnyxiniiini3、回归分析的基本步骤回归分析的基本步骤:画散点图画散点图求回归方程求回归方程预报、决策预报、决策散点图直观判断两个变量之间是否存在线性相关关系？例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。所示。编号12345678身高/cm165 165 157 170 175 165 155 170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程
4、，并预报一名身高为求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。案例案例1：女大学生的身高与体重：女大学生的身高与体重解：解：1、选取身高为自变量、选取身高为自变量x，体重为因变量，体重为因变量y，作散点图：，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。刻画它们之间的关系。3、从散点图还看到，样本点散布在某一条、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以直线的附近，而不是在一条
5、直线上，所以不能用一次函数不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。描述它们关系。3.3.求线性回归方程的步骤：求线性回归方程的步骤：(1)(1)计算平均数计算平均数(2)(2)计算计算 与与 的积的积,求求(3)(3)计算计算(4)(4)将上述有关结果代入公式，求将上述有关结果代入公式，求b b、a a，写出回归直线方程写出回归直线方程 ,xyixiy1niiix y21niix2211xnxyxnyxbiniiinixbya例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。所示。5943616454505748体重/kg
6、170155165175170157165165身高/cm87654321编号求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。根据最小二乘法估计 和 就是未知参数a和b的最好估计，ab制表xi2xi yiyixi7 8 合计654321i2iiixyxx ynni=1i=1 ，.例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。所示。5943616454505748体重/kg170155165175
7、170157165165身高/cm87654321编号求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。根据最小二乘法估计 和 就是未知参数a和b的最好估计，ab于是有b=12210.849niiiniix ynx yxnx85.712aybx 所以回归方程是0.84985.712yx(,)x y 称为样本点的中心探究：探究：身高为身高为172cm的女大学生的体重一定是的女大学生的体重一定是60.316kg吗？吗？如果不是，你能解析一下原因吗？如果不是，你能解析一下原因吗
8、？0.849 17285.71260.316()ykg探究：探究：身高为身高为172cm的女大学生的体重一定是的女大学生的体重一定是60.316kg吗？吗？如果不是，你能解析一下原因吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：身高为答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重在但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。左右。函数模型与回归模型之间的差别函数模型与回归模型之间的差别函数模型：abxy回归模型：eabxy例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所
9、示。所示。编号12345678身高/cm165 165 157 170 175 165 155 170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。案例案例1：女大学生的身高与体重：女大学生的身高与体重解：解：1、选取身高为自变量、选取身高为自变量x，体重为因变量，体重为因变量y，作散点图：，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程线性相关关系，因此可
10、以用线性回归方程刻画它们之间的关系。刻画它们之间的关系。3、从散点图还看到，样本点散布在某一条、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。描述它们关系。我们可以用下面的我们可以用下面的线性回归模型线性回归模型来表示：来表示：y=bx+a+e，其中，其中a和和b为模型的未知参数，为模型的未知参数，e称为随机误差称为随机误差。思考思考产生随机误差项产生随机误差项e的原因是什么？的原因是什么？思考思考产生随机误差项产生随机误差项e的原因是什么？的原因是什么？随机误差随机误差e e的来
11、源的来源(可以推广到一般）：可以推广到一般）：1、其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能 还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3、身高 y 的观测误差。线性回归模型线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项增加了随机误差项e，因变量因变量y的值由自变量的值由自变量x和随机误差项和随机误差项e共同确定，共同确定，即即自变量自变量x只能解析部分只能解析部分y的变化的变化。在统计中，我们也把自变量在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，称为解析变量，因变量因变量y称为预报变量。称为预报变量。4、线性回归模型线性回归模型yabxe随
12、机误差随机误差e是什么？是什么？编号编号12345678身高身高/cm165165157170175165155170体重体重/kg4857505464614359残差残差e-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382是一个变量是一个变量iiieyy=5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号在例在例1中，残差平方和约为中，残差平方和约为128.361。因此，数据点和它在回归直线上相应位置的差异因此，数据点和它在回归直线上相应位置的差异 是随机误差的效应，是随机误差的效应，称
13、称 为为残差残差。)iiyy(iiieyy=对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号21()niiiyy称为称为残差平方和残差平方和，它代表了随机误差的效应。它代表了随机误差的效应。表示为：表示为：对回归模型进行统计检验对回归模型进行统计检验离差平方和的分解离差平方和的分解（三个平方和的意义）1.总偏差平方和总偏差平方和(SST)反映因变量的反映因变量的 n 个观察值与其个观察值与其均值均值的总离差的总离差2.回归平方和回归平方和(SSR)反映自变量反映自变量 x 的变化对因变量的变化对因变量
14、y 取值变化的影响，取值变化的影响，或者说，是由于或者说，是由于 x 与与 y 之间的线性关系引起的之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和的取值变化，也称为可解释的平方和3.残差平方和残差平方和(SSE)反映除反映除 x 以外的其他因素（以外的其他因素（随机误差随机误差e）对对 y 取值的取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和 假设身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响，那么所有人的体重将相假设身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响，那么所有人的体重将相同。同。在体重不受任何变量影响的假设下，设在体重不受任何变量影响的
15、假设下，设8名女大学生的体重都是她们的平均值，名女大学生的体重都是她们的平均值，即即8个人的体重都为个人的体重都为54.5kg。54.554.554.554.554.554.554.554.5体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号54.5kg在散点图中，所有的点应该落在同一条在散点图中，所有的点应该落在同一条水平直线上，但是观测到的数据并非如水平直线上，但是观测到的数据并非如此。此。这就意味着这就意味着预报变量（体重）的值预报变量（体重）的值受解析变量（身高）或随机误差的影响受解析变量（身高）或随机误差的影响。5943616454505748体
16、重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号 例如，编号为例如，编号为6的女大学生的体重并没有落在水平直线上，她的体重为的女大学生的体重并没有落在水平直线上，她的体重为61kg。解析。解析变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从54.5kg“推推”到了到了61kg，相差，相差6.5kg，所以所以6.5kg是解析变量和随机误差的是解析变量和随机误差的组合效应组合效应。编号为编号为3的女大学生的体重并也没有落在水平直线上，她的体重为的女大学生的体重并也没有落在水平直线上，她的体重为50kg。解析。解析变量（身
17、高）和随机误差共同把这名学生的体重从变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从50kg“推推”到了到了54.5kg，相差，相差-4.5kg，这时解析变量和随机误差的组合效应为这时解析变量和随机误差的组合效应为-4.5kg。用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。数学上，把每个效应（观测值减去总的平均值）的平方加起来，即用数学上，把每个效应（观测值减去总的平均值）的平方加起来，即用21()niiyy表示总的效应，称为表示总的效应，称为总偏差平方和总偏差平方和。在例在例1中，总偏差平方和为中，总偏差平方和为354。由于解析变量和随机误差的总效应（总偏差
18、平方和）为由于解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为354，而随机误差的效应为，而随机误差的效应为128.361，所以解析变量的效应为，所以解析变量的效应为解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）=解析变量的效应（回归平方和）解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）随机误差的效应（残差平方和）354-128.361=225.639 这个值称为这个值称为回归平方和。回归平方和。思考：思考：如何刻画预报变量（体重）的变化？这个变化在多大程度上如何刻画预报变量（体重）的变化？这个变化在多大程度上与解析变量（身高）有关？在多大程度上与
19、随机误差有关？与解析变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？由于解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为由于解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为354，而随机误差的效应为，而随机误差的效应为128.361，所以解析变量的效应为，所以解析变量的效应为解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）=解析变量的效应（回归平方和）解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）随机误差的效应（残差平方和）354-128.361=225.639 这个值称为这个值称为回归平方和。回归平方和。我们可以用我们可以用相关指数相关指数R2来刻画回归
20、的效果，其计算公式是来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy残差平方和。总偏差平方和2221121()()()nniiiiiniiyyyyRyy总偏差平方和残差平方和回归平方和总偏差平方和总偏差平方和我们可以用我们可以用相关指数相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy 残差平方和。总偏差平方和显然，显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。在线性回归模型中，在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变
21、化的贡献率表示解析变量对预报变量变化的贡献率。R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值的值来做出选择，即来做出选择，即选取选取R2较大的模型作为这组数据的模型较大的模型作为这组数据的模型。总的来说：总的来说：相关指数相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表在线性模型中，它代表解释变量解释变量(自变量自变量)刻画预报变量刻画预报变量的能力。的能力。我们可以用
22、我们可以用相关指数相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy 残差平方和。总偏差平方和1354总计0.36128.361残差变量0.64225.639随机误差比例平方和来源表表1-3 从表从表3-1中可以看出，解析变量对总效应约贡献了中可以看出，解析变量对总效应约贡献了64%，即，即R2 0.64，可以叙述为，可以叙述为“身高解析了身高解析了64%的体重变化的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的，而随机误差贡献了剩余的36%。所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。表表
23、1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。是否可以用回归模型来拟合数据。残差分析与残差图的定义：残差分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残差然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析这方面的分析工作称为残差分析。12,ne ee 编号编号
24、12345678身高身高/cm165165157170175165155170体重体重/kg4857505464614359残差残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图残差图。残差图的制作及作用。残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择
25、；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域横轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点 错误数据 模型问题 几点说明：几点说明：第一个样本点和第第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。据；如果数据采集没有错误
26、，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。用身高预报体重时，需要注意下列问题：用身高预报体重时，需要注意下列问题：1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；、我们所建立的回归方程一般都有时间性；3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；、样本采集的范围
27、会影响回归方程的适用范围；4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。这些问题也使用于其他问题。这些问题也使用于其他问题。涉及到统计的一些思想：涉及到统计的一些思想：模型适用的总体；模型适用的总体；模型的时间性；模型的时间性；样本的取值范围对模型的影响；样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确理解。模型预报结果的正确理解。一般地，建立回归模型的基本步骤为：一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，）确定研究对象，
28、明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。哪个变量是预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数）按一定规则估计回归方程中的参数 （如最小二乘法）。（如最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数
29、据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是合适等。若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是合适等。样本决定系数样本决定系数（判定系数R 2）1.回归平方和占总离差平方和的比例2221122111nniiiinniiiiyyyyRyyyy 小结1.问题：有时散点图的各点并不集中在一条直线的附近，仍然可以按照求回归直线方程的步骤求回归直线，显然这样的回归直线没有实际意义。在怎样的情况下求得的回归直线方程才有实际意义？即建立的线性回归模型是否合理？如何对一组数据之间的线性相关程度作出定量分析？)(2212
30、211ynyxnxyxnyxriniiniiini2.求相关系数r如0.75|r|1，可以认为有较强的线性相关关系。相关关系的测度相关关系的测度（相关系数取值及其意义）3.3.求相关系数求相关系数r r的步骤：的步骤：(1)(1)计算平均数计算平均数(2)(2)计算计算 与与 的积的积,求求(3)(3)计算计算(4)(4)将上述有关结果代入公式，求将上述有关结果代入公式，求r r,xyixiy1niiix y2211,nniiiixy)(2212211ynyxnxyxnyxriniiniiini已知变量X,Y满足下表，求相关系数rx123y138)(2212211ynyxnxyxnyxriniiniiini计算可得r=0.798，所以可以线性相关求回归方程。
