1、二次根式的概念和性质 正数有两个平方根且互为相反数；0有一个平方根就是它本身0；负数没有平方根。1、平方根的性质：1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？3、7有没有平方根？有没有算术平方根？正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。试一试：说出下列各式的意义；11 6,8 1,0,0.0 4;4 9观察：上面几个式子中，被开方数的特点？被开方数是非负数 2、表示什么？a表示非负数a的算术平方根0:a即a(a 0)表表 示示 非非 负负 数数 a 的的 算算 术术 平平 方方 根根，形形 如如a(a 0)的的 式式 子子 叫叫 做做 二二
2、次次 根根 式式。它它 必必 须须 具具 备备 如如 下下 特特 点点：1、根根 指指 数数 为为 2；2、被被 开开 方方 数数 必必 须须 是是 非非 负负 数数。想想 一一 想想：1 10 0 、-5 5 、3 38 8 5 53 3 、(-2 2)2 2 a a2 2+0 0.1 1 、-a a (a a 0 0 是是 不不 是是 二二 次次 根根 式式？1.二次根式的概念注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式。如13,2 是不是二次根式?1a思考：不是,它是二次根式的代数式.定义：像 ,这样表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二次根式。25002a3b
3、s(0).a a 形 如的 式 子 叫 做 二 次 根 式2.a可以是数,也可以是式.3.形式上含有二次根号4.a0,0 a5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.1.表示a的算术平方根(双重非负性)例1:判断，下列各式中那些是二次根式？,10a,a,2a,04.0,5.83,04.0,2a,a定义：式子 叫做二次根式.)0(aa不要忽略其中a叫做被开方式。求下列二次根式中字母的取值范围：11a a2112 233a求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数零；分母中有字母时，要保证分母不为零。练习：x取何值时,下列二次根式有意义?xx3)2(1)1(1x0 x为全体实数x0 xxx1)
4、4(4)3(23)5(x0 x21)6(x0 x求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数大于等于零；分母中有字母时，要保证分母不为零。12a 1(7)12a3(8)|4xx正数0没有x2 3x125x 1xx303xx得：由25052xx得：由01001xxxx且得：由题型:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.1.当 _时，有意义。xx3 3.求下列二次根式中字母的取值范围x x3 31 15 5x x解得 -5x3解：0 0 x x-3 30 05 5x x说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组）3a44a有意义的条件是 .2.+2(3)
5、_1x 2(1)_x2(2)2xx2(7)17xx 32x7x求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数不小于零；分母中有字母时，要保证分母不为零。小结一下做做 一一 做做:要要 使使 下下 列列 各各 式式 有有 意意 义义，字字 母母 的的 取取 值值 必必 须须 满满 足足 什什 么么 条条 件件？1、x+3 2、2-5x 3、1 x 4、a2+1 5、x-3+4-x 6、x-1x-2 非非 负负 数数 的的 算算 术术 平平 方方 根根 仍仍 然然 是是 非非 负负 数数。性性 质质 1：a 0(a 0)（双双 重重 非非 负负 性性）引引 例例：|a-1|+(b+2)2=0,则则
6、 a=b=解解：a+2 0、|3b-9|0、(4-c)2 0，又又 a+2+|3b-9|+(4-c)2=0,a+2=0,3b-9=0,4-c=0。a=-2,b=3,c=4。2a-b+c=2(-2)-3+4=-3。二次根式的双重非负性解析经常作为隐含条件，是解题的关键例已知，求xy的值130 xy-+=解：，1x-3y+130 xy-+=，1x-3y+x，yxy初中阶段的三个非负数：a|a2a(a)200,0|00,0|00,0.abababababab+=+=+=题型:二次根式的非负性的应用.1.已知：+=0,求 x-y 的值.yx24x2.已知x,y为实数,且 +3(y-2)2=0,则x-y
7、的值为()A.3 B.-3 C.1 D.-11x解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0解得 x=4,y=-8x-y=4-(-8)=4+8=12注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。练习.已知，求x、y的值.223yxx=-+-+x=2，y=3a4.已知 ，求a的值.4|3|aaa4343aaaa，即 a-4=9，则 a=13.,12的值求自然数为一个整数nnn12n=3，8，11，12计算:)0(,2aaa 想一想 等于什么?请举例验证.02aa23225204.0=352性质：把下列各数写成平方的形式：3=，232522504.0204.024利用这个式子，我们可以把任何一个
8、非负数写成一个数的平方的形式。如 4=。根据等式的定义，可得 。)0(,2aaa)0(,2aaa我们已经得到:面积5271232()(0)aaa 2)72(2)312(2)5(2)32(算算 一一 算算：02=；22=；（-2）2=32=；（-3）2=想想 一一 想想：a2 等等 于于 什什 么么 呢呢？性性 质质 3：当当 a 0 时时，a2=；当当 a 0 时时，a2=。也也 就就 是是 说说：a2=。a-a|a|02233算算 一一 算算：(1)（-9）2 (2)(1 3 )2 (3)6 4 (4)(x2+1)2 试一试1.计算下列各题:215(1)(2)2512.若 ,则x的取值范围为
9、 ()xx1)1(2A.x1 B.x1 C.0 x1 D.一切有理数3.与 是一样的吗？你的理由是什么，请小组讨论一下。2a a（）23、二二 次次 根根 式式 具具 有有 哪哪 些些 性性 质质？1、什么叫做二次根式？形形 如如a(a 0)的的 式式 子子 叫叫 做做 二二 次次 根根 式式。2、二次根式有哪两个形式上的特点？（1）根根 指指 数数 为为 2；（2）被被 开开 方方 数数 必必 须须 是是 非非 负负 数数。课堂小结性性 质质 1：a 0(a 0)（双双 重重 非非 负负 性性）性性 质质 2：(a)2=a(a 0)性性 质质 3：当当 a 0 时时，a2=a ；当当 a 0 时时，a2=-a 。也也 就就 是是 说说：a2=|a|。2aa (0)aa (0)aa 例2 计算：22)15()10()1()22()2(2)2(2例3 计算：|3254|)3253(22 (0)()aaa aa2)0(aa)0(aa你的理由是什么？一样吗？）与（22aa补充：分别说出下列各式成立的a的取值范围：2(1)()aa 2(2)()aa 2(3)(2)2aa x0,4x0,例5:已知:x0)(a=0)(a 0)a题型：利用)0()(2aaa进行分解因式例：分解因式：2)1(2x2232)2(yx22)2(22xxxyxyxyx3232)3()2(221532x2242ba
