1、第五章年缴均衡保费特点v保险金一次性给付。保险金一次性给付。v保费按年金的方式缴纳保费按年金的方式缴纳1、年缴、年缴 月缴月缴2、全期缴纳、全期缴纳 限期缴纳限期缴纳 第一节 死亡立即给付型均衡纯保费v一、等价原理v1、亏损现值YPZ TTTaPvbL)()()(YEPZELEaPA 2、均衡纯保费的一般式v令：v或：0)(LEAaPaAP 二、全期缴费，v 1、终身寿险xxxAaPxxxaAP 1）2）导出公式v。xxxxaaaP11xxxxxAAAAP113）L的方差（以终身寿险为例）v。)()(YPZVarLVarx)1(ZPZVarx)1(xxPZPVar)()1(2ZVarPx)()
2、1(222xxxAAP2、其他均衡纯保费v。1:1:nxnxnxAaPnxnxnxaAP:1:1:nxnxnxAaP:nxnxnxaAP:xmmxxmaaaP:)(mxxmxmaaaP:)(对于两全保险（导出公式）v。nxnxnxnxaaaP:11nxnxnxnxnxAAAAP:11例1：已知：为常数，,)(LVarPx求：dtpeAtxxttx0dteett0 xxxAAP1。v。dtpeAtxxttx022dteett022)(LVar)()1(222xxxAAP2例2：设生存函数 ，试求40岁的人投保终身寿险的均衡纯保费。解：因：所以：)0(1001xxlx05.0)0(1001xxlx
3、xtxxtllpxtx100100 xptfxtx1001)(当：当：40 x601)(tfx 所以：v。dttfvAxt)(600403167.031601601601360600600eeedtett0232.014040404040AAaAP三、h年限期缴费的均衡纯保费v。)0(:hAaPxhxxhhxxxhaAP:1:1:nxhxnxhAaPhxnxnxhaAP:1:1:。v。xmhxxmhaaaP:)(nxhxnxhAaP:hxnxnxhaAP:hxxmxmhaaaP:)(第二节 死亡年末付型均衡纯保费v一、等价原理v1、亏损现值PYZ 111kkkaPvbL)()()(YPEZEL
4、EaPA 2、均衡纯保费的一般式v令：v或：0)(LEAaP aAP 二、全期缴费 v 1、终身寿险xxxAaP xxxaAP 1）xxNM2）导出公式v。daaadPxxxx 11xxxxxAAddAAP113）L的方差（以终身寿险为例）v。)()(YPZVarLVarx)1(dZPZVarx)1(dPZdPVarxx)()1(2ZVardPx)()1(222xxxAAdP2、其他均衡纯保费v。1:1:nxnxnxAaP nxnxnxaAP:1:1:nxnxnxAaP:nxnxnxaAP:xmmxxmaaaP :)(mxxmxmaaaP:)(三、h年限期缴费的均衡纯保费v。)0(:hAaPx
5、hxxh hxxxhaAP:1:1:nxhxnxhAaP hxnxnxhaAP:1:1:。v。xmhxxmhaaaP :)(nxhxnxhAaP:hxnxnxhaAP:hxxmxmhaaaP:)(例1：李华在40岁时投保了保险金额为20，000元的终身寿险，设i=6%，试求：v1）在生存期内缴付的均衡纯保费；v2）限期10年缴清的均衡纯保费；v3）趸缴纯保费。v解：1）40404020000AaP 40404020000aAP 元2.1898.14220164.1345120000200004040NM2）v。4010:40401020000AaP 10:4040401020000aAP 元0
6、.37027.6953868.14220164.134512000020000504040NNM。v。3）4020000AP 元7.286394.939424.1345120000200004040DM。v例2：李洪在40岁时投保了终身寿险，规定若他在第一年死亡，给付5，000元，以后每多活一年死亡，保险金增加1000元，增加到20，000元时，保险金不再变动，若保险金在死亡年末给付，保费全期缴纳，并规定投保前5年每年缴付的保费是以后各年保费的一半，i=6%，试求各年纯保费。解：设前5年每年保费为P，后各年为2P.401616:401404055:4016000)(100040002AIAAa
7、PaP 40454050402DNPDNNP4056405656404040160001610004000DMDMRRDMP=102.30元元例3、张军在30岁时投保了他从60岁开始每年末能得到5，000元的生存年金，若保费在60岁前缴清，i=6%，求年缴均衡保费。v解：303030:30305000aaP 60306130:3030303050005000NNNaaP 元40.572第三节 半连续型均衡纯保费v 半连续型均衡纯保费的特点v1、保费按年金方式在被保险人生存的年初缴纳；v2、保险金在被保险人死亡时立即给付。AaP 一、全期缴费（在UDD假设下）v终身寿险xxxAaAP )(xxx
8、aAAP)(xxxPiaAi xxNMi定期寿险v。1:1:)(nxnxnxAaAP nxnxnxaAAP:1:1:)(1:1:nxnxnxPiaAi nxxnxxNNMMi两全保险v。nxnxnxAaAP:)(nxnxnxaAAP:)(nxnxnxiaAA:1:1:nxnxPPi1:1:二、h年限期缴费（在UDD假设下）v。hxxxhaAAP:)(hxxaAi:xhPi。v。hxnxnxhaAAP:1:1:)(hxnxaAi:1:1:nxhPihxnxnxhaAAP:)(hxnxnxiaAA:1:1:)()(1:1:nxhnxhAPAPi例：在UDD假设下，求：v解解：)(100030AP)
9、(100030AP36.510001000303030NMP52.51000)(1000303030NMiAP301000P1）2）1）2）3）。v。3030301000)(1000aAAP303011000AA089.030303030DMiAiA695.5)(100030AP3）证明：v证证：)1(1:nxnxxnnxAPPP1:1:nxnxnxnxnxAAAaP nxnxnxxnxxnAAAAaP1:1:)1()(1:nxnxnxxnnxAAaPP)1(1:nxnxxnnxAPPP同理：两式相减：得：第四节第四节 每年缴纳次每年缴纳次m的均衡纯保费的均衡纯保费v 每年缴纳次m的均衡纯保费
10、的特点是每年的保费分m次在期初缴纳，保险金在死亡年末给付。一、全期缴费的均衡保费v（一）终身寿险v 用表示该寿险每年缴付m次的年均衡纯保费，表示每年支付次的期初付终身生存年金，保险金在死亡年末给付，保险金额为1元，则：)(mxP)(mxa xmxmxAaP)()(所以：v或：)()(mxxmxaAP xxmxxmxaAaaP )()(xmxxPaa)(v所以：v用换算函数表示：xxxmxPmmaaP21)(xmxPP)(xxPamm 2111xxxmxDmmNMP21)(对于死亡立即给付的终身寿险 v。)()()(mxxxmxaAAP)(mxxaAi)(mxPixxxxmxDmmNMiAP21
11、)()(（二）n年定期寿险v。1:)(:1:)()(nxmnxnxmAaAP 1:)(:)(nxmnxnxmPaaP 1:1:)()1(21)(nxxnnxnxnxmPEmmaaAP 1:)1(2111nxxnnxPEamm 用换算函数表示 v。)(21)(1:)(nxxnxxnxxnxmDDmmNNMMAP对于死亡立即给付的半连续型定期寿险 v。1:)(:1:)()(nxmnxnxmAaAP )(21)(1:)(nxxnxxnxxnxmDDmmNNMMiAP（三）n年定期两全保险v.nxmnxmnxAaP:)(:)(:)(:)(:mnxnxmnxaAP nxmnxnxPaa:)(:.v.nx
12、xnnxnxmnxPEmmaaP:)(:)1(21 nxxnnxPEamm:)1(2111)(21nxxnxxnxnxxDDmmNNDMM对于半连续型两全保险 v.nxmnxnxmAaAP:)(:)()()(:1:)(:1:)()(mnxnxmnxnxnxmaAaAiAP )()(1:)(1:)(nxmnxmAPAPi二、延期期间全期缴费的均衡保费v（一）延期s年的终身寿险xsmsxxsmAaAP)(;)()()(;)()(msxxsxsmaAAP 在UDD假设下 v.)()1(21)(;)(xsxssxsxxsmAPEmmaaAP )()1(2111;xsxssxAPEamm)(21sxxs
13、xxsxDDmmNNM（二）延期s年的n年定期寿险v.)(:1:1:)()(msxnxsnxsmaAAP)(1:)(:nxsmsxsxAPaa )()1(21111:nxsxssxAPEamm 用换算函数表示 v.)(21)(1:)(sxxsxxnsxsxnxsmDDmmNNMMiAP（三）延期s年的n年定期两全保险v。)(:)()(msxnxsnxsmaAAP)(:)(:nxsmsxsxAPaa )()1(2111:nxsxssxAPEamm 用换算函数表示 v。)(21)(:)(sxxsxxnsxnsxsxnxsmDDmmNNDMMAP 对于半连续型两全保险 v。)(:1:)(:1:)()
14、(msxnxsmsxnxsnxsmaAaAiAP )()(1:)(1:)(nxsmnxsmAPAPi 用换算函数表示 v。)(21)(:)(sxxsxxnsxnsxsxnxsmDDmmNNDMMiAP三、限期缴费的均衡保费v（一）限期h年缴费的终身寿险xmsxmxhAaP)(;)()(;)(mhxxmxhaAP 或：v 在UDD假设下 hxxmhxhxmxhaAaaP;)(;)(xhmhxhxPaa)(;xhxhhxhxmxhPEmmaaP)1(21;)(xhxhhxPEamm)1(2111;用换算函数表示 v.)(21)(hxxhxxxmxhDDmmNNMP（二）限期h年缴费的n年定期寿险v
15、。)(:1:1:)()(mhxnxnxmhaAAP)(1:)(:nxhmhxhxAPaa )()1(21111:nxhxhhxAPEamm（三）限期h年缴费的n年定期两全保险v.)(:)()(mhxnxnxmhaAAP)(:)(:nxhmhxhxAPaa )()1(2111:nxhxhhxAPEamm 用换算函数表示 v.)(21)(:)(hxxhxxnhxnhxhxnxhmDDmmNNDMMAP。v。例例(25)投保投保35年期的定期寿险，保险金额为年期的定期寿险，保险金额为10，000元，保费在每月初缴纳，如果保险金在死元，保费在每月初缴纳，如果保险金在死亡年末给付，亡年末给付，1.全期缴
16、纳的月保费；2.10年限期缴纳的月保费。%6i，试计算：试计算：解：一年缴纳解：一年缴纳12次的年缴纯保费为：次的年缴纯保费为：v。10000)12(35:25135:25)12(135:25aAP 10000)0.26606228384(24113.3057101.37621256.93014.1543410000)(2110000)1(21)(602560256025253535:25256025DDmmNNMMEmmaDMM =18.23元v 月缴保费为：元52.1121)12(135:25P(2)一年缴纳12次，10年限期缴纳的年缴纯保费为：v。10000)12(10:25135:25
17、)12(135:25aAP 10000)6.1265139.228384(241119856921.37621256.93014.154341000)(2110000)1(21352535256025251010:25135:25DDmmNNMMEmmaA=35.44元v 月缴保费：元95.2121)12(135:2510P第五节、均衡毛保费v 用于保险金给付的纯保费与用于各项经营费用开支的附加保费之和，称为毛保费。v 毛保费=纯保费+附加保费v =保险金的精算现值+费用支出的精算现值 一、费用的一般分类v1、新契约费。宣传费用、体检费用、代理人的佣金等费用。v2、维持费用。保费的收取、会计费
18、用、合同变更费用、理赔选择权准备费用及保单持有人进行联络的费用等。v3、营业费用。新险种的开发费用、研究费用、工资、税金、各种给付费用。v4、理赔费用。理赔调查和辩护费用。二、按相关性分类。v可以把费用分为与保费相关的费用、与保额相关的费用、与保单相关的费用。v（1）与保费相关的费用。按保费的一定比例提取的费用。如代理人的佣金、税金、广告费用等。v（2）与保额相关的费用。按保险金额的一定比例提取的费用。如理赔费用、维持费用、体检费用等。v（3）与保单相关的费用。与保单的数量有关的费用。如体检费用、保单维持费用等。v 如果上述费用与多项因素有关，可以将此费用分解。如体检费用、维持费用。三、费用的
19、计算特点v固定费用。绝对额的形式表现出来。v 营业费用 体检费用 给付费用等。v百分比。佣金、税金等。四、费用的分布特点v1、第一年较多，以后各年较少。v2、通常的做法：v理赔费用发生在期末；其他费用发生在起初。一般公式CAaG 例：(25)购买一份保险金额为100，000元的40年期两全保险，费用于下：v1）第一年费用为100元加上毛保费的25%；v2）续年费用为25元加上毛保费的10%；v3）发生死亡给付时的理赔费用为100元。v已知：v求：G%60811675.0)114592.0401:2540:25iAA解：v。39:2540:12540:2540:25)1.025(25.0100100100000aGGAAaG)1)(1.025(25.010010010000040:2540:12540:25aGGAA 6422.15140:2540:25dAa 其中：元45.856G例：对一种完全离散、均衡给付的终身寿险，i=6%，已知每年初的费用如下：v费用类型 费用v保费的百分比 25%v每千元保额 2.00（元）v每份保单 30（元）v如果投保年龄为30岁，保额为25，000元，求均衡毛保费。解：303030)3022525.0(25000aGAaG 086629.0303030DMA元75.289G其中：其中：
