1、两直线两直线l,m所成的所成的角为角为(02 ),cosa ba b ；1、两条直线的夹角：、两条直线的夹角：设直线设直线,l m的方向向量分别为的方向向量分别为,a b ，lamlamb 第1页/共25页所以 与 所成角的余弦值为A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系 ,如图所示，设 则：Cxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB1111 1(,0,1),(,1)22 2FD所以：11(,0,1),2 AF111(,1)22 BD11cos,AF BD1111|AF BDAFBD113041053421BD1AF3010.,111111111111
2、所成的角的余弦值和求，、的中点、取中，在直三棱柱AFBDFDCABACCCABCACBCCBAABC例例1：第2页/共25页直线直线l与平面与平面 所成的所成的角为角为(02 ),sina ua u ；2、直线与平面的夹角：、直线与平面的夹角：ua ula 第3页/共25页例2：的棱长为 1.111.B CAB C求与 平 面所 成 的 角 的 正 弦 值解解1 建立直角坐标系建立直角坐标系.11(010)则，-，BC B 11 平面AB C的一个法向量为D=(1，1，1)1110 1 03cos313 ，BD BC1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABCA1xD1B1ADBCC1yz
3、EF第4页/共25页例2：1111ABCDABC D的棱长为1.111.B CAB C求与 面所 成 的 角正方体ABCD1A1B1C1Dxyz(0 0 0)A，1(101)B，(110)C，解2：设正方体棱长为1，1AB AD AA ，为单以以1(101)(110)ABAC，1(111)C，11(010)BC 则，1()ABCnxyz设为，平平面面的的法法向向量量100n ABn AC 则，0=10=-1xzxyn=(1-1-1)，xyz所所以以取取得得故故位位正正交交基基底底，可可得得110 1 03cos313n BC ，1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABC的正弦值。第5页/
4、共25页OABCSxyz练习 1、如图，已知：直角梯形OABC中，OABC,AOC=90，SO面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：OS与面SAB所成角的余弦值 (2)(2 01)(111)SASB解：，()SABnxyz设平面的一个法向量为，201120 xzxyzxyz 取，则，(112)(0 01)SABnOS 故平面的一个法向量为，又，0026cos316nOS ，所以OS与面SAB所成角的余弦值为33第6页/共25页练习练习2：在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，F是是BC的中点，的中点，点点E在在D1C1上，且上，且D1E D1C1，试求直线，试求直线EF与
5、平面与平面D1AC所成角的正弦值所成角的正弦值41第7页/共25页练习练习2：在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，F是是BC的中点，的中点，点点E在在D1C1上，且上，且D1E D1C1，试求直线，试求直线EF与平面与平面D1AC所成角的正弦值所成角的正弦值41解：设正方体棱长为1，以，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则 (1,1,1)，E(0，1)，F(，1，0)，连接D ，所以 (1,1,1)，(，1)由题意可知，为平面D1AC的一个法向量，cos ，=1B1B41211DBEF1DBEF11694131141121187871DB2143第8页/共25页
6、 练习3：正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为 ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角zxyC1A1B1ACBOa2第9页/共25页 解:建立如图示的直角坐标系,则 A(,0,0),B(0,0)A1(,0,).C(-,0,)设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)由 得 取y=,得n=(3,0)而 2aa23a22a2a)2,0,0(),0,23,2(1aAAaaAB0200232azayxa03zyx33)2,0,(1aaAC21332320039|003|,cos|sin221aaaaaACn.30C1A1B1CAOBxyz第10页/共25页lcoscos,AB CDAB C
7、DAB CD DCBA3、二面角：、二面角：方向向量法：二面角的范围：0,第11页/共25页ll法向量法法向量法 1n 1n 2n 2n 12n n ，12n n ，12n n ，12n n ，cos12cos,n ncos12cos,n n法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角第12页/共25页ABCDSxzyA-xyz解：建立空直角坐系如所示,A(0,0,0),C(-1,1,0),1,0),2D(0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量11(1,0),(0,1)22 CDSD2(,),SCDnx y z的法向量22,nCD
8、nSD由得：设平面0202yxyz22yxyz2(1,2,1)n任取1212126cos,3|n nn nnn63即所求二面角得余弦值是.,211,所成二面角的余弦值与面求面，平面是直角梯形，如图所示，SBASCDADBCABSAABCDSABCABABCD例例3：第13页/共25页练习练习1：如图，四面体如图，四面体ABCD中，中，O、E分别是分别是BD、BC的中点，的中点，（I）求证：）求证：AO平面平面BCD；（II）求异面直线）求异面直线AB与与CD所成角的大小；所成角的大小；（III）求点）求点E到平面到平面ACD的距离的距离.2BDCDCBCA2 ADAB C A D B O E第
9、14页/共25页 x C A B O D y z E解：（解：（I）略）略 （II）解：以）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，为原点，如图建立空间直角坐标系，(1,0,0),(1,0,0),BD 则13(0,3,0),(0,0,1),(,0),(1,0,1),(1,3,0).22CAEBACD .2cos,4BACDBA CDBA CD 所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为 2.4第15页/共25页（III）解：设平面ACD的法向量为(,),nx y z则.(,).(1,0,1)0,.(,).(0,3,1)0,n ADx y zn ACx y z 0,30.xzyz1,y(3,1,3)
10、n 13(,0),22EC 令得是平面ACD的一个法向量，又.321.77EC nhn 所以点E到平面ACD的距离 x C A B O D y z E第16页/共25页如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余弦值所成的角的余弦值;(2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值;(3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值.OABCSxyz练习2：第17页/共25页OABCSxyz(1)OAOC OS 解：以，为正交基底建立空间直角坐标系如图。(
11、0 0 0)(0 01)(2 0 0)(110)OSAB则，(2 01)(110)SAOB，20010cos552SAOB ，如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的所成的 角的余弦值角的余弦值;第18页/共25页OABCSxyz如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求：(2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值;(2)(2 01)(111)SA
12、SB解：，()SABnxyz设平面的一个法向量为，201120 xzxyzxyz 取，则，(112)(0 01)SABnOS 故平面的一个法向量为，又，0026cos316nOS ，所以OS与面SAB所成角的余弦值为33第19页/共25页OABCSxyz(112)SABn 解：由(2)知平面的一个法向量为，OCSAOOCSAO又由平面知是平面的法向量(010)OC 且，0 1 06cos66 1n OC，所以二面角BASO的余弦值为66如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求：(3)二面角二面角
13、BASO的余弦值的余弦值.第20页/共25页zxy二面角二面角 A A-PBPB-C C 的的余弦值为余弦值为33 第21页/共25页的棱长为 1.1.BD求二面角A-C的大小解解1A1D1B1ADBCC13第22页/共25页练3:的棱长为 1.1.BD求二面角A-C的大小解解2 建立直角坐标系建立直角坐标系.A1xD1B1ADBCC1yz平面平面ABD1的一个法向量为的一个法向量为1(0,1,1)DA 平面平面CBD1的一个法向量为的一个法向量为1(1,0,1)DC 11cos,1/2DA DC cos1/2,120 10.BD二面角A-C的大小为12第23页/共25页1.三棱锥三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC,E为为PC中点中点,则则PA与与BE所成角的所成角的余弦值为余弦值为_.2.直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中,A1A=2,AB=AC=1,则则AC1与截面与截面BB1CC1所成所成角的余弦值为角的余弦值为_.3.正方体正方体中中ABCD-A1B1C1D1中中E为为A1D1的的中点中点,则二面角则二面角E-BC-A的大小是的大小是_090BAC090BAC663 1010045第24页/共25页谢谢您的观看！第25页/共25页
