1、奥数社团：植树问题(含时钟问题、上楼梯问题、方阵问题等)同学们在全同学们在全长长30米米的小路一边植树，每隔的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽米栽一棵（两端要栽）。）。一一共需要多少棵树苗？共需要多少棵树苗？总长总长 （米）（米）间间 隔隔 （米）（米）探究方法（线段图）探究方法（线段图）间隔数间隔数 （个）（个）植树棵数植树棵数 （棵）（棵）30 5 5 6 750?11100 20?在在路的一侧栽树，（两端都栽）路的一侧栽树，（两端都栽）在路的一侧栽树，（两端都栽）总长总长（米）（米）间间 隔隔（米）（米）探究方法（线段图）探究方法（线段图）间隔数间隔数（个）（个）植树棵数植树棵数
2、（棵）（棵）24 2 3 6 同学们在全同学们在全长长120120米米的小路一边植树，每的小路一边植树，每隔隔5 5米栽一棵（米栽一棵（两端要两端要栽栽）。一共需要多少）。一共需要多少棵树苗？棵树苗？同学们在全长同学们在全长10 米的小路一边植米的小路一边植树，每间隔树，每间隔5米栽一棵。（两端要栽）米栽一棵。（两端要栽）一共要栽多少棵？一共要栽多少棵？间隔数：间隔数：2树的棵数：树的棵数：线段图线段图5米5米开端开端终端终端3 同学们在全长同学们在全长12米的小路一边植米的小路一边植树，每间隔树，每间隔3米栽一棵。（两端要栽）米栽一棵。（两端要栽）一共要栽多少棵？一共要栽多少棵？间隔数：间隔
3、数：4树的棵数：树的棵数：线段图线段图3米开端开端终端终端53米3米3米 同学们在全长同学们在全长20 米的小路一边植树，米的小路一边植树，每间隔每间隔4米栽一棵（两端要栽）。一共米栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵？要栽多少棵？间隔数：间隔数：5树的棵数：树的棵数：线段图线段图4米4米4米4米4米开端开端终端终端6间隔数植树棵数 23 4 512N（两端要栽）（两端要栽）树的棵数树的棵数=间隔数间隔数 199小结：5613100N+1 同学们在全同学们在全长长400米米的小路一边植的小路一边植树，每间隔树，每间隔 5 米栽一棵。米栽一棵。一共要栽多少棵？一共要栽多少棵？（两端要栽）（两端要栽
4、）两端要栽两端要栽4005+1=81(棵)答：一共要答：一共要栽栽81棵棵树。树。为了美化环境，学校准备在操场边上的一条120米长的小路一边植树，每间隔5米栽一棵（两端不栽），需要准备多少棵树苗呢？同学们在全长同学们在全长10 米的小路一边植米的小路一边植树，每间隔树，每间隔5米栽一棵。（两端不栽）米栽一棵。（两端不栽）一共要栽多少棵？一共要栽多少棵？间隔数：间隔数：2树的棵数：树的棵数：树的棵数树的棵数=间隔数间隔数 1线段图线段图5米5米开端开端终端终端1 同学们在全长同学们在全长10 米的小路一边植米的小路一边植树，每间隔树，每间隔2米栽一棵。（两端不栽）米栽一棵。（两端不栽）一共要栽多
5、少棵？一共要栽多少棵？间隔数：间隔数：5树的棵数：树的棵数：树的棵数树的棵数=间隔数间隔数 1线段图线段图2米2米2米2米2米开端开端终端终端4小结小结两端要栽两端要栽两端不栽两端不栽树的棵数树的棵数=间隔数间隔数 1树的棵数树的棵数=间隔数间隔数 1奥数奥数社团社团12345678（二）上楼梯问题有这样一道题目：如果每上一层楼梯需要有这样一道题目：如果每上一层楼梯需要1分分钟，那么从一层上到四层需要多少分钟？如果你的钟，那么从一层上到四层需要多少分钟？如果你的答案是答案是4分钟，那么你就错了分钟，那么你就错了.正确的答案应该是正确的答案应该是3分分钟。钟。白汀水白汀水分析分析 如果呢子有如果
6、呢子有2米，不需要剪；如果呢子有米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪米，第一天就可以剪去最后一段，去最后一段，4米里有米里有2个个2米，只用米，只用1天；如果呢子有天；如果呢子有6米，第一天剪去米，第一天剪去2米，米，还剩还剩4米，第二天就可以剪去最后一段，米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有米里有3个个2米，只用米，只用2天；如果呢天；如果呢子有子有8米，第一天剪去米，第一天剪去2米，还剩米，还剩6米，第二天再剪米，第二天再剪2米，还剩米，还剩4米，这样第三米，这样第三天即可剪去最后一段，天即可剪去最后一段，8米里有米里有4个个2米，用米，用3天，天，我们可以从中发现规律：所用的天
7、数比我们可以从中发现规律：所用的天数比2米的个数少米的个数少1.因此，只要看因此，只要看16米里有几个米里有几个2米，问题就可以解决了。米，问题就可以解决了。例例1 裁缝有一段裁缝有一段16米长的呢子，每天剪去米长的呢子，每天剪去2米，第几天米，第几天剪去最后一段？剪去最后一段？解：解：16米中包含米中包含2米的个数：米的个数：162=8（个）（个）剪去最后一段所用的天数：剪去最后一段所用的天数：8-1=7（天）（天）答：第七天就可以剪去最后一段。答：第七天就可以剪去最后一段。1234567816米2米米白汀水白汀水例例2 2 一根木料在一根木料在2424秒内被切成了秒内被切成了4 4段，用同
8、样的速度段，用同样的速度切成切成5 5段，需要多少秒？段，需要多少秒？分析：把一根木料切成分析：把一根木料切成2段，切段，切1次；次；把一根木料切成把一根木料切成3段，切段，切2次；次；把一根木料切成把一根木料切成4段，切段，切3次；次；可以从中发现规律：切的次数总比切的段数少可以从中发现规律：切的次数总比切的段数少1.1.因此，在因此，在2424秒内切了秒内切了4 4段，实际只切了段，实际只切了3 3次，这样我们就可以求出切一次次，这样我们就可以求出切一次所用的时间了，又由于用同样的速度切成所用的时间了，又由于用同样的速度切成5 5段；实际上切了段；实际上切了4 4次，这样切成次，这样切成5
9、 5段所用的时间就可以求出来了。段所用的时间就可以求出来了。解：切一次所用的时间：解：切一次所用的时间：2424（4-14-1）=8=8（秒）（秒）切切5 5段所用的时间：段所用的时间：8 8（5-15-1）=32=32（秒）（秒）答：用同样的速度切成答：用同样的速度切成5 5段，要用段，要用3232秒秒。白汀水白汀水例例3 三年级同学三年级同学120人排成人排成4路纵队，也就是路纵队，也就是4个人一排，个人一排，排成了许多排，现在知道每相邻两排之间相隔排成了许多排，现在知道每相邻两排之间相隔1米，米，这支队伍长多少米？这支队伍长多少米？1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1
10、3 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930排排29米米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3030排中间共有排中间共有29个间隔，所以队伍长：个间隔，所以队伍长：129=29（米）（米）解：因为每解：因为每4人一排，所以共有：人一排，所以共有：1204=30（排）（排）答：这支队伍长答：这支队伍长29米。米。白汀水白汀水解：每次间隔时间为：解：每次间隔时间为：1212（4-14-1）=4=4（秒）（秒）敲敲 6 6
11、下共用的时间为：下共用的时间为：4 4（6-16-1）2020（秒）（秒）答：时钟敲答：时钟敲6 6下共用下共用2020秒。秒。！1 2 3 4 5 63个间隔个间隔12秒秒5个间隔个间隔20秒秒例例4 4 时钟时钟4 4点钟敲点钟敲4 4下，下，1212秒钟敲完，那么秒钟敲完，那么6 6点钟敲点钟敲6 6下，几秒钟敲完？下，几秒钟敲完？分析分析 如果盲目地计算：如果盲目地计算：12124=34=3（秒），（秒），3 36=186=18（秒），（秒），认为敲认为敲6 6下，需要下，需要1818秒钟就错了秒钟就错了.请看下图：请看下图：时钟敲时钟敲4 4下，其间有下，其间有3 3个间隔，每个间隔
12、是：个间隔，每个间隔是：12123=43=4（秒）；（秒）；时钟敲时钟敲6 6下，其间共有下，其间共有5 5个间隔，所用时间为：个间隔，所用时间为：4 45=205=20（秒）。（秒）。白汀水白汀水例例5.某人要到一座高层楼的第某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电层办事，不巧停电，电梯停开，如从梯停开，如从1层走到层走到4层需要层需要48秒，请问以同样的速秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？度走到八层，还需要多少秒？12345678解：上一层楼梯需要：解：上一层楼梯需要：48（4-1）=16（秒）（秒）从从4楼走到楼走到8楼共走：楼共走：8-4=4（层）楼梯（层）楼梯还需要的时
13、间：还需要的时间：164=64（秒）（秒）答：还需要答：还需要64秒才能到达秒才能到达8层。层。分析分析 要求还需要多少秒才能到达，必须先求出上一层楼梯需要求还需要多少秒才能到达，必须先求出上一层楼梯需要几秒，还要知道从要几秒，还要知道从4 4楼走到楼走到8 8楼共走几层楼梯楼共走几层楼梯.上一层楼梯需上一层楼梯需要：要：4848（4-14-1）=16=16（秒），从（秒），从4 4楼走到楼走到8 8楼共走楼共走8-4=48-4=4（层）（层）楼梯。到这里问题就可以解决了。楼梯。到这里问题就可以解决了。上上3层楼层楼梯梯48秒秒上上4层楼层楼梯梯64秒秒白汀水白汀水 例例6 6 晶晶上楼，从晶
14、晶上楼，从1 1楼走到楼走到3 3楼需要走楼需要走3636级台阶，如果各层楼之级台阶，如果各层楼之间的台阶数相同，那么晶晶从第间的台阶数相同，那么晶晶从第1 1层走到第层走到第6 6层需要走多少级台层需要走多少级台阶？阶？注：例注：例1 1例例4 4所叙述的问题虽然不是上楼梯，所叙述的问题虽然不是上楼梯，但它和上楼梯有许多相似之处，请同学们自己但它和上楼梯有许多相似之处，请同学们自己去体会去体会.爬楼梯问题的解题规律是：所走的台阶爬楼梯问题的解题规律是：所走的台阶数数=每层楼梯的台阶数每层楼梯的台阶数（所到达的层数减起点（所到达的层数减起点的层数）。的层数）。12345678解：每一层楼梯有：
15、解：每一层楼梯有：3636（3-13-1）1818（级台阶）（级台阶）晶晶从晶晶从1 1层走到层走到6 6层需要走：层需要走：1818（6-16-1）=90=90（级）台阶。级）台阶。答：晶晶从第答：晶晶从第1 1层走到第层走到第6 6层需要走层需要走9090级台阶。级台阶。分析分析 要求晶晶从第要求晶晶从第1 1层走到第层走到第6 6层需要走多少级台阶，必须先求出每一层楼层需要走多少级台阶，必须先求出每一层楼梯有多少台阶，还要知道从一层走到梯有多少台阶，还要知道从一层走到6 6层需要走几层楼梯。层需要走几层楼梯。从从1 1楼到楼到3 3楼有楼有3-1=23-1=2层楼梯，那么每一层楼梯有层楼
16、梯，那么每一层楼梯有36362=182=18（级）台阶，（级）台阶，而从而从1 1层走到层走到6 6层需要走层需要走6-1=56-1=5（层）楼梯，这样问题就可以迎刃而解了（层）楼梯，这样问题就可以迎刃而解了。18 18 2 2=3636级级18 18 5 5=90=90级级白汀水白汀水（二）植树与方阵问题（二）植树与方阵问题一、植树问题一、植树问题要想了解植树中的数学并学会怎样解决植要想了解植树中的数学并学会怎样解决植树问题，首先要牢记三要素：总路线长树问题，首先要牢记三要素：总路线长.间间距（棵距）长距（棵距）长.棵数棵数.只要知道这三个要素中只要知道这三个要素中任意两个要素任意两个要素.
17、就可以求出第三个。就可以求出第三个。关于植树的路线，有封闭与不封闭两种路关于植树的路线，有封闭与不封闭两种路线。线。白汀水白汀水 如上图如上图树树把总长平均分成把总长平均分成5 5段，但植树棵数是段，但植树棵数是6 6棵。棵。全长、棵数、株距三者之间的关系是：全长、棵数、株距三者之间的关系是：间距总长例：如图例：如图 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多多1.1.棵数棵数=段数段数+1=+1=全长全长株距株距+1+1全长全长=株距株距（棵数（棵数-1-1）株距株距=全长全长（棵数（棵数-1-1）1 1.非封闭的植树路线非封闭的植树路
18、线白汀水白汀水 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少在两端植树时的棵数少1 1，即棵数与段数相等，即棵数与段数相等.全长全长棵数、株距之间的关系就为棵数、株距之间的关系就为全长全长=株距株距棵数；棵数；棵数棵数=全长全长株距；株距；株距株距=全长全长棵数。棵数。如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比中如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比中还少还少1 1棵。棵。棵数棵数=段数段数-1-1=全长全长株距株距-1.-1.如右图所示如右图所示.段数为段数为5 5段，植树棵段，植树棵数为数为4 4棵。棵。株距株距=全长全长（棵数（棵数
19、+1+1）。）。间距总长间距总长白汀水白汀水 棵数棵数=段数段数=周长周长株距株距.三三.封闭的植树路线封闭的植树路线例如：在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，例如：在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数。如右图所示。的段数。如右图所示。白汀水白汀水方阵的基本特点是：方阵的基本特点是：方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同相同.每向里一层，每边上的人数就少每向里一层，每边上的人数就少2。每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：每边人（或
20、物）数和四周人（或物）数的关系：四周人（或物）数四周人（或物）数=每边人（或物）数每边人（或物）数-14；每边人（或物）数每边人（或物）数=四周人（或物）数四周人（或物）数41。中实方阵总人（或物）数中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数每边人（或物）数每边人（或物）数。每边人（或物）数。二、方阵问题二、方阵问题学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列叫做列.如果行数与列数都相等，则正好排成一如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。（亦叫乘方问题）。例例1 有
21、一条公路长有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？解：以解：以10米为一段，公路全长可以分成米为一段，公路全长可以分成9001090（段）（段）共需电线杆根数：共需电线杆根数：90+1=91（根）（根）答：可栽电线杆答：可栽电线杆91根。根。分析分析 要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分公路全长可分成若干段成若干段.由于公路的两端都要求栽杆，所以电线杆的根数比由于公路的两端都要求栽杆，所以电线杆的根数比分成的段数多分成的段数多1 1。10米
22、米白汀水白汀水例例2 马路的一边每相隔马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树米栽有一棵柳树.张军乘汽车张军乘汽车5分钟共看到分钟共看到501棵树棵树.问汽车每小时走多少千米？问汽车每小时走多少千米？解：解：5分钟汽车共走了：分钟汽车共走了：9（501-1）=4500（米），（米），汽车每分钟走：汽车每分钟走：45005=900（米），（米），汽车每小时走：汽车每小时走：90060=54000（米）（米）=54（千米）（千米）列综合式：列综合式：9（501-1）5601000=54（千米）（千米）答：汽车每小时行答：汽车每小时行54千米。千米。分析分析 张军张军5分钟看到分钟看到501棵树意味着在马路
23、的两端都植树了；棵树意味着在马路的两端都植树了；只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度.白汀水白汀水分析分析 根据四周人数和每边人数的根据四周人数和每边人数的关系可以知：关系可以知：每边人数每边人数=四周人数四周人数4+14+1，可以，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求方阵队列的总人数就可以求了。了。例例3 某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为为60人人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？级
24、学生多少人？解：方阵最外层每边人数：解：方阵最外层每边人数：6041=16（人）（人）整个方阵共有学生人数：整个方阵共有学生人数：1616=256（人）（人）答：方阵最外层每边有答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有人，此方阵中共有256人。人。6041=16166016 16=256人。人。白汀水白汀水例例4 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子子14个个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？分析分析 方阵每向里面一层，每边的个数就减少方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个个.知道最外面知道最
25、外面一层每边放一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。边的个数，就可以求出各层总数。解：（解：（14-3）34=132（个）（个）答：摆这个方阵共需答：摆这个方阵共需132个围棋子。个围棋子。解：最外边一层棋子个数：（解：最外边一层棋子个数：（14-1）4=52（个）（个）第二层棋子个数：（第二层棋子个数：（14-2-1）4=44（个）（个）第三层棋子个数：（第三层棋子个数：（14-22-1）4=36（个）（个）.摆这个方阵共用棋子：摆这个方阵共用棋子：52+4436132（个）（个）还可以这样想：还
26、可以这样想：中空方阵总个数中空方阵总个数=（每边个数一层数）（每边个数一层数）层层数数4进行计算。进行计算。14个个14-2个个14-2 2个个白汀水白汀水例例5 一个圆形花坛，周长是一个圆形花坛，周长是180米米.每隔每隔6米种一棵芍药花，每相米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药？问可栽多少棵芍药？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？6米米示意图相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药花，相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药花，所以月季花的株距是所以月
27、季花的株距是2米或米或4米。米。答：种芍药花答：种芍药花30棵，月季花棵，月季花60棵，两棵月季花之间距离棵，两棵月季花之间距离为为2米或米或4米。米。解：共可栽芍药花：解：共可栽芍药花：180630（棵）（棵）共种月季花：共种月季花：23060（棵）（棵）两种花共：两种花共：30+60=90（棵）（棵）两棵花之间距离：两棵花之间距离：18090=2（米）（米）分析分析 在圆形花坛上栽花，是封闭路线问题，其株数在圆形花坛上栽花，是封闭路线问题，其株数=段段数数.由于相邻的两棵芍药花之间等距的栽有两棵月季，则每由于相邻的两棵芍药花之间等距的栽有两棵月季，则每6米之中共有米之中共有3棵花，且月季花
28、棵数是芍药的棵花，且月季花棵数是芍药的2倍。倍。白汀水白汀水 解：大三角形三条边上共栽花：解：大三角形三条边上共栽花：（9 92-1-12-1-1）3=483=48（棵）（棵）中间画斜线小三角形三条边上栽花：中间画斜线小三角形三条边上栽花：（9-29-2）3=213=21（棵）（棵）整个花坛共栽花：整个花坛共栽花：48+21=6948+21=69（棵）（棵）答：大三角形边上共栽花答：大三角形边上共栽花4848棵，整个花坛共栽花棵，整个花坛共栽花6969棵。棵。例例6 6 一个街心花园如右图所示一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形它由四个大小相等的等边三角形组成组成.已知从每个小
29、三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9 9棵花棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？分析分析 从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2 2倍倍.又知道又知道每个小三角形的边上均匀栽每个小三角形的边上均匀栽9 9株，株，则大三角形边上栽的棵数为则大三角形边上栽的棵数为9 92-1=172-1=17（棵）。（棵）。又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻
30、的两条边公有的，所以大三角形三条边上共栽花所以大三角形三条边上共栽花（17-117-1）3=483=48（棵）。（棵）。.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.在计算大在计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上栽花棵数为三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上栽花棵数为9-2=79-2=7（棵）（棵）或：或：6个交点上栽个交点上栽6朵花，小三角形朵花，小三角形的的9条边（不计重复）上看成两端不条边（不计重复）上看成两端不栽，每边栽栽，每边栽7棵，共棵，共79=63条。合条。合计计6+63=69朵。朵。
