1、导数的几何意义导数的几何意义学。习目标：1.理解导数的几何意义。2.利用导数的几何意义解决相关问题回顾回顾平均变化率平均变化率fx121)()f xxx2f(x函数函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为D,xD,x1.1.x x2 2D,f(x)D,f(x)从从x x1 1到到x x2 2平均变化率为平均变化率为:几何意义几何意义 割线的斜率割线的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=yfkx121)()f xxx2f(x回顾回顾(3)函数函数y=f(x)在在x=x0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是函数函数y=f(x)在在x=处的
2、处的导数导数00000()()(),limlimxxfxfffxxxxx0 x 由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的处的导数的基本步骤是导数的基本步骤是:00(1)()();yf xxf x 求函数的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均变化率00(3)()lim.xyfxx 取极限，得导数注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负.自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择选择 哪种形式哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.回回顾
3、顾一差二比三极限一差二比三极限l2l1AB0 xy直线直线l1与曲线与曲线C有唯一公共点有唯一公共点B，但我们不能说但我们不能说l1与曲线与曲线C相切相切直线直线l2与曲线与曲线C有不止一个公共点有不止一个公共点A，我们能说，我们能说l2是曲线是曲线C在点在点A处处的切线的切线、如图直线如图直线 是曲线的切线吗？是曲线的切线吗？那么对于一般的曲线，那么对于一般的曲线，曲线切线该如何寻找曲线切线该如何寻找呢？呢？y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如图如图,曲线曲线C是函数是函数y=f(x)的图象的图象,P(x0,y0)是曲线是曲线C上的上的任意一点任意一点,Q(x0+x,
4、y0+y)为为P邻近一点邻近一点,PQ为为C的割线的割线,PM/x轴轴,QM/y轴轴,为为PQ的的倾斜角倾斜角.tan,:xyyMQxMP则则yx请问：是割线PQ的什么?斜率!PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T请看当点请看当点Q沿着曲线逐渐向点沿着曲线逐渐向点P接近时接近时,割线割线PQ绕着绕着点点P逐渐转动的情况逐渐转动的情况.我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ如果有一个极限位置如果有一个极限位置PT.则我则我们把直线们把直线PT称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线切线.导数的几何意义:n函数在函数在x0处的导数的几何意义处的
5、导数的几何意义:曲线曲线y=f(x)在在(x0,f(x0)点处的导数等于切线的斜率点处的导数等于切线的斜率即即:00000()()()limlimxxf xxf xykf xxx 切 线 这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数.例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx.2)(2lim)11(1)1(lim)1(:2020 xxxxxfkxx解因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1
6、),即即y=2x.（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy 归纳归纳:求切线方程的步骤（求切线方程的步骤（已知切点已知切点）无限逼近的极限思想是建立导数无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求概念、用导数定义求 函数的导数的函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解基本思想，丢掉极限思想就无法理解导导 数概念。数概念。练习求抛物线练习求抛物线y=x2过点过点(1，1)
7、的切线的的切线的斜率。斜率。解：过点解：过点(1，1)的切线斜率是的切线斜率是f(1)=200(1)(1)(1)1limlimxxfxfxxx 0lim(2)2xx 因此抛物线过点因此抛物线过点(1，1)的切线的斜率为的切线的斜率为2.n例例2.在曲线在曲线y=x2上过哪一点的切线上过哪一点的切线n 1.平行于直线平行于直线y=4x-5n 2.垂直于直线垂直于直线2x-6y+5=0已知斜率求切点n练习练习2、曲线、曲线 上哪一点的切上哪一点的切线与直线线与直线 平行？平行？n223xy 13 xy：、函数在一区间上的导数：、函数在一区间上的导数：如果函数如果函数 f f(x x)在开区间在开区
8、间 (a a,b b)内每一点都可导，就说内每一点都可导，就说f f(x x)在开区间在开区间 (a,ba,b)内可导这时，对于开区间内可导这时，对于开区间 (a,ba,b)内每一个确定的值内每一个确定的值 x x0 0，都对应，都对应着一个确定的导数着一个确定的导数 f f (x(x0 0)，这样就在开区间，这样就在开区间(a,ba,b)内构成了一个新的函内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做数，我们把这一新函数叫做 f f(x x)在开区间在开区间(a,ba,b)内的内的导函数导函数，简称为，简称为导导数数，记作，记作)()(xyyxf需指明自变量时记作或即即00()()()limli
9、mxxyf xxf xfxyxx .求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是:);()()1(xfxxfy 求求函函数数的的增增量量;)()(:)2(xxfxxfxy 的的增增量量的的比比值值求求函函数数的的增增量量与与自自变变量量.lim)()3(0 xyxfyx 求求极极限限，得得导导函函数数说明说明:在这种方法中在这种方法中把把x x换换x x0 0即为求函数即为求函数在点在点x x0 0处的导数处的导数.（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的处的 得到曲线得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写
10、出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy 2.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：小结小结:)(0 xf 即即:00000()()()limlimxxf xxf xykfxxx 切线1.函数在函数在 处的导数的几何意义处的导数的几何意义:0 x练习题练习题1曲线曲线y=x2在在x=0处的（处的（）A切线斜率为切线斜率为1 B切线方程为切线方程为y=2x C没有切线没有切线 D切线方程为切线方程为y=0D2已知曲线已知曲线y=2x2上的一点上的一点A(2，8)，则，则点点A处的切线斜率为（处的切线斜率为（）A4 B16 C8 D2C3函数函数y=f(x)在在x=x0处的导数处的导数f(x
11、0)的几的几何意义是（何意义是（）A在点在点x=x0处的函数值处的函数值 B在点在点(x0，f(x0)处的切线与处的切线与x轴所夹轴所夹锐角的正切值锐角的正切值 C曲线曲线y=f(x)在点在点(x0，f(x0)处的切线处的切线的斜率的斜率 D点点(x0，f(x0)与点与点(0，0)连线的斜率连线的斜率C4已知曲线已知曲线y=x3上过点上过点(2，8)的切线方程的切线方程为为12xay16=0，则实数，则实数a的值为（的值为（）A1 B1 C2 D2B5若若f(x0)=3，则，则（）A3 B6 C9 D12hhxfhxfh)3()(lim000D6设设y=f(x)为可导函数，且满足条件为可导函数
12、，且满足条件 ,则曲线则曲线y=f(x)在点在点(1，1)处处的切线的斜率为（的切线的斜率为（）A2 B1 C D212)1()1(lim0 xxffx21D练习7.求函数求函数 在在x=1处的切线方程处的切线方程。32)(xxf练习练习8求双曲线求双曲线y=过点过点(2，)的切线的切线方程。方程。1x21解：因为解：因为 00011(2)(2)1122limlimlim2(2)4xxxfxfxxxx 所以这条双曲线过点所以这条双曲线过点(2，)的切线斜率的切线斜率为为 ，2114由直线方程的点斜式，得切线方程为由直线方程的点斜式，得切线方程为114yx 练习练习9求抛物线求抛物线y=x2过点过点(，6)的切线的切线方程。方程。52解：点解：点(，6)不在抛物线上，设此切线过不在抛物线上，设此切线过抛物线上的点抛物线上的点(x0，x02)，因为，因为5222000000()()()limlimxxf xxf xxxxxx 20002()lim2xxxxxx 又因为此切线过点又因为此切线过点(，6)和点和点(x0，x02),52所以此切线方程的斜率为所以此切线方程的斜率为2x0，所以所以 20006252xxx即即x025x0+6=0，解得解得x0=2，或，或x0=3，所以切线方程为所以切线方程为y=4x4或或 y=6x9.
