平面力系的简化PPT.ppt

1、平面力系的简化PPT理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院2汇交力系汇交力系平行力系平行力系(力偶系是其中的特殊情况力偶系是其中的特殊情况)一般力系一般力系(任意力系任意力系)力系按作用线分布分为：平面力系、空间力系力系按作用线分布分为：平面力系、空间力系平面力系：作用线分布在同一平面内的力系。平面力系：作用线分布在同一平面内的力系。空间力系：作用线分布在不同平面内的力系。空间力系：作用线分布在不同平面内的力系。力系按作用线汇交情况分为：力系按作用线汇交情况分为：理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院3 一、平面汇交力系合成的几何法一、平面汇交力系合成的几何

2、法cos2212221FFFFR)180sin(sin1RF1 1、两个共点力的合成、两个共点力的合成合力方向由正弦定理：合力方向由正弦定理：由余弦定理：由余弦定理：cos)180cos(由力的平行四边形法则作图（左），由力的平行四边形法则作图（左），也可用力的三角形来作图（右）。也可用力的三角形来作图（右）。2-12-1 平面汇交力系平面汇交力系理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院4F3F2F1F4AF1F2F3F4FRabcdeabcdeF1F2F4F3FR各力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形。各力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形。用力多边形求合力的作图规则称为力的

3、多边形法则。用力多边形求合力的作图规则称为力的多边形法则。力多边形中表示合力矢量的边称为力多边形的封闭边。力多边形中表示合力矢量的边称为力多边形的封闭边。2、任意个共点力的合成、任意个共点力的合成力多边形力多边形:各分力矢首尾相连，各分力矢首尾相连，组成一个不封闭的力多边形。组成一个不封闭的力多边形。封闭边表示合力的大小和方向。封闭边表示合力的大小和方向。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院53、平面汇交力系平衡的几何法、平面汇交力系平衡的几何法R120niFFFFF 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。该力系的合力等

4、于零。上述方程的几何表达为：该力系的力多边形自行封闭。上述方程的几何表达为：该力系的力多边形自行封闭。用几何方法求平面汇交力系平衡时，要做出封闭的力多用几何方法求平面汇交力系平衡时，要做出封闭的力多边形，一般只适合三个力的平衡问题。边形，一般只适合三个力的平衡问题。结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和于各分力的矢量和(几何和几何和)，合力的作用线通过汇交点。，合力的作用线通过汇交点。用用矢量式表示为：矢量式表示为：R12niFFFFF理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院6例例 已知压路机

5、碾子重已知压路机碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉过欲拉过h=8cm的障碍的障碍物。求：在中心作用的水平力物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。的大小和碾子对障碍物的压力。577.0)(tg22hrhrr又由几何关系：又由几何关系：选碾子为研究对象选碾子为研究对象取分离体画受力图取分离体画受力图解：解：当碾子刚离地面时当碾子刚离地面时NA=0,=0,拉力拉力F最大最大,这时这时拉力拉力F和自重及支反力和自重及支反力NB构成一平衡力系。构成一平衡力系。由平衡的几何条件，力多边形封闭，故由平衡的几何条件，力多边形封闭，故tgPFcosPNBF=11.5kN,NB=23.1kN

6、所以所以理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院7由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。几何法解题步骤：选研究对象；作出受力图；几何法解题步骤：选研究对象；作出受力图；作力多边形；作力多边形；用几何方法求出未知数。用几何方法求出未知数。几何法解题不足：几何法解题不足：一般只适合三个力时的平衡；做出的一般只适合三个力时的平衡；做出的 封闭多变形为三角形，可用三角形的封闭多变形为三角形，可用三角形的 正弦和余弦定理求解；正弦和余弦定理求解；不能表达各个量之间的函数关系。不能表达各个量之间的函数关系。下面我们研究

7、力系合成与平衡的另一种方法：下面我们研究力系合成与平衡的另一种方法：解析法解析法。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院8二、二、平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系合成的解析法 X=Fx=Fcos Y=Fy=Fsin=Fcosb已知力可求投影已知力可求投影FFFXxcosFFFYybcos22yxFFF反之，已知投影可求反之，已知投影可求力的大小和方向力的大小和方向1、力的投影、力的投影理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院92 2、合力投影定理、合力投影定理合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力

8、在同一 轴上投影的代数和。轴上投影的代数和。若以若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量，则：表示力沿直角坐标轴的正交分量，则：,xyFFxyFFF,xxyyFXiF i FYjF j而：而：xyFXiYjF iF j所以：所以：RxxiFF RyyiFF 合力的大小：合力的大小：方向：方向：作用点：作用点：cos(,),cos(,)RyRxRRRRFFF iF jFF为该力系的汇交点为该力系的汇交点22()()RxiyiFFF理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院103 3、平面汇交力系的平衡方程、平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：平面汇交力系平衡的必要

9、和充分条件是：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。22()()0RxiyiFFF 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。该力系的合力等于零。0,0 xiyiFF 必有必有理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院110 xF 0yF 045coscos0CDASR045sinsin0CDASRP 例例 已知已知 P=2kN =2kN 求求SCD,RA解解:1、取取AB杆为研究对象杆为研究对象2 2、画、画AB的受力图的受力图3 3、列平衡方程、列平衡方程由由EB=BC=0.4m，

10、312.14.0tgABEB解得：解得：kN 24.4tg45cos45sin00PSCDkN 16.3cos45cos0CDASR；4 4、解方程、解方程理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院12力对物体可以产生力对物体可以产生 移动效应移动效应-取决于力的大小、方向取决于力的大小、方向转动效应转动效应-取决于力矩的大小、方向取决于力矩的大小、方向 是代数量。是代数量。)(FMO当当F=0=0或或h=0=0时，时，=0=0。)(FMO 是影响转动的独立因素。是影响转动的独立因素。)(FMO =2=2AOB=Fh，2 2倍倍形面积。形面积。)(FMO 单位单位Nm或或kNm。

11、2-2 2-2 力对点之矩力对点之矩平面力偶平面力偶-+()OMFF h 一、力对点之矩一、力对点之矩MO(F)OhrFAB理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院13二、二、合合力矩定理力矩定理合力对某点之矩，等于所有各分力对同一点之矩的代数和。合力对某点之矩，等于所有各分力对同一点之矩的代数和。1()()nOROiiMFMFFFxFyxyOqxyA()sincosOyxMxFyFxFyFqqF三、力矩的解析表达式三、力矩的解析表达式1()()nORiiyiixiMFx Fy F合力对坐标原点之矩合力对坐标原点之矩理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院14已

12、知已知F1400 N,r60 mm,a20，求力求力Fn对对O点的矩。点的矩。()cos78.93 N mOMF hFrFrtt()()()()cosOOOOMMMMFrFFFFFnFrFtFn理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院15四、平面力偶及其性质四、平面力偶及其性质由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，称为力偶，记为的力系，称为力偶，记为(F,F)。力偶的两力之间的垂。力偶的两力之间的垂直距离直距离d 称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。理论力学理论力学中南大学

13、土木建筑学院中南大学土木建筑学院16大小：大小：R=Q+P方向：平行于方向：平行于Q、P且指向一致且指向一致作用点：作用点：C处处确定确定C点，由合力距定理点，由合力距定理()()BBMRMQQPR又ABQCBR代入CBACABQPCBAC整理得性质性质1：力偶没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。：力偶没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。两个同向平行力的合力两个同向平行力的合力理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院17力偶无合力力偶无合力 R=F-F=01FFCACBCACB 0CBCACBddCB 若成立，且，必有处合力的作用点在无限远d两个反向平行力的合力两个

14、反向平行力的合力 大小：大小：R=Q-P 方向：平行于方向：平行于Q、P且与较大的相同且与较大的相同 作用点：作用点：C处处 （推导同上）（推导同上）PQCACB理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院18()()()OOM FM FF x dF x F d 说明：说明：M是代数量，有是代数量，有+、；F、d 都不独立，只有力偶矩都不独立，只有力偶矩 是独立是独立量；量；M的值的值M=2ABC；单位：单位：N mMF d由于由于O点是任取的点是任取的MF d+性质性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，

15、因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。d理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院19 性质性质3：平面力偶等效定理：平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。转向相同，则该两个力偶彼此等效。证证设物体的某一平面上设物体的某一平面上 作用一力偶作用一力偶(F,F)现沿力偶臂现沿力偶臂AB方向方向加一对平衡力加一对平衡力(Q,Q),Q,F 合成合成 R，再将再将Q，F 合成合成 R，得到新力偶得到新力偶(R,R),将将R

16、,R 移到移到A,B点，则点，则(R,R)，取代，取代了原力偶了原力偶(F，F)，并与原力偶等效。，并与原力偶等效。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院20只要保持力偶矩大小和转向只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。而不改变它对刚体的作用效应。由上述证明可得下列由上述证明可得下列两个推论两个推论：比较比较(F,F)和和(R,R)可得可得m(F,F)=2ABD=m(R,R)=2 ABC即即ABD=ABC，且它们转向相同。且它们转向相同。力偶可以在其作用面内任

17、力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体意移动，而不影响它对刚体的作用效应。的作用效应。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院21力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的唯一量度。今后常用如图所示的符号表示力才是力偶作用的唯一量度。今后常用如图所示的符号表示力偶。偶。M为力偶的矩。为力偶的矩。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院221113MFdF d2224MF dF d M1(F1,F1)，M2(F2,F2)3434FFFFFF343412()MFdFF dF dF dMM在同

18、平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶，合力偶在同平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。矩等于各个力偶矩的代数和。五、五、平面力偶系的合成和平衡平面力偶系的合成和平衡理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院23 平面力偶系平衡的充要条件是平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和等于零。所有各力偶矩的代数和等于零。(力偶只能和力偶平衡力偶只能和力偶平衡)121nniiMMMMM即即:10niiM即即理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院24 例例 在一钻床上水平放置工件在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径在工

19、件上同时钻四个等直径的孔的孔,每个钻头的力偶矩为每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平约束力端水平约束力?mN154321mmmmmN60)15(4 4321mmmmM02.04321mmmmNBN3002.060BNN 300BANN解解:各力偶的合力偶距为各力偶的合力偶距为根据平面力偶系平衡方程有根据平面力偶系平衡方程有:由力偶只能与力偶平衡的性质，由力偶只能与力偶平衡的性质，力力NA与力与力NB组成一力偶。组成一力偶。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院25 例例 图示结构，已知图示结构，已知M=800N.m，求求A、C两点的约束

20、力两点的约束力。18 2(N cm)0.255(N m)ACCCCMRdRR 0iM0 MMAC3137NCR 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院26 例例 图示杆系，已知图示杆系，已知m，l，求求A、B处约束力。处约束力。解：解：1 1、研究对象二力杆、研究对象二力杆：AD2 2、研究对象：、研究对象：整体整体ADNBRlmRNBAD思考：思考：CB杆受力情况如何？杆受力情况如何？BRCRmCRADNm作用在作用在AD杆上又如何？杆上又如何？理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院27解：解：1、研究对象二力杆：研究对象二力杆：BC2 2、研究对象：、研

21、究对象：整体整体BRCRADNBRADNCRAD杆杆mlmlmRNBAD245sin0理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院28 例例 不计自重的杆不计自重的杆AB与与DC在在C处为光滑接触处为光滑接触,它们分别受力偶它们分别受力偶矩为矩为M1与与M2的力偶作用的力偶作用 ，转向如图转向如图。问问M1与与M2的比值为多的比值为多大大，结构才能平衡结构才能平衡?60o60oABCDM1M2理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院29解解:取杆取杆AB为研究对象画受力图。为研究对象画受力图。杆杆AB只只受力偶的作用而平衡且受力偶的作用而平衡且C处为光处为光滑面约束

22、，则滑面约束，则A处约束力的方位可定。处约束力的方位可定。ABCM1RARCRA=RC=R,AC=a Mi=0a R-M1=0M1=aR (1)60o60oABCDM1M2理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院30取杆取杆CD为研究对象。因为研究对象。因C点约束方位已定点约束方位已定 ,则则D点约束反力方位亦可确定，画受力图。点约束反力方位亦可确定，画受力图。60o60oDM2BCARDRC RD=RC =R Mi=0-0.5aR+M2=0M2=0.5 aR (2)联立联立(1)(2)(1)(2)两式得两式得:M1/M2=260o60oABCDM1M2理论力学理论力学中南大学

23、土木建筑学院中南大学土木建筑学院31作用在刚体上的力可以平行移到作用在刚体上的力可以平行移到同一刚体同一刚体内任意一内任意一 点，但必须同时附加一个力偶。附加力偶的力偶矩点，但必须同时附加一个力偶。附加力偶的力偶矩等于原来的力对新作用点的矩。等于原来的力对新作用点的矩。证证 力力 力系力系），力偶（力FFF FFF,F一、力线平移定理一、力线平移定理力线力线平移平移定理定理2-32-3 平面任意力系的简化平面任意力系的简化ABMABFFFFABF理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院32力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力力+力偶力偶；

24、（例如一个力功丝时容易功坏螺纹或折断丝锥）（例如一个力功丝时容易功坏螺纹或折断丝锥）力线平移的条件是附加一个力偶力线平移的条件是附加一个力偶M，且，且M=Fd；一个力和一个力偶也可合成为一个力，即力线平移定理的一个力和一个力偶也可合成为一个力，即力线平移定理的 反定理同样成立：力反定理同样成立：力+力偶力偶 力；力；力线平移定理是力系简化的理论基础。力线平移定理是力系简化的理论基础。说明说明：理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院33OxyijOxyF1F2FnF1F2FnMnM2M1MOFR1122nn FFFFFF1122()()()OOnOnMMMMMMFFF二、平面任

25、意力系向一点的简化二、平面任意力系向一点的简化O任选任选O点为点为简化中心简化中心理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院34平面汇交力系的平面汇交力系的合力合力FR，不是原来任意力系的合力。，不是原来任意力系的合力。平面力偶系的合力偶平面力偶系的合力偶MO 也不是也不是原来任意力系的合力偶。原来任意力系的合力偶。平面任意力系平面任意力系平面汇交力系平面汇交力系+平面力偶系平面力偶系向一点简化向一点简化其中平面汇交力系的合力为其中平面汇交力系的合力为平面力偶系的合力偶为平面力偶系的合力偶为1212()()()()OnOOOnOiMMMMMFMFMFMF 1212RnniF=F+

26、F+F=FF+F=F理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院35原力系各力的矢量和，称为原力系的主矢。原力系各力的矢量和，称为原力系的主矢。原力系各力对简化中心的矩，称为原力系对简化中心的主矩。原力系各力对简化中心的矩，称为原力系对简化中心的主矩。主矢与简化中心位置无关主矢与简化中心位置无关 因主矢等于各力的矢量和因主矢等于各力的矢量和RF2222()()RRxRyixiyFFFFFcos(,),cos(,)iyixRRRRFFF iF jFF移动移动效应效应主主矢矢大小大小：方向方向：12312 ()()()OOOOiMMMMMFMFMF主矩主矩主矢主矢1212RnniF=F

27、+F+F=FF+F=F理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院36雨雨 搭搭()OOiMMF 大小：大小：主矩主矩MO 方向：方向：方向规定方向规定 +主矩与简化中心有关主矩与简化中心有关 （因主矩等于各力对简化中心之矩的代数和）（因主矩等于各力对简化中心之矩的代数和）（转动效应转动效应）固定端（插入端）约束固定端（插入端）约束车车 刀刀理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院37固定端（插入端）约束固定端（插入端）约束说说 明明 认为认为Fi这群力在同一这群力在同一 平面内平面内;将将Fi向向A点简化得一点简化得一 力和一力偶力和一力偶;FA方向不定可用正交方

28、向不定可用正交 分力分力FAx、FAy表示表示;FAx、FAy、MA为固定端为固定端 的约束力的约束力;FAx、FAy限制物体移动限制物体移动,MA限制物体转动。限制物体转动。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院38 平面任意力系向作用面内一点简化得一力和一力偶，该平面任意力系向作用面内一点简化得一力和一力偶，该力等于原力系的主矢，力偶矩等原力系对简化中心的主矩。力等于原力系的主矢，力偶矩等原力系对简化中心的主矩。下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。1 1、若、若 ，则力系合成为，则力系合成为合力偶合力偶，合力偶矩等于原，合力

29、偶矩等于原力系对简化中心的主矩力系对简化中心的主矩MO，此时主矩与简化中心的位置无关。此时主矩与简化中心的位置无关。0,0ROFM 三、平面任意力系简化结果分析三、平面任意力系简化结果分析2 2、若、若 ，则力系合成为一个，则力系合成为一个合力合力，主矢，主矢 等于等于原力系的合力矢原力系的合力矢 ，合力，合力 通过简化中心通过简化中心O点。点。（合力与简合力与简化中心位置有关，换个简化中心，主矩不为零）化中心位置有关，换个简化中心，主矩不为零）0,0ROFM RFRFRF理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院393 3、若、若 ，则力系仍合成为一个，则力系仍合成为一个合力合

30、力，合力等于原，合力等于原力系的主矢。作用点不在简化中心。力系的主矢。作用点不在简化中心。0,0ROFM ooRFOMooRFRFRFdooRFd=ORMdF()()ORROOiMFF dMMF合力矩定理合力矩定理4 4、若、若 ,则该力系平衡，下节专门讨论。则该力系平衡，下节专门讨论。0,0ROFM 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院40结论：结论：合力的大小等于线荷载所组成几何合力的大小等于线荷载所组成几何 图形的面积。图形的面积。合力的方向与线荷载的方向相同。合力的方向与线荷载的方向相同。合力的作用线通过荷载图的形心。合力的作用线通过荷载图的形心。1、均布荷载、均布

31、荷载Fqll/2l/2qF2、三角形荷载、三角形荷载12Fq lF23l3lq3、梯形荷载、梯形荷载lq2q1可以看作一个三角形荷载和一可以看作一个三角形荷载和一个均布荷载的叠加个均布荷载的叠加四、平行分布载荷的简化四、平行分布载荷的简化理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院41例例在长方形平板的在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个点上分别作用着有四个力：力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上（如图），试求以上四个力构成的力系对四个力构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。合成结果。解：解：

32、求向求向O点简化结果点简化结果1.求主矢求主矢 ，RF234cos60cos30FFF RxxFF 0.598 kNRyyF=F124sin60sin30FFF0.768 kN22RRR 0.794 kNxyFFF理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院42最后合成结果最后合成结果由于主矢和主矩都不为零，所以由于主矢和主矩都不为零，所以最后合最后合成结果是一个合力成结果是一个合力FR。如右图所示。如右图所示。RF主矢的方向：主矢的方向：RRRcos0.614xF,=FFiR52.1,F iRRRcos0.789yF,=FFjR37.9,F jOOMMF2342cos6023si

33、n300.5 kN mFFF 合力合力FR到到O点的距离点的距离RRFFR0.51 mOMdFdFR理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院43例例重力坝受力如图所示。重力坝受力如图所示。设设G1=450kN，G2=200kN，F1=300 kN，F2=70 kN。求力系的合力求力系的合力FR的大小的大小和方向余弦和方向余弦,合力与基线合力与基线OA的交点到的交点到O点的距离点的距离x，以及合力作用线方程。以及合力作用线方程。9m3m1.5m3.9m5.7m3mq90解：解：1、求力系的合力求力系的合力FR的大小和方向余弦。的大小和方向余弦。将力系向将力系向O点简化，点简化，主

34、矢的投影主矢的投影arctan16.7ABACBCBq R12R122cos232.9 kNsin670.1 kNxxyyFFFFFFGGFqq 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院44xRFRFyRFMO所以力系合力所以力系合力FR的大小的大小22RR()()709.4kNxyFFFF 则有则有RR70.8418019.16 F,iF,j方向方向余弦余弦RRRRcos,0.328cos,0.945xyFFFF FiFj1123 m1.5 m3.9 m2 355 kN mOOMMFGG F 力系对力系对O点的主矩为点的主矩为理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建

35、筑学院452、求合力与基线、求合力与基线OA的交点到的交点到O点的距离点的距离 x。84.7084.70MOxRFRFyRFo70.84由合力矩定理得由合力矩定理得其中其中RRR()()()OOOxOyMMMMFFFR()0OxMF解得解得R3.514mOyMxF故故RR()OOyyMMFxF理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院46 设合力作用线上任一点的坐标为（设合力作用线上任一点的坐标为（x，y)，将，将合力作用于此点，则合力作用于此点，则3 3、求合力作用线方程。求合力作用线方程。84.70FRFRyFRxRRROOyxxyMMxFyFxFyFF可得合力作用线方程可得

36、合力作用线方程2355kN m670.1 kN232.9 kNxy 即即670.1 kN232.9 kN2 355 kN m0 xy 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院47一、平面任意力系的平衡条件一、平面任意力系的平衡条件2-4 2-4 平面任意力系的平衡条件及方程平面任意力系的平衡条件及方程 平面任意力系平衡的必要和充分条件为平面任意力系平衡的必要和充分条件为：力系的主矢力系的主矢 和对任一点的主矩和对任一点的主矩 MO 都等于零都等于零，即即：RF22()()()RxyOOiFFFMM F理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院48上式只有三个独立方

37、程，只能求出三个未知数。上式只有三个独立方程，只能求出三个未知数。二、平面任意力系的平衡方程二、平面任意力系的平衡方程00()0FxiyiOiFFM基本式基本式0()0()0FFxABFMM二矩式二矩式条件：条件：x 轴不轴不垂直垂直 AB 连线连线()0()0()0ABCMMMFFF三矩式三矩式条件：条件：A,B,C 三点不共线三点不共线理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院49 例例 求图示刚架的约束力。求图示刚架的约束力。APabq解：以刚架为研究对象，受力如图。解：以刚架为研究对象，受力如图。0:0 xAxFFqb0:0yAyFFP()0:AMF0212qbPaMA解

38、之得：解之得：AxFqbAyFP221qbPaMAAPqFAyFAxMA理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院50解：以梁为研究对象，受力如图。解：以梁为研究对象，受力如图。0:cos0 xAxFFPq0:sin0yAyBFFFPq()0:sin()0ABMF aPabmqF解之得：解之得：cosAxFPq sin()BmPabFaqsinAymPbFaq 例例 求图示梁的支座约束力。求图示梁的支座约束力。ABCPabqmABCPqmFBFAyFAx理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院51 例例 外伸梁的尺寸及载荷如图所示，外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F1

39、=2 kN，F2=1.5 kN，M=1.2 kNm，l1=1.5 m，l2=2.5 m，试求铰支座，试求铰支座A及支座及支座B的约束力。的约束力。6060解解1.取梁为研究对象，受力分析如图。取梁为研究对象，受力分析如图。3.解方程解方程2.列平衡方程列平衡方程()0AMF 21 1212()sin 600BF lMFlF ll 0 xF 2cos 600 AxFF0yF 12sin 600AyBFFFF 0.75kN3.56kN0.261kNAxBAyFFF 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院52 例例 悬臂吊车如图所示。横梁悬臂吊车如图所示。横梁AB长长l2.5 m，

40、重量，重量P1.2 kN，拉杆拉杆CB的倾角的倾角 3030，质量不计，载荷，质量不计，载荷Q7.57.5 kN。求图示位置求图示位置a2 2m时拉杆的拉力和铰链时拉杆的拉力和铰链A的约束力。的约束力。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院53解：取横梁解：取横梁AB为研究对象为研究对象ABEHPQFTFAyFAxa0 xFTsin0(2)AyFFPQ()0AMFTcos0(1)AxFF0yFTsin0(3)2lFlPQa 解得解得T1()13.2 kNsin2lFPQalTcos11.43kNAxFFTsin2.1kNAyFQPF理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学

41、土木建筑学院54CABEHPQFTFAyFAxa()0BMF或分别取或分别取B和和C为矩心列平衡方程为矩心列平衡方程得得()0(4)2AylPQlFla()0CMFtan0(5)2AxFllPQa 注意每个对象独立的平衡方程只有注意每个对象独立的平衡方程只有3 3个。个。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院55 平面平行力系为平面任意力系的特殊情平面平行力系为平面任意力系的特殊情况，当它平衡时，也应满足平面任意力系的况，当它平衡时，也应满足平面任意力系的平衡方程，选如图的坐标，则平衡方程，选如图的坐标，则Fx0 0自然自然满足。于是平面平行力系的平衡方程为：满足。于是平面平

42、行力系的平衡方程为：0;()0yOFMF平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：()0;()0ABMFMF其中其中AB连线不能与各力的作用线平行。连线不能与各力的作用线平行。力的作用线在同一平面且相互平行的力系称力的作用线在同一平面且相互平行的力系称平面平行力系平面平行力系。OxyF2F1F3Fn三、平面平行力系平衡方程三、平面平行力系平衡方程理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院56例例 一种车载式起重机，车重一种车载式起重机，车重G1=26kN，起重机伸臂重，起重机伸臂重G2=4.5kN，起重机的旋转与固定部分共重，起重机的旋转与固

43、定部分共重G3=31kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。G3理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院57解：解：1、取汽车及起重机为研取汽车及起重机为研究对象，受力分析如图。究对象，受力分析如图。2、列平衡方程列平衡方程G3AB0,F 1230ABFFGGGG 0,BMF 21(2.5m 3m)2.5m2m(1.8m 2m)0AGGGF理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院584、不翻倒的条件是：、不翻倒的条件是：

44、FA0，所以由上式可得所以由上式可得故故最大起吊重量为最大起吊重量为 Gmax=7.5 kN3 3、联立求解、联立求解AB12122.55.53.8AFGGGG12122.57.5kN5.5GG理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院59当：独立方程数目当：独立方程数目未知数数目时，是静定问题（可求解）未知数数目时，是静定问题（可求解）独立方程数目独立方程数目 未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）一、静定与静不定问题的概念一、静定与静不定问题的概念2-52-5 静定与静不定静定与静不定 物系的平衡物系的平衡两个独立方程，只能求两个独立

45、未知数。两个独立方程，只能求两个独立未知数。一个独立方程，只能求一个独立未知数。一个独立方程，只能求一个独立未知数。三个独立方程，只能求三个独立未知数。三个独立方程，只能求三个独立未知数。0iM 平面平面力偶系力偶系 平面平面任意力系任意力系 平面平面汇交力系汇交力系0 xF 0yF()0OiMF 0 xF 0yF 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院60 例例 静不定问题在变形体力学静不定问题在变形体力学（材力材力,结力结力,弹力）弹力）中用位移谐调条件来求解中用位移谐调条件来求解。静定（未知数三个）静定（未知数三个）静不定（未知数四个）静不定（未知数四个）理论力学理论力

46、学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院61二、物体系统的平衡问题二、物体系统的平衡问题外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统。外力、内力都是某研究对象而言的，外力、内力都是某研究对象而言的，对不同的研究对象而言，可转换。对不同的研究对象而言，可转换。例例 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院62物系平衡的特点：物系平衡的特点：物系静止，物系中每个单

47、体也是平衡的；物系静止，物系中每个单体也是平衡的；每个单体可列每个单体可列3 3个平衡方程，整个系统可列个平衡方程，整个系统可列 3 3n个方程（设物系中有个方程（设物系中有n个物体）个物体）解物系问题的一般方法：解物系问题的一般方法：由整体由整体 局部（常用），由局部局部（常用），由局部 整体（用较少）整体（用较少）理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院63 三、解题步骤与技巧三、解题步骤与技巧 解题步骤解题步骤 解题技巧解题技巧 选研究对象选研究对象 选坐标轴最好是未知力选坐标轴最好是未知力 投影轴；投影轴；画受力图（受力分析画受力图（受力分析）取矩点最好选在未知力的交叉

48、点上；取矩点最好选在未知力的交叉点上；选坐标、取矩点、列选坐标、取矩点、列 充分发挥二力杆的直观性；充分发挥二力杆的直观性；平衡方程。平衡方程。解方程求出未知数解方程求出未知数 灵活使用合力矩定理。灵活使用合力矩定理。四、注意问题四、注意问题 力偶在坐标轴上的投影不存在；力偶在坐标轴上的投影不存在；力偶矩力偶矩M=常数，它与坐标轴和取矩点的选择无关。常数，它与坐标轴和取矩点的选择无关。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院64l/8/8qBADMCHEl/4/4l/8/8l/4/4l/4/4例例 组合梁组合梁AC和和CE用铰链用铰链C相连，相连，A端为固定端，端为固定端，E端

49、为活动铰链支座。端为活动铰链支座。受力如图所示。已知：受力如图所示。已知：l=8 m，F=5 kN，均布载荷集度，均布载荷集度q=2.5 kN/m，力，力偶矩的大小偶矩的大小M=5 kNm，试求固端，试求固端A，铰链，铰链C和支座和支座E的约束力。的约束力。解解:1.取取CE段为研究对象段为研究对象 4.联立求解联立求解 FE=2.5 kN，FC=2.5 kN3.列平衡方程列平衡方程2.受力分析如图受力分析如图CEM3 3l/8/8Hl/8/841lqF0yF 04CElFqF 0CMF 0482ElllqMF 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院656.列平衡方程。列平衡

50、方程。7.7.联立求解联立求解 FA=15 kN，MA=2.5 kNMAl/4/4IACHl/8/8l/8/8CF42lqF5.取取AC段为研究对象，受力分析如图。段为研究对象，受力分析如图。0yF 04AClFFFq 0FAM308482ACllllMFqF 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院66例例 A，B，C，D处均为光滑铰链，物块重为处均为光滑铰链，物块重为G，通过绳子绕过滑，通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆轮水平地连接于杆AB的的E点，各构件自重不计，试求点，各构件自重不计，试求B处的约束力。处的约束力。FAyFAxFCxFCyG解、解、1.取整体为研究对象。取整