1、拉伸和压缩1 横截面上的应力横截面上的应力 2 拉压杆的强度计算拉压杆的强度计算3 斜截面上的应力斜截面上的应力 4 拉（压）杆的变形与位移拉（压）杆的变形与位移5 拉（压）杆的应变能拉（压）杆的应变能6 低碳钢和铸铁受拉伸和压缩低碳钢和铸铁受拉伸和压缩时的力学性能时的力学性能7 简单的拉、压超静定问题简单的拉、压超静定问题8 拉（压）杆接头的计算拉（压）杆接头的计算 工程中有很多构件，例如屋架中的杆，工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆
2、的主要变形形式是轴向伸长或缩短。形形式是轴向伸长或缩短。图图7-1 7-1 屋架结构的简化屋架结构的简化1 1 横截面上的应力横截面上的应力 在第六章中已讨论过轴向拉伸、压缩杆件在第六章中已讨论过轴向拉伸、压缩杆件横截面上的内力横截面上的内力轴力轴力F FN N。显然，它是横截面上显然，它是横截面上法向分布内力的合力。法向分布内力的合力。FFNFF图图7-27-2 要判断一根杆件是否会因强度不足而破坏，要判断一根杆件是否会因强度不足而破坏，还必须联系杆件横截面的几何尺寸、分布内力的变还必须联系杆件横截面的几何尺寸、分布内力的变化规律找出分布内力在各点处的集度化规律找出分布内力在各点处的集度应力
3、。杆应力。杆件横截面上一点处法向分布内力的集度称为正应力，件横截面上一点处法向分布内力的集度称为正应力，以符号以符号s s 表示。表示。定义：法向分布内力的集度定义：法向分布内力的集度 mmmm截面截面 C C点处的正应力点处的正应力s s 为：为：mmCANF（7-17-1）AFAFAddlimNN0 s s 是矢量，因而正应力是矢量，因而正应力s s 也是矢量，其方向垂也是矢量，其方向垂直于它所在的截面。正应力的量纲直于它所在的截面。正应力的量纲为为 。在国际单位制中，应力。在国际单位制中，应力的单位为帕斯卡的单位为帕斯卡(Pascal)Pascal)，其中文代号是帕，国际其中文代号是帕，
4、国际代号是代号是Pa Pa 。NF)N/m1a1(2 P 2长长度度力力AFAFAddlimNN0 s smmCANF 由于由于应力应力在截面上的变化规律还不知道，在截面上的变化规律还不知道，所以无法求出。解决此问题的常用方法是，以杆所以无法求出。解决此问题的常用方法是，以杆件在受力变形后件在受力变形后表面表面上的变形情况为根据，由表上的变形情况为根据，由表及及里地作出内部变形情况的里地作出内部变形情况的几何假设几何假设，再根据分布内，再根据分布内力与变形间的力与变形间的物性关系物性关系，得到应力在截面上的变化，得到应力在截面上的变化规律，然后再通过规律，然后再通过静力学静力学中求合力的概念得
5、到以内中求合力的概念得到以内力表示应力的公式。力表示应力的公式。图图7-27-2(a)a)ABl受力前受力前受力后受力后(b)b)llFFAB 在杆受轴向拉伸时，两横向周线虽然相对平移，但在杆受轴向拉伸时，两横向周线虽然相对平移，但每一条周线仍位于一个平面内。每一条周线仍位于一个平面内。(a)a)ABl受力前受力前图图7-27-2受力后受力后(b)b)llFFAB 平面假设：原为平面的横截面平面假设：原为平面的横截面A A和和B B，在杆在杆变形后仍为平面，且仍与杆的轴线垂直。变形后仍为平面，且仍与杆的轴线垂直。这意味着杆件受轴向拉伸时两横截面之这意味着杆件受轴向拉伸时两横截面之间的所有纵向线
6、段其绝对伸长相同，伸长变形的间的所有纵向线段其绝对伸长相同，伸长变形的程度也相等。程度也相等。受力后受力后(b)b)llFFAB 在工程上常假设材料是均匀的，而且是在工程上常假设材料是均匀的，而且是连续的。于是根据拉杆的变形情况，可以推断，横连续的。于是根据拉杆的变形情况，可以推断，横截面上各点处的正应力处处相等。按静力学求合力截面上各点处的正应力处处相等。按静力学求合力的概念可的概念可 知：知：AAAFFAAAs ss ss s dddNN(b)b)llFFAB NFFA sAFN s s（7-27-2）式中，式中，F FN N 为轴力，为轴力，A A 为横截面面积。为横截面面积。对于轴向压
7、缩的杆件，如果它具有足够对于轴向压缩的杆件，如果它具有足够的抵抗弯曲的刚度，上式同样适用。的抵抗弯曲的刚度，上式同样适用。对应于伸长变形的对应于伸长变形的拉应力为正拉应力为正，对应于，对应于缩短变形的缩短变形的压应力为负压应力为负。AAAFFAAAs ss ss s dddNN外力作用于杆端的方式（例如，外力作用外力作用于杆端的方式（例如，外力作用在杆件端面的局部或者整个端面），只会在杆件端面的局部或者整个端面），只会影响外力作用处附近横截面上的应力分布影响外力作用处附近横截面上的应力分布情况，而影响范围不大于杆的横向尺寸。情况，而影响范围不大于杆的横向尺寸。注意公式（注意公式（7-27-2）
8、只在杆上离外力作用点）只在杆上离外力作用点稍远的部分才正确，而在外力作用点附近的应力情稍远的部分才正确，而在外力作用点附近的应力情况比较复杂。况比较复杂。圣维南原理：圣维南原理：当杆受几个轴向外力作用时，从截面法可当杆受几个轴向外力作用时，从截面法可求得其最大轴力；对等直杆来讲，将它代入公式求得其最大轴力；对等直杆来讲，将它代入公式 （7-27-2），即得杆内的最大应力为：），即得杆内的最大应力为：AFmaxNmax s s（7-37-3）此最大轴力所在横截面称为危险截面，由此式算此最大轴力所在横截面称为危险截面，由此式算得的正应力即危险截面上的正应力，称为得的正应力即危险截面上的正应力，称为
9、最大工最大工作应力作应力。一横截面面积一横截面面积 A A=400mm=400mm2 2 的等直的等直 杆，其受力如图所示。试求此杆，其受力如图所示。试求此杆的最大工作应力。杆的最大工作应力。解：此杆的最大轴力为：解：此杆的最大轴力为：N30000kN30maxN F最大工作应力为：最大工作应力为：MPa75Pa1075N/m1075m10400N3000062626maxmax AFNs s20kN20kN30kN.ABCDFN（kN）x3020O例题例题 7-17-1 一横截面为正方形的砖柱分上一横截面为正方形的砖柱分上下两段，其受力情况、各段长下两段，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图
10、所示。已度及横截面尺寸如图所示。已知知F F=50=50k kN,N,试求荷载引起的最试求荷载引起的最大工作应力。大工作应力。解：首先作轴力图。解：首先作轴力图。由于此柱为变截面杆，因此要由于此柱为变截面杆，因此要求出每段柱的横截面上的正应求出每段柱的横截面上的正应力，从而确定全柱的最大工作力，从而确定全柱的最大工作应力。应力。50 kN150 kN(b)b)370FFF30004000240(a)a)例题例题 7-27-2,(MPa87.0N/m1087.0mm240240N1050mm240240kN5026232N压应力）压应力）AFs s50 kN150 kN(b)b)370FFF30
11、004000240(a)a)例题例题 7-27-2压应力）。压应力）。压应力），压应力），(MPa1.1(MPa87.021 s ss s。MPa1.1max s s最大工作应力为：最大工作应力为：50 kN150 kN(b)b)370FFF30004000240(a)a)压应力）压应力）(MPa1.1N/m101.1mm370370N10150mm370370kN15026232N AFs s例题例题 7-27-2 试论证若杆件横截面上的正应力处处相等，试论证若杆件横截面上的正应力处处相等，则相应的法向分布内力的合力必通过横截面的形心。则相应的法向分布内力的合力必通过横截面的形心。反之，法向
12、分布内力的合力虽通过形心，但正应力反之，法向分布内力的合力虽通过形心，但正应力在横截面上却不一定处处相等。在横截面上却不一定处处相等。根据平行力系求合力的办法，可知杆件根据平行力系求合力的办法，可知杆件横截面上的正应力均匀分布，则其合力必过横截横截面上的正应力均匀分布，则其合力必过横截面的形心（即该合力为轴力），但横截面上的正面的形心（即该合力为轴力），但横截面上的正应力非均匀分布时，它们仍可能只组成轴力。应力非均匀分布时，它们仍可能只组成轴力。思考题思考题 7-1 7-1 注意：拉、压杆横截面上正应力的计算公注意：拉、压杆横截面上正应力的计算公式式是建立在变形符合平面假设的基础上的。因而杆件
13、是建立在变形符合平面假设的基础上的。因而杆件受轴向拉伸或压缩时，只有在变形符合这一假设，受轴向拉伸或压缩时，只有在变形符合这一假设，且材料均匀连续的条件下，才能应用该公式。且材料均匀连续的条件下，才能应用该公式。AFN s s 工程上常见的带有切口、油孔等的轴向受工程上常见的带有切口、油孔等的轴向受拉杆件，在上述那些部位，由于截面尺寸急剧变化，拉杆件，在上述那些部位，由于截面尺寸急剧变化，同一横截面上的正应力并非处处相等，而有局部增同一横截面上的正应力并非处处相等，而有局部增大现象，即产生所谓大现象，即产生所谓“应力集中应力集中”。应力集中处的。应力集中处的局部局部0maxs ss s 最大应
14、力最大应力 s smaxmax与按等截面杆算得的应力与按等截面杆算得的应力s s0 0之比称为之比称为应力集中系数应力集中系数 ：FFadFmaxs2 拉压杆的强度计算拉压杆的强度计算 为使杆件在外力作用下不致发生断裂或者显著为使杆件在外力作用下不致发生断裂或者显著的永久变形（即塑性变形），即不致发生强度破的永久变形（即塑性变形），即不致发生强度破 坏，杆件内最大工作应力坏，杆件内最大工作应力s smax不能超过杆件材料所不能超过杆件材料所能承受的极限应力能承受的极限应力s su，而且要有一定的安全储备。，而且要有一定的安全储备。这一强度条件可用下式来表达这一强度条件可用下式来表达。numax
15、s ss s 上式中，上式中，n 是大于是大于 1 的系数，称为安全系数，其数的系数，称为安全系数，其数值通常是由设计规范规定的。它包括了两方面的值通常是由设计规范规定的。它包括了两方面的 s ss s max 材料受拉伸（压缩）时的极限应力要通过试验材料受拉伸（压缩）时的极限应力要通过试验来测定。来测定。应力除以安全系数得到材料能安全工作的容许应应力除以安全系数得到材料能安全工作的容许应力力s s。于是强度条件又可写作。于是强度条件又可写作应用强度条件可对拉、压杆件进行如下三类计算：应用强度条件可对拉、压杆件进行如下三类计算：考虑。一方面是强度条件中有些量的本身就存在着考虑。一方面是强度条件
16、中有些量的本身就存在着主观认识与客观实际间的差，另一方面则是给构件主观认识与客观实际间的差，另一方面则是给构件以必要的安全储备。以必要的安全储备。3.确定许可荷载确定许可荷载已知杆件的横截面积已知杆件的横截面积A、材材料的容许应力料的容许应力s s以及杆件所承受的荷载的情以及杆件所承受的荷载的情 况，根据强度条件确定荷载的最大容许值。况，根据强度条件确定荷载的最大容许值。2.2.选择截面尺寸选择截面尺寸已知荷载及容许应力，根据已知荷载及容许应力，根据强度条件选择截面尺寸。强度条件选择截面尺寸。s ss s max1.校核强度校核强度已知杆件的横截面面积已知杆件的横截面面积A、材料材料的容许应力
17、的容许应力s s以及杆件所承受的荷载，检验以及杆件所承受的荷载，检验上式是否满足，从而判定杆件是否具有足够上式是否满足，从而判定杆件是否具有足够的强度：的强度：解：解：首先作杆的轴首先作杆的轴力图如图力图如图(b)所示。所示。一横截面为矩形的钢制阶梯状直杆，一横截面为矩形的钢制阶梯状直杆，其受力情况、各段长度如图其受力情况、各段长度如图(a)所示。所示。BC段和段和CD段的段的横截面面积是横截面面积是AB段横截面面积的两倍。矩形截面的段横截面面积的两倍。矩形截面的高度与宽度之比高度与宽度之比 h/b=1.4，材料的容许应力材料的容许应力s s=160 MPa。试选择各段杆的横截面尺寸。试选择各
18、段杆的横截面尺寸h和和b。ABCD20kN40kN50kN0.5 m 0.5 m1 m(a)a)OxFN/kN202030(b)b)对于对于AB段，要求段，要求：例题例题 7-37-3 。24263m10875.1)(N/m10160N1030 s sCDNCDFA对于对于CD段，要求段，要求由题意知由题意知CD段的面积是段的面积是AB 段的两倍，应取段的两倍，应取,m1025.124 ABAABCD20kN40kN50kN0.5 m 0.5 m1 m(a)a)OxFN/kN202030(b)b)24263Nm1025.1)(N/m10160N1020 s sABFAAB例题例题 7-37-3
19、可得可得AB段横截面的尺寸段横截面的尺寸b1及及h1：,m1025.124 ABA由由。mm3.13mm,5.9,4.1m1025.111211124 hbbhb。244m1050.221025.1 CDA由由可得可得CD段横截面的尺寸段横截面的尺寸b2及及h2：。mm7.18mm,4.13,4.1m1050.222222224 hbbhb。244m1050.221025.1 CDA例题例题 7-37-3 图示图示一一等直杆在自重和力等直杆在自重和力F 作用下作用下的示意图。已知杆的横截面面积为的示意图。已知杆的横截面面积为A，材料容重为材料容重为g g，容许应力为容许应力为s s。试分析杆的
20、自重对强度的影响。试分析杆的自重对强度的影响。解：要研究自重对杆的强解：要研究自重对杆的强度的影响，应探讨自重与杆内度的影响，应探讨自重与杆内最大正应力的关系，为此可先最大正应力的关系，为此可先算出杆的任一横截面上的轴算出杆的任一横截面上的轴 力，从而求出杆的最大轴力。力，从而求出杆的最大轴力。FlAB例题例题 7-47-4作轴力图如下：作轴力图如下：FNxFF+Ag lFlABxFAg xFN(x)F FN N(x x)=F+A=F+Ag g x x例题例题 7-47-4AlFFg g maxN s sg g AAlF lFAg gs s 由此可见，若杆的由此可见，若杆的g g l与其材料的
21、与其材料的s s相比很小，相比很小，则杆的自重影响很小而可忽略不计。则杆的自重影响很小而可忽略不计。FNxFF+Ag l例题例题 7-47-4解：解：(1)首先求斜杆和横杆首先求斜杆和横杆的轴力与荷载的关系。的轴力与荷载的关系。0302mACBFyxFF2F1A,230sin001FFFFy FFFFFx732.130cos230cos00012 有一三角架如图所示，其斜杆由两有一三角架如图所示，其斜杆由两 根根 等边角钢组成，横杆由两根等边角钢组成，横杆由两根10号槽钢组号槽钢组成，材料均为成，材料均为Q235 钢，容许应力钢，容许应力s s=120 MPa。求求许可荷载许可荷载 F。780
22、80 例题例题 7-57-5 (2)计算许可轴力。由型钢计算许可轴力。由型钢表查得：表查得：2221cm5.25274.12,cm7.21286.10 AA0302mACBFyxFF2F1A由强度条件由强度条件 s ss s AFN知许可轴力为：知许可轴力为：kN,260N10260N/m10120m107.21326241 F例题例题 7-57-5 kN306N10306N/m10120m105.25326242 F0302mACBFyxFF2F1A(3)计算许可荷载。计算许可荷载。kN1302kN26021 FF kN177732.1kN306732.12 FF故斜杆和横杆都能安全工作的许
23、可荷载应取故斜杆和横杆都能安全工作的许可荷载应取 kN130 F例题例题 7-57-53 3 斜截面上的应力斜截面上的应力 实验表明，拉（压）杆的强度破坏并不一实验表明，拉（压）杆的强度破坏并不一定沿横截面发生，有时是沿某一斜截面发生。为了定沿横截面发生，有时是沿某一斜截面发生。为了研究其破坏原因，讨论斜截面上的应力。研究其破坏原因，讨论斜截面上的应力。kFFkkFFk(a)a)kFkFp(b)b)FF 问题：问题：?p AFp 仿照前面求正应力的分仿照前面求正应力的分析过程，同样可知斜截析过程，同样可知斜截面上的应力处处相等。面上的应力处处相等。cos AA(A为横截面的面积为横截面的面积)
24、s s coscos0 AFpFFkFkFp(b)b)Asp(c)c)AF 0s s。，切切应应力力应应力力用用两两个个分分量量来来表表示示：正正 s sp),2cos1(2coscos020 s s s s s s p.2sin2sincossin00 s s s s p s s coscos0 AFpFF),2cos1(20 s ss s .2sin20 s s 应力状态：通过一点的所有各截面上的应力其应力状态：通过一点的所有各截面上的应力其全部情况。全部情况。单向应力状态：一点处的应力状态由其横截面单向应力状态：一点处的应力状态由其横截面上的正应力即可完全确定。上的正应力即可完全确定。以
25、上的分析结果对压杆也同样适用。以上的分析结果对压杆也同样适用。以上两式表达了通过拉杆内任一点的不同斜截以上两式表达了通过拉杆内任一点的不同斜截面上的正应力和切应力随面上的正应力和切应力随 角而改变的规律。角而改变的规律。045045s045(b)b)x045),2cos1(20 s ss s .2sin20 s s 0,0s ss s 2452sin2450004500s ss s kFFk(a)a)n2)45(2sin2450004500s ss s 拉（压）杆最大切应力发生在与轴线成拉（压）杆最大切应力发生在与轴线成45 的斜的斜截面上，其大小为最大正应力的一半。截面上，其大小为最大正应力
26、的一半。045045s045(b)b)x045受轴向拉（压）的杆件，其斜截面上的应力与横受轴向拉（压）的杆件，其斜截面上的应力与横截面上的应力有下面的确定关系，那么，对于由截面上的应力有下面的确定关系，那么，对于由某种材料制成的拉杆如果实际上是由于某种材料制成的拉杆如果实际上是由于 而引起的强度破坏，是否可用而引起的强度破坏，是否可用 作为强度作为强度破坏的判据呢？破坏的判据呢？045 s ss s 0),2cos1(20 s ss s .2sin20 s s 思考题思考题 7-2 7-2拉（压）杆任意两个互相垂直的截面拉（压）杆任意两个互相垂直的截面 k-k 和和 n-n 上上的切应力为：的
27、切应力为：kFFknn090 s s 2sin20 s s s s 2sin2)90(2sin200)90(s s s s 2sin2,2sin20)90(00 切应力互等定理切应力互等定理:任何受力物体内一点处，两个相互任何受力物体内一点处，两个相互垂直截面上与这两个面的交线垂直方向的切应力，垂直截面上与这两个面的交线垂直方向的切应力，也必定大小相等，而指向都对着（或都背离）这两也必定大小相等，而指向都对着（或都背离）这两个垂直截面的交线。个垂直截面的交线。090s090sF(b)b)kFFknn090(a)(a),2cos2200 s ss ss s .2sin20 s s 20220)2
28、()2(s s s ss s 单向拉伸（压缩）时的应力单向拉伸（压缩）时的应力圆：圆：代表斜截面上应力的点代表斜截面上应力的点必落在这个圆周上。必落在这个圆周上。C20s20s(a)a)Os。s s s ss ss s sin2,cos22000 DECEOCOE),2cos1(20 s ss s .2sin20 s s 根据下式可知，根据下式可知，2 注意注意 与与 的转向相同。的转向相同。(b)b)OCDEA0s20sss(2)如果是这样，是否如果是这样，是否说明了说明了 以以及及？090 0900s ss ss s 思考题思考题 7-3 7-3(1)(1)应力圆上代表拉（压）杆两个相互垂
29、直截面上应力圆上代表拉（压）杆两个相互垂直截面上应力的点，是否位于直径的两端？应力的点，是否位于直径的两端？(b)b)OCDEA0s20sss参照右图可得出如下结论：参照右图可得出如下结论：090 0900s ss ss s OCDEA0s20sF090s090ss思考题思考题 7-3 7-3 图示一从拉杆内图示一从拉杆内取出的一个微小的正六面体（单元体）及其应力状取出的一个微小的正六面体（单元体）及其应力状态，求图示斜截面上的应力，并求该单元体中的最态，求图示斜截面上的应力，并求该单元体中的最大切应力及其作用面。大切应力及其作用面。xynss0300150(a)a)解：解：(1)(1)作应力
30、圆作应力圆C20s20s(b b)D0300OBAB01500150ss例题例题 7-67-6xnss75.0s433.00300150(c)c)(2)求所示斜截面上的应求所示斜截面上的应 力，如图力，如图(c)所示。所示。(3)求最大切应力求最大切应力,如图如图(b)所所示。示。最大切应力发生在最大切应力发生在B B及及B B点，并有：点，并有：s s 21max C20s20s(b b)D0300OBAB01500150ss例题例题 7-67-6xss2s2sn045(d)d)xss2s2sn045(e)e)最大切应力的作用面如下图所示。最大切应力的作用面如下图所示。例题例题 7-67-6
31、(1)(1)(e)e)图所示斜截面上的正应力和图所示斜截面上的正应力和切切应力其数值应力其数值和指向是否正确？和指向是否正确？思考题思考题 7-4 7-4xss2s2sn045(e)e)xynss0300150(a)a)(2)图图(a)所示斜截面上的应力，其数值和指向与图所示斜截面上的应力，其数值和指向与图(b)所示是否相同？所示是否相同？(b)xys030(b)b)s参照下图分析参照下图分析C20s20sD0300OBAB01500150ss思考题思考题 7-4 7-44 4 拉（压）杆的变形与位移拉（压）杆的变形与位移1.1.胡克定胡克定律律FF l1ld1d实验表明，工程上许多材料，如低
32、碳钢、合金实验表明，工程上许多材料，如低碳钢、合金钢等都有一个线弹性阶段，即：钢等都有一个线弹性阶段，即：lll1AlFlN（F FN N为轴力，为轴力，A A为截面积）为截面积）引入比例常数引入比例常数E E有：有：EAlFlN 上式即为拉（压）杆的胡克定律。式中上式即为拉（压）杆的胡克定律。式中E E为弹性模为弹性模量，其量纲为量，其量纲为 ，常用单，常用单位为位为MPaMPa。2/长长度度力力FF l1ld1dAFEllN1 (单向应力状态时的胡克定律单向应力状态时的胡克定律)llAFN s s s sE FF l1ld1d该式表达的是均匀伸长时的线应变。该式表达的是均匀伸长时的线应变。
33、2.2.横向变形系数横向变形系数泊松比泊松比N Nddddd1 横向线应变为：横向线应变为：实验证实：实验证实：,泊松比泊松比是一与材料有关的无量纲的量，其数值是一与材料有关的无量纲的量，其数值通过实验测定。通过实验测定。FF l1ld1d若在受力物体内一点处已测得两个相互垂直的若在受力物体内一点处已测得两个相互垂直的 x x 和和 y y 方向均有线应变，则是否在方向均有线应变，则是否在 x x 和和 y y 方方向向必定均作用有正应力？若测得仅必定均作用有正应力？若测得仅 x x 方向有线方向有线应应 变，则是否变，则是否 y y 方向无正应力？若测得方向无正应力？若测得 x x 和和 y
34、 y 方向均无线应变，则是否方向均无线应变，则是否 x x 和和 y y 方向方向必必定均无正应力？定均无正应力？思考题思考题7-57-5 解：解：首先作轴力图。首先作轴力图。若认为基础无沉陷，则砖柱顶若认为基础无沉陷，则砖柱顶面下降的位移等于全柱的缩短。面下降的位移等于全柱的缩短。一横截面为正方形的砖柱分上一横截面为正方形的砖柱分上下两段，其受力情况、各段长下两段，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图所示。已度及横截面尺寸如图所示。已知知F F=50kN=50kN,材料的弹性模材料的弹性模量量 。试求砖柱顶面的位移。试求砖柱顶面的位移。MPa1033 E50 kN150 kN(b)b)370
35、F FFF30004000240(a)a)由于此柱为变截面杆，且由于此柱为变截面杆，且上下两段轴力不等因此要分段计算。上下两段轴力不等因此要分段计算。例题例题 7-77-7N11N211EAlFEAlFlll 50 kN150 kN(b)b)370FFF30004000240(a)a)mm3.2m0023.000146.000087.0)10370370()103(4)1000150()10240240()103(3)100050(6969 l由此得由此得向向下下）mm(3.2 lA例题例题 7-77-7 图示两根等截面杆，图示两根等截面杆，(1)(1)它们的总变形它们的总变形是否相同？是否相
36、同？(2)(2)它们的变形程度是否相同？它们的变形程度是否相同？(3)(3)两杆哪些相应截面的纵向位移相同？两杆哪些相应截面的纵向位移相同？思考题思考题 7-6 7-6F2lA/2(b)b)FlA(a)a)图图(a)a)是一是一等直杆等直杆在自重和力在自重和力F F 作用下的示意图。已知杆的横截面面作用下的示意图。已知杆的横截面面积为积为A A，材料容重为材料容重为g g，弹性模量为，弹性模量为E E,杆长为杆长为l l。试求。试求杆的总伸长。杆的总伸长。解：要求杆的总伸长，首先作出轴力图。解：要求杆的总伸长，首先作出轴力图。FlAB(a)a)例题例题 7-77-7作轴力图如下：作轴力图如下：
37、FNxFF+Ag xFlABxFAg xFN(x)F FN(N(x x)=F+A=F+Ag g x x例题例题 7-77-7FlABxFN(x)F FN N(x x)=F+A=F+Ag g x xdxAg dxFN(x+dx)EAPlEAFlEAAlEAFlElEAFlxEAAxFEAxxFlEAxxFxll222dd)(d)()(d200NN g gg gg g(P P为杆的总重量为杆的总重量)自重引起的伸长怎样考虑？自重引起的伸长怎样考虑？例题例题 7-77-7图示杆任意横截面图示杆任意横截面m-mm-m的纵向位移是否可由下式的纵向位移是否可由下式计算：计算：xlEAxxFd)(N为什么式
38、中积分的下限为什么式中积分的下限为为l l,而不取为零？为什而不取为零？为什么积分号前取正号？么积分号前取正号？思考题思考题7-77-7mmFlABxFN(x)FN(x)=F+Ag xdxAg dxFN(x+dx)FABCO12 图示杆系由钢杆图示杆系由钢杆1 1、2 2组成。各杆的长度均为组成。各杆的长度均为l l=2m,=2m,直径均为直径均为d d =25mm=25mm。已知变形前已知变形前=30=30o o钢的弹性模量钢的弹性模量E E=2.1=2.110105 5MPaMPa，荷载，荷载F F=100kN=100kN，试求节点，试求节点A A的位的位 移移 A A。例题例题 7-87
39、-8BCO12AA12A2A1AA解：解：分析可知结点分析可知结点A A只有竖直位移只有竖直位移 cos20coscos2121NNNNFFFFFF yFAxFN1FN2例题例题 7-87-8 cos21N21EAFlEAlFll 2cos2EAFlA)mm(3.1m0013.030cos)1025(4101.222101000223113 A12A2A1AA问题：位移与变形的区别？问题：位移与变形的区别？例题例题 7-87-85 5 拉（压）内的应变能拉（压）内的应变能应变能（应变能（U)U)：弹性体在外力作用下产生弹性体在外力作用下产生变形时，变形时，其内部储存有能量，当外力除去时这种弹性
40、应变其内部储存有能量，当外力除去时这种弹性应变能也就随变形的消失而释放出来。研究拉（压）能也就随变形的消失而释放出来。研究拉（压）杆在线性弹性范围内工作时的应变能。杆在线性弹性范围内工作时的应变能。lABFA(a)a)OFABdFlAA1A1dAFF1(b)b)d(d11AFW AFW21 如果荷载缓慢地增大，而可以不计动如果荷载缓慢地增大，而可以不计动能，并忽略热能等，根据能量守恒原能，并忽略热能等，根据能量守恒原理，荷载作的功在数值上等于拉杆内理，荷载作的功在数值上等于拉杆内的应变能。的应变能。AFU21 EAlFEAlFFU2)(212NNN 对于图示杆，其应变能为：对于图示杆，其应变能
41、为：应变能的单位与功相同，为焦应变能的单位与功相同，为焦(J)J)：mN1J1 上面的公式适用于线弹性范围。上面的公式适用于线弹性范围。lABFA(a)a)拉（压）杆单位体积内所积蓄的应变能拉（压）杆单位体积内所积蓄的应变能比能比能u u为为EAFEAlEAlFVUu2)(212/2N2Ns s ss21 u22 Eu 比能的常用单位是：比能的常用单位是：3J/m图示为从某受力物体内取出的单向受力的单元图示为从某受力物体内取出的单向受力的单元 体，其左右两个面上的力如图体，其左右两个面上的力如图(b)b)所示。若材料所示。若材料是线性弹性的，那么该单元体沿力的作用方向的是线性弹性的，那么该单元
42、体沿力的作用方向的伸长为多少？该单元体内的应变能是多少？该单伸长为多少？该单元体内的应变能是多少？该单元体内的比能为多少？元体内的比能为多少？d xd yd z(a)a)(b)b)xy dd sxy dd s思考题思考题7-87-8杆系如图所示，杆系如图所示，(1)(1)求该系统内的应变能求该系统内的应变能U U,(2)(2)求外力所作的功求外力所作的功W W。FABCO12BCO12AA12A2A1AAyFAxFN1FN2例题例题 7-97-9系统的应变能为：系统的应变能为：N1074.57cos23NN21 FFF解：解：(1)(1)例例7-87-8的结果知的结果知ACABACABUUUU
43、U EAlFEAlFU2N2N1122 mN65)1025(4101.22)1074.57(231123 UBCO12AA例题例题 7-97-9(2)(2)外力的功为：外力的功为：AFW21 mm3.1 AmN65)103.1()10100(2133 WBCO12AA例题例题 7-97-9 图示的三根圆截面图示的三根圆截面杆，其材料、支撑情况、荷载杆，其材料、支撑情况、荷载F F 及长度及长度 l l 均相同，均相同，但直径及其变化不同。试比较这三根杆内的应变能。但直径及其变化不同。试比较这三根杆内的应变能。自重不计。自重不计。Fl(a)a)1dFl(b)b)2d2ddl/4Fl(c)c)32
44、ddl/8例题例题 7-7-1111解：计算解：计算1 1杆的应变能杆的应变能)4/(22222N1dElFEAlFU Fl(a)a)1dFl(b)b)2d2ddl/4计算计算2 2杆的应变能时，应杆的应变能时，应分段计算：分段计算：12222222167)4/(21674/)22)4/3()4/(2)4/(UdElFdElFdElFU 例题例题 7-7-1111同理同理3 3杆的应变能为：杆的应变能为：122222233211)4/(232114/)2(2)8/7()4/(2)8/(UdElFdElFdElFU Fl(a)a)1dFl(b)b)2d2ddl/43211:167:1:321 U
45、UU体积增大，体积增大，1 1、2 2、3 3杆的应变能依次减少。杆的应变能依次减少。Fl(c)c)32ddl/8例题例题 7-7-1111 如图所示，重量为如图所示，重量为P P的重的重物从高处自由落下，在与杆物从高处自由落下，在与杆ABAB下端的盘下端的盘B B碰撞后不发碰撞后不发生回跳。已知自由落距为生回跳。已知自由落距为h h，杆的长度为杆的长度为l l,盘及杆盘及杆重均可不计。试求杆的最大伸长及其横截面上的最重均可不计。试求杆的最大伸长及其横截面上的最大拉应力。大拉应力。Pl(a)a)ABhPdl(b)b)ABdPl(c)c)ABj例题例题 7-7-1212 解：解：碰撞结束后，杆碰
46、撞结束后，杆的伸长达到最大值的伸长达到最大值圆盘的最大位移。相应于这个圆盘的最大位移。相应于这个最大位移的假想静荷载称为冲击荷载，以最大位移的假想静荷载称为冲击荷载，以P Pd d表示。表示。相相应的应力称为冲击应力，以表应的应力称为冲击应力，以表s sd d示。示。)(21dddddhPWPUWU Pdl(b)b)ABdjKPKP dddd)()(21jdjddd KhPWKPKU 例题例题 7-7-1212022)(21jd2djd2dd hKKKhPPKWUjEAPlhK jjd,211Pdl(b)b)ABd lPPlhEAK211jdd s ss s EAPlPlhEAK211jdd
47、材料在线弹性范围内工作时，上述结果正确。材料在线弹性范围内工作时，上述结果正确。例题例题 7-7-1212(1)(1)若图中重物不是从高处自由下落而是骤然加若图中重物不是从高处自由下落而是骤然加在杆在杆ABAB下端下端的盘的盘 B B上，上，则冲击系数为多少？则冲击系数为多少？(2)(2)图图(b)b)、(c)(c)、(d)(d)所示三根杆件若承受所示三根杆件若承受(a)a)那样的那样的冲击，试求它们的冲击系数之比。冲击，试求它们的冲击系数之比。思考题思考题 7-9 7-9Pl(a)a)ABhPl(b)b)1dPl(c)c)2d2ddl/4Fl(d)d)32ddl/8思考题思考题7-97-9参
48、考答案：参考答案：20d KhPl(a)a)ABhEAPlhK jjd211(1)(1)思考题思考题7-97-9参考答案：参考答案：EAPlhK jjd,211Pl(a)a)ABhPl(d)d)32ddl/8Pl(b)b)1dPl(c)c)2d2ddl/4)(,)(21jdjdddKhPWKPKU (2)(2)3211:167:1:321 UUU3211:167:1:3j2j1j Pl(a)a)ABhPl(d)d)32ddl/8Pl(b)b)1dPl(c)c)2d2ddl/4思考题思考题7-97-9参考答案：参考答案：(3)(3)推导公式推导公式 时略去了碰撞过程中能量的损失，那么由此算得时略
49、去了碰撞过程中能量的损失，那么由此算得的的K Kd d是偏大还是偏小？是偏大还是偏小？jd211hK 答：偏大答：偏大6 低碳钢和铸铁受拉伸和压缩低碳钢和铸铁受拉伸和压缩时的力学性能时的力学性能1.1.材料的拉伸和压缩试验材料的拉伸和压缩试验 圆截面试样：圆截面试样：l l=10=10d d 或或 l l=5=5d d(工作段长度称工作段长度称为标距为标距)。矩形截面试样：矩形截面试样：或或 。Al3.11 Al65.5 拉伸试样拉伸试样 试验设备试验设备 ：(1)(1)万能试验机：强迫试样变形并测定试样的抗力。万能试验机：强迫试样变形并测定试样的抗力。(2)(2)变形仪：将试样的微小变形放大
50、后加以显示变形仪：将试样的微小变形放大后加以显示的仪器。的仪器。圆截面短柱圆截面短柱(用于测试金属材料的力学性能用于测试金属材料的力学性能)31 dl正方形截面短柱正方形截面短柱(用于测试非金属材料的力学性用于测试非金属材料的力学性能能)31 bl 压缩试样压缩试样 实验装置（万能试验机）实验装置（万能试验机）2.2.低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能 拉伸图拉伸图 纵坐标纵坐标试样试样的抗力的抗力F F(通常称为荷通常称为荷载载)横坐标横坐标试样试样工作段的伸长量工作段的伸长量 低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段：低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段：
