1、第2课时排列与排列数公式主题主题:排列数的定义及排列数公式排列数的定义及排列数公式1.1.从写有从写有1,2,3,41,2,3,4的卡片中选取卡片进行数字游戏的卡片中选取卡片进行数字游戏,试试填写下表填写下表:提示提示:(1)4(1)43=123=12个无重复数字的两位数个无重复数字的两位数.(2)4(2)43 32=242=24个无重复数字的三位数个无重复数字的三位数.(3)4(3)43 32 21=241=24个无重复数字的四位数个无重复数字的四位数.2.2.如何求从如何求从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mnm(mn)个元素的所有个元素的所有排列的种数排列的种数?提示提示:用文
2、字语言描述用文字语言描述:从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个的排个的排列分列分m m步完成步完成,分别求出每一步的方法数分别求出每一步的方法数,然后由分步乘然后由分步乘法计数原理可得到所有排法总数法计数原理可得到所有排法总数.结论结论:1.1.排列数排列数:(1)(1)定义定义:从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mnm(mn)个元素的所有个元素的所有_的个数叫做从的个数叫做从n n个不同元素中个不同元素中取出取出m m个元素的排列数个元素的排列数.(2)(2)表示法表示法:_:_不同排列不同排列mnA2.2.全排列全排列:(1)(1)定义定义:n:n个不同元素全部取
3、出的一个排列个不同元素全部取出的一个排列(2)(2)表示表示:=_=_,:=_=_,叫叫n n的的_(3)(3)规定规定:0!=_:0!=_nnAn n(n-1)(n-1)3 32 21 1n!n!阶乘阶乘1 13.3.排列数公式排列数公式:(1)(1)乘积式乘积式:=_:=_(2)(2)阶乘式阶乘式:=_:=_ mnAmnAn(n-1)(n-2)n(n-1)(n-2)(n-m+1)(n-m+1)n!n m!（）【微思考微思考】1.1.排列数公式的乘积式有什么特点排列数公式的乘积式有什么特点?提示提示:公式右边是公式右边是m m个数的乘积个数的乘积,第一个数是第一个数是n,n,以后每一以后每一
4、个数比前一个数少个数比前一个数少1,1,最后一个数是最后一个数是n-m+1.n-m+1.2.2.试说明为何规定试说明为何规定0!=1?0!=1?提示提示:为了使公式为了使公式 在在m=nm=n时也能成立时也能成立,规定规定0!=1,0!=1,这种规定说明这种规定说明:若一个元素都不取若一个元素都不取,则构成排列的则构成排列的情形只有情形只有1 1种种.mnn!An m!【预习自测预习自测】1.1.已知已知 =132,=132,则则n n等于等于()A.11A.11B.12B.12C.13C.13D.14D.14【解析解析】选选B.B.由由n(n-1)=132,n(n-1)=132,得得n=12
5、(n=-11n=12(n=-11舍去舍去).).2nA2.122.1211116 6可表示为可表示为()【解析解析】选选B.=12B.=121111(12-7+1).(12-7+1).876512121212A.A B.A C.A D.A712A3.3.若若x=x=则则x=x=()【解析解析】选选B.B.由由 n!3!，3n 3n3nn3n 3A.A B.A C.A D.Amn 3nnn!n!AA.n m!3!，知4.44.45 56 6(n-1)(n-1)n(nNn(nN*)等于等于()【解析解析】选选D.D.由排列数公式可知为由排列数公式可知为 .4n 4n 3nnnA.A B.A C.n
6、!4!D.An 3nA5.5.若若 =18=18171716165 54 43,3,则则n=_,n=_,m=_.m=_.【解析解析】由由 =n(n-1)=n(n-1)(n-m+1),(n-m+1),所以所以n=18,n-m+1=3,n=18,n-m+1=3,所以所以n=18,m=16.n=18,m=16.答案答案:18181616mnAmnA6.6.计算计算 的值的值.(.(仿照教材仿照教材P17“P17“例如例如”的解析过的解析过程程)【解析解析】=7 =76 65 54 43 32=5040,2=5040,=6 =65 54 43 32=720,=52=720,=54 43 32=120.
7、2=120.所以所以 657645AAA67A56A657645AA5 040 72036.A12045A类型一排列数的计算与证明类型一排列数的计算与证明【典例典例1 1】(1)(1)计算计算 nNnN*,且且n30,n30,求求(30-n)(31-n)(30-n)(31-n)(43-n)(44-n)(43-n)(44-n)的值的值.(2)(2)证明证明:458885894A2A;AAn 1nnn 1n 1nAAn 1 A.【解题指南解题指南】(1)(1)利用排列数公式进行计算利用排列数公式进行计算.(2)(2)用排列数的乘积式或阶乘式展开用排列数的乘积式或阶乘式展开,化简化简.【解析解析】(
8、1)(1)原式原式=nNnN*,且且n30,n30,那么那么(30-n)(31-n)(30-n)(31-n)(43-n)(44-n)(43-n)(44-n)=4 8 7 6 5 2 8 7 6 5 48!9 8 7 6 5 8 7 6 54 8124.8 7 6 54!924 95 1544 nA.(2)(2)因为因为 =(n+1)=(n+1)n n(n-1)(n-1)3 32 21,1,=(n+1)=(n+1)n n(n-1)(n-1)3 32,2,(n+1)=(n+1)(n+1)=(n+1)n!=(n+1)n!=(n+1)n n(n-1)(n-1)3 32 2 1.1.所以原等式成立所以原
9、等式成立.n 1n 1Ann 1AnnA【方法总结方法总结】排列数的化简与证明技巧排列数的化简与证明技巧(1)(1)应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明和证明,化简的过程中要对排列数进行变形化简的过程中要对排列数进行变形,并要熟悉并要熟悉排列数之间的内在联系排列数之间的内在联系.解题中要灵活地运用如下变式解题中要灵活地运用如下变式:n!=nn!=n(n-1)!;(n-1)!;n nn n!=(n+1)!-n!;!=(n+1)!-n!;(2)(2)充分利用排列的定义构造有关排列的模型进行证明充分利用排列的定义构造有关排列的模型进行证明.m
10、m 1nn 1AnA；n 111.n!(n 1)!n!【巩固训练巩固训练】1.1.计算计算:【解析解析】35A.6!35A5 4 31.6!6 5 4 3 2 1 12 2.2.求证求证:(1):(1)(2)(2)123n 111.234n!n!！kk 1knnn 1AkAA.【证明证明】(1)(1)因为因为 n 111n!(n 1)!n!，123n 1234n!1111111111.1!2!2!3!3!4!(n 1)!n!n!所以！kkk 1kn 1nnn 1n!n!2k(n k)!(n k 1)!n 1 n!n 1!n!(n k 1)k(n k 1)!(n k 1)!(n k 1)!n 1
11、!A.AkAA.(n k 1)!左边 右边所以【补偿训练补偿训练】1.(1)1.(1)计算计算:=_.:=_.(2)(2)若若 =17=17161615155 54,4,则则n=_,n=_,m=_.m=_.5499651010AAAAmnA【解析解析】(1)(1)原式原式=答案答案:9 8 7 6 5 9 8 7 610 9 8 7 6 5 10 9 8 7 6 9 8 7 65 13.10 9 8 7 65 120 320(2)(2)由由 故故n=17,m=14.n=17,m=14.答案答案:17171414mnn!17!A17 16 155 4n m!17 14!2.2.求证求证:mm 1
12、8767nn 187671 AnA.2 A8A7AA.【证明证明】(1)(1)左边左边=右右边边,得证得证.(2)(2)左边左边=8!-8=8!-87!+77!+76!=86!=87!-87!-87!+7!=7!7!+7!=7!=右边右边,得证得证.m 1n 1n n 1!n!nAn m!n 1m 1!77A类型二类型二:排列数公式在解方程与不等式中的应用排列数公式在解方程与不等式中的应用【典例典例2 2】解下列方程或不等式解下列方程或不等式.43xx 22x 1x881 A140A.2 A6A.【解题指南解题指南】解决本题的关键是利用排列数公式转化解决本题的关键是利用排列数公式转化为关于为关
13、于x x的方程的方程(或不等式或不等式)来解来解.特别注意特别注意 中中m,nm,nN N*,且且m mn n这些限制条件这些限制条件,及转化为方程及转化为方程(或不等式或不等式)中中未知数的取值范围未知数的取值范围.mnA【解析解析】(1)(1)因为因为 所以所以x3,xNx3,xN*,由由 得得,(2x+1)(2x+1)2x2x(2x-1)(2x-1)(2x-2)=140 x(2x-2)=140 x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)化简得化简得,4x,4x2 2-35x+69=0,-35x+69=0,解得解得x x1 1=3,=3,或或x x2 2=(=(舍舍),),所以方程的解为所
14、以方程的解为x=3.x=3.2x 1 4,x 3,x N*,432x 1xA140A234(2)(2)化简得化简得x x2 2-19x+840,-19x+840,所以所以7x12,7x12,又又 3x8,3x8,所以所以7x8,7x8,又又xNxN*,所以所以x=8.x=8.88!6(8 x)!(10 x)!！，8 x,x 2 1【延伸探究延伸探究】1.1.若典例中若典例中(1)(1)变成变成 求求x x的值的值.【解题指南解题指南】先求出先求出x x的范围的范围,然后将然后将 变为变为关于关于x x的一元二次不等式的一元二次不等式,求出求出x x的值的值.432x 1xA140A，432x
15、1xA140A【解析解析】因为因为 所以所以x3,xNx3,xN*,由排列数公式由排列数公式,原不等式可化为原不等式可化为,(2x+1)(2x+1)2x2x(2x-1)(2x-1)(2x-2)140 x(2x-2)140 x(x-1)(x-1)(x-2),(x-2),化简得化简得,4x,4x2 2-35x+690,-35x+690,解得解得3x ,3x ,因为因为xNxN*,所以所以x=4x=4或或x=5.x=5.2x 1 4,x 3,x N*，2342.2.典例典例(2)(2)中的中的“”“”变为变为“”“”,结果怎样结果怎样?【解析解析】故故x x2 2-19x+84=0,-19x+84=
16、0,解得解得x=7,x=7,或或x=12,x=12,由由 得得3x8,3x8,故故x=12x=12不合题意不合题意.因此方程的解为因此方程的解为x=7.x=7.xx 288A6Axx 288A6A88!6,8 x!10 x!！x 8,1 x 2 8,【规律总结规律总结】解排列数方程解排列数方程(或不等式或不等式)的步骤的步骤【补偿训练补偿训练】(2017(2017西安高二检测西安高二检测)解方程解方程.n 1n 289322nn 1n 1 3A4A.2 3A2A6A.【解析解析】(1)(1)由由 整理整理,得得 解得解得n=7n=7或或14.14.又又 所以所以n=7.n=7.n 1n 289
17、3A4A89!349 n!11 n！，（）！8 n 1n 9,n 9,9 n 2n 11 ，(2)(2)由排列数公式由排列数公式,得得3n3n(n-1)(n-1)(n-2)=2(n+1)(n-2)=2(n+1)n+6nn+6n(n-1),(n-1),即即3n3n2 2-17n+10=0,-17n+10=0,所以所以n=5n=5或或n=(n=(舍舍),),所以所以n=5.n=5.23【课堂小结课堂小结】1.1.知识总结知识总结2.2.方法总结方法总结两种形式公式的不同用法两种形式公式的不同用法(1)(1)公式公式 =n(n-1)(n-2)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)(n,mN(n-m+1)(n,mN*,mnmn)适适用于具体计算及解当用于具体计算及解当m m较小时含有排列数的方程和不等较小时含有排列数的方程和不等式式.mnA(2)(2)公式公式 适用于与排列数有关的证明、解方适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等程、解不等式等.在应用时在应用时,应注意先提取公因式再计应注意先提取公因式再计算算,同时要注意隐含条件同时要注意隐含条件(mnmn且且nNnN*,mNmN*)的应用的应用.mnn!A(n m)!
