1、最短路径问题将军饮马问题及延伸为什么有的人会经常践踏草地呢？为什么有的人会经常践踏草地呢？绿地里本没有路，走的人多绿地里本没有路，走的人多了了 禁止践禁止践踏踏两点之间，线段最短两点之间，线段最短 在公路l两侧有两村庄，现要在公路l旁修建一所候车亭P，要使候车亭到两村庄的距离之和最短，试确定候车亭P的位置。ABP 思考：本题运用了思考：本题运用了 .两点之间，线段最短两点之间，线段最短.l将军饮马问题：将军饮马问题：两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，
2、一位罗马将军专程去拜学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡将军每天骑马从城堡A A出发，到城堡出发，到城堡B B，途，途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？最短？这就是被称为这就是被称为 将军饮马将军饮马 而广为流传的问题。而广为流传的问题。如图：一位将军骑马从城堡如图：一位将军骑马从城堡A A到城堡到城堡B B，途中马要，途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？ABBABP作法：作法：（1 1
3、）作点）作点B B关于直线关于直线 MN 的对称点的对称点 B B（2 2）连结）连结BABA，交，交MNMN于点于点 P P；所以所以 点点P P就是所求的点就是所求的点MN BP BP+AP AP BPBP+APAP，即，即A AP P+B+BP P最小最小NABPBP 直线直线MNMN是点是点B B、B B的对称轴，点的对称轴，点P P、P P在对称轴上，在对称轴上，BPBP=BPBP，BPBP=BPBP 在在MNMN 上任取另一点上任取另一点P P，连结连结BPBP、BPBP、APAP 、BPBP 证明证明：在在ABABPP中，中，ABABA AP+BPP+BP，BP+AP=BP+AP
4、=BAM BP+AP=BP+AP变式变式1 1：已知：已知：P P、Q Q是是ABCABC的边的边ABAB、ACAC上的点，你能在上的点，你能在BCBC上确定一点上确定一点R R，使使PQRPQR的周长最短吗？的周长最短吗？草地草地河边河边.驻地驻地A如图：一位将军骑马从驻地如图：一位将军骑马从驻地A A出发，先牵马去草地出发，先牵马去草地 OM吃草，再牵马去河边吃草，再牵马去河边ONON喝水，喝水，最后回到驻地最后回到驻地A A问：这位将军怎样走路程最短？问：这位将军怎样走路程最短？OMN.AA.B.CA.MON如图如图:已知已知 内一点内一点A A MON求作求作:OM:OM上一点上一点B
5、,ONB,ON上上一点一点C,C,使使AB+BC+ACAB+BC+AC最最小小作法作法:(1)(1)作点作点A A关于关于OMOM、ON ON的对称点的对称点AA、AA(2)(2)连结连结AA和和AA，交，交OMOM于于B,B,交交ONON于于C,C,则点则点B B、C C为所求。为所求。变式变式1 1：已知已知P P是是ABCABC的边的边BCBC上的点，你能在上的点，你能在ABAB、ACAC上上分别确定一点分别确定一点Q Q和和R R，使，使PQRPQR的周长最短吗？的周长最短吗？如图，如图，A A为马厩，为马厩，B B为帐篷，将军某一天要从马为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某
6、一处牧马，再到河边饮厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。路线。两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部答案：如图答案：如图,A,A是马厩是马厩,B,B为帐篷为帐篷,牧马人某一天要从马厩牧马人某一天要从马厩牵出马牵出马,先到草地边某一处牧马先到草地边某一处牧马,再到河边饮马再到河边饮马,然后然后回到帐篷回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线请你帮他确定这一天的最短路线.ABABMNBAONM变式变式1 1：已知：已知：MONMON内两点内两点A A、B.B.求作：点求作：点C C和点和点D,D,使得点
7、使得点C C在在OMOM上，点上，点D D在在ONON上，且上，且AC+CD+BD+ABAC+CD+BD+AB最短。最短。ABCD变式变式2 2：如图，：如图，OMCNOMCN是矩形的台球桌面，有黑、是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于白两球分别位于B B、A A两点的位置上，试问怎样两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球撞击白球，使白球A A依次碰撞球台边依次碰撞球台边OMOM、ONON后，反弹击中黑球？后，反弹击中黑球？.,.AOMABONB作法:(1)作点 关于的对称点点 关于的对称点(2)ABOMCOND连结 和，交于，交于。则 点 C、D为 所 求。.AABBCDMON变式2：课堂
8、小结：课堂小结：今天我们学习了最短路径的相关问题，我们应今天我们学习了最短路径的相关问题，我们应该怎么样找到它们的最短路径呢？该怎么样找到它们的最短路径呢？1、确定对称轴，找出定点的对称点。2、连接对称点与另一点确定所求位置点（连接各对称点确定所求位置点）。本节课研究问题的基本过程是什么？本节课研究问题的基本过程是什么？把实际问题把实际问题变成变成数学问题或数学模型数学问题或数学模型推理推理 猜想猜想 证明证明得出结论得出结论应用到实际问题中应用到实际问题中课后拓展：课后拓展：在矩形在矩形ABCD中，在边和对角线中，在边和对角线AD、BD上有两个动点上有两个动点M、N,当当M、N运动到何处时，运动到何处时，BM+MN最短？最短？ABDCMN
