1、实验实验7 7 托里拆利实验托里拆利实验 液体在生活中无处不在，并且液体一般盛放在容液体在生活中无处不在，并且液体一般盛放在容器中，比如水。在近现代以前，一般用水桶来供水。器中，比如水。在近现代以前，一般用水桶来供水。这种供水方式，即便是到了现在，依然在使用。在用这种供水方式，即便是到了现在，依然在使用。在用水桶供水时，为了使用的方便，会在水桶的下方开一水桶供水时，为了使用的方便，会在水桶的下方开一个小孔，在小孔处安装阀门或者水龙头，使用时将水个小孔，在小孔处安装阀门或者水龙头，使用时将水龙头打开即可。有时候，啤酒也装在类似的桶中。如龙头打开即可。有时候，啤酒也装在类似的桶中。如果打开水龙头，
2、桶中的液体多长时间会流干净？今天，果打开水龙头，桶中的液体多长时间会流干净？今天，我们一起通过下面的实验来研究一下。我们一起通过下面的实验来研究一下。1一、实验目的一、实验目的1 1、了解伯努利方程；、了解伯努利方程；2 2、了解托里拆利定理；、了解托里拆利定理；3 3、研究液面高度随时、研究液面高度随时 间的变化。间的变化。二、实验材料（建议）二、实验材料（建议）圆柱形塑料桶，小刀，圆柱形塑料桶，小刀，水，米尺，笔芯之类。水，米尺，笔芯之类。2三、实验原理三、实验原理1.伯努利方程伯努利方程 理想流体在细管中稳定流动，忽略流体的粘滞性。理想流体在细管中稳定流动，忽略流体的粘滞性。设流体密度为
3、设流体密度为，重力加速度为，重力加速度为g，以管中一段位于，以管中一段位于A、B之间的流体为分析对象（如图之间的流体为分析对象（如图1所示）。所示）。A处：流速为处：流速为vA，压强为，压强为pA，沿着流速方向流体的截，沿着流速方向流体的截面积为面积为SA，相对于某水平面的高度为，相对于某水平面的高度为hA。B处：流速为处：流速为vB，压强为，压强为pB，沿着流速方向流体的截面，沿着流速方向流体的截面积为积为SB，相对于某水平面的高度为，相对于某水平面的高度为hB。3 对于不可压缩的流体对于不可压缩的流体 上式称为理想流体的连上式称为理想流体的连续性方程续性方程.此外，根据流体力学此外，根据流
4、体力学的知识，借助能量守恒和功的知识，借助能量守恒和功能原理，可以得到如下的伯能原理，可以得到如下的伯努利方程：努利方程：图1。42.托里拆利定理托里拆利定理 如图如图2所示，圆柱形所示，圆柱形的液体桶内径为的液体桶内径为D。桶壁。桶壁开有一个圆孔，孔内径为开有一个圆孔，孔内径为d。上述圆桶放置在某水。上述圆桶放置在某水平面平面S上，桶中盛满液体上，桶中盛满液体（如水），液体密度为（如水），液体密度为。图2 某时刻某时刻t，桶内液体上表面对应的流速为，桶内液体上表面对应的流速为v0，压强，压强为为pA，沿着流速方向液体的截面积为，沿着流速方向液体的截面积为SA，相对于水平，相对于水平面面S的高
5、度为的高度为hA。5 同一时刻（即同一时刻（即t时刻），小孔处流速为时刻），小孔处流速为v，压强为，压强为pB，沿着流速方向液体的截面积为，沿着流速方向液体的截面积为SB，相对于某水平，相对于某水平面的高度为面的高度为hB。由伯努利方程得：。由伯努利方程得：桶内液体上表面和小孔处的液体均和外界大气接桶内液体上表面和小孔处的液体均和外界大气接触，压强相等（都等于大气压），所以触，压强相等（都等于大气压），所以pA=pB。此外，。此外，容器内液体上方的截面积容器内液体上方的截面积SA远大于小孔处的截面积远大于小孔处的截面积SB，据连续性方程据连续性方程(1)，vSB=v0 SA，所以，所以vv0。
6、因此，忽略。因此，忽略(3)式中的式中的 v02/2，同时令，同时令 ，得：，得：。6 由上式可得，小孔上方的液体上表面的高度由上式可得，小孔上方的液体上表面的高度h与小与小孔处液体流速之间的关系：孔处液体流速之间的关系：以上即托里拆利定理。根据上述定理，小孔处液以上即托里拆利定理。根据上述定理，小孔处液体的流速和物体从相对小孔高为体的流速和物体从相对小孔高为h的位置自由下落到小的位置自由下落到小孔处的速率相同。孔处的速率相同。3.小孔上方液面高度和时间的关系小孔上方液面高度和时间的关系 对于图对于图2中盛有液体的桶，设桶内截面的直径为中盛有液体的桶，设桶内截面的直径为D。7t时刻从桶中流出液
7、体量应等于通过小孔的流量。设小时刻从桶中流出液体量应等于通过小孔的流量。设小孔直径为孔直径为d，则有：，则有：t时刻，小孔上方桶内液体上表面到小孔中心的距时刻，小孔上方桶内液体上表面到小孔中心的距离为离为h，此时小孔上方桶内液体的体积为，此时小孔上方桶内液体的体积为因此：因此：联立三式，可得：联立三式，可得：。8 变形可得：变形可得：设设t=0时刻，液面相对于小孔的高度为时刻，液面相对于小孔的高度为H，则有：，则有：积分可得：积分可得：上述关系也可以改写为：上述关系也可以改写为：上述关系给出了液面相对于小孔中心高度上述关系给出了液面相对于小孔中心高度h和时间和时间t之间的关系，其中之间的关系，
8、其中 。9四、实验内容四、实验内容（含实验步骤、数据记录表、数据处理要求等）（含实验步骤、数据记录表、数据处理要求等）1.测量圆柱形桶和细管直径测量圆柱形桶和细管直径 准备圆柱形的桶和圆柱形的细管准备圆柱形的桶和圆柱形的细管(干净的笔芯或者干净的笔芯或者用其他圆柱形的细管用其他圆柱形的细管)。测量桶和细管的内直径。测量桶和细管的内直径(内圆柱内圆柱面的直径面的直径)，分别填入表，分别填入表1和表和表2中中(至少测量至少测量3次次)。表表1 1：容器（桶）内径：容器（桶）内径表表2 2：细管细管（小孔）内径（小孔）内径 注意：细管的内径要显著小于桶的内径。注意：细管的内径要显著小于桶的内径。10
9、2.桶壁开孔，设置液面计时标记桶壁开孔，设置液面计时标记 在桶壁上开一个小孔，插入上面准备好的细管在桶壁上开一个小孔，插入上面准备好的细管(细细管的轴线尽量和桶的轴线垂直，或者说，注入液体后，管的轴线尽量和桶的轴线垂直，或者说，注入液体后，细管的轴线尽量与液体上表面平行细管的轴线尽量与液体上表面平行)。插入后，将细管。插入后，将细管外部与桶壁小孔边缘之间的缝隙用不透水的材料封好。外部与桶壁小孔边缘之间的缝隙用不透水的材料封好。在小孔上方桶壁上，设置六个用来表示液面高度在小孔上方桶壁上，设置六个用来表示液面高度的标记，分别记为的标记，分别记为M0、M1、M2、M3、M4和和M5。测量。测量标记标
10、记Mi到到小孔中心的距离记为到到小孔中心的距离记为Hi，并填入表，并填入表3中（至中（至少测量少测量3次）。次）。11表表3 3：液面标记：液面标记M Mk k相对小孔中心的高度相对小孔中心的高度注意：注意：Hi随着随着i的变大而变小（的变大而变小（i=0,1,2,3,4,5）。）。123.测液体上方液面相对于小孔中心高度测液体上方液面相对于小孔中心高度H所对所对应的时间应的时间 将小孔封住。把桶放置在水平面上，在桶中将小孔封住。把桶放置在水平面上，在桶中注入水，液面高度高于最高的标记注入水，液面高度高于最高的标记M1。待液面。待液面平静后，打开小孔，让水通过小孔流出。平静后，打开小孔，让水通
11、过小孔流出。当液体上方液面相对于小孔中心的高度为当液体上方液面相对于小孔中心的高度为H0时开始计时（时开始计时（t0=0），并记录液面高度分别为），并记录液面高度分别为Hi时对应的时刻时对应的时刻ti（i=1,2,3,4,5），并填入表），并填入表4中中（至少重复（至少重复3次）。次）。13表表4 4：液体上表面相对于小孔中心高度随时间的变化：液体上表面相对于小孔中心高度随时间的变化。144.研究液体上方液面相对于小孔中心高度研究液体上方液面相对于小孔中心高度H随时间随时间的变化的变化 根据表根据表3和表和表4求出求出 和和 （i=0,1,2,3,4,5），绘），绘制制 和和 的实验曲线，并根
12、据最小二乘法求出实验的实验曲线，并根据最小二乘法求出实验曲线的斜率曲线的斜率k。求出斜率求出斜率k的理论值的理论值k0，计算，计算k实验值相对于实验值相对于k理理论值论值k0的相对误差。的相对误差。15五、预习题五、预习题1.假设圆柱形桶内直径为假设圆柱形桶内直径为10cm，小孔内直径为，小孔内直径为2mm，桶，桶内液体液面初始时刻相对于小孔中心的高度为内液体液面初始时刻相对于小孔中心的高度为20cm。通过。通过底部的小孔，将小孔上方的液体排净，需要多长时间？底部的小孔，将小孔上方的液体排净，需要多长时间？2.如果是方形的桶（长方体状），打开小孔，液体上表面如果是方形的桶（长方体状），打开小孔，液体上表面的高度和什么有关？能给出定量的表达式吗？的高度和什么有关？能给出定量的表达式吗？六、思考题六、思考题1.为什么装满水的塑料瓶下方开孔，孔越小，水喷的越远？为什么装满水的塑料瓶下方开孔，孔越小，水喷的越远？2.为什么生活中，用来供水的水塔建的很高？为什么生活中，用来供水的水塔建的很高？。16烧热一把螺丝刀，用它在矿泉水瓶上扎个孔，趁热插进一截圆珠笔芯烧热一把螺丝刀，用它在矿泉水瓶上扎个孔，趁热插进一截圆珠笔芯。17效果不错，一点都不漏水。效果不错，一点都不漏水。实测数据实测数据。18用测得的数据绘图，由图中直线可得斜率用测得的数据绘图，由图中直线可得斜率k。19
