1、教学目的教学目的：1.矩的概念.2.协方差与相关系数 3切贝谢夫不等式 第十三讲 协方差与相关系数教学内容教学内容：第三章，3.6 3.7。一 矩若()kE X存在，称之为 X 的 k 阶原点矩。所以 E(X)是一阶原点矩，D(X)是二阶中心矩 若kEXXE)(存在，称之为 X 的 k 阶中心矩。设 X 为离散 r.v.分布为(),kkP Xxp1()kkiiiE Xx pX连续 r.v.，d.f.为)(xf()()kkE Xx f x dx定义定义二二 协方差和相关系数协方差和相关系数问题问题 对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布 对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,
2、相互之间可能还有某种联系问题是用一个怎样的数去反映这种联系.()()EXE XYE Y数反映了随机变量反映了随机变量 X,Y 之间的某种关系之间的某种关系 称()()E XE XY E Y为 X,Y 的协方差.记为 cov(,)()()X YE XE XYE Y称)(),cov(),cov()(YDYXYXXD为（X,Y）的协方差矩阵可以证明可以证明 协方差矩阵协方差矩阵 为为 半正定矩阵半正定矩阵协方差和相关系数的定义协方差和相关系数的定义定义定义若D(X)0,D(Y)0,称)()(),cov()()()()(YDXDYXYDXDYEYXEXE为X,Y 的 相关系数，记为)()(),cov(
3、YDXDYXXY事实上，),cov(YXXY 若,0XY 称 X,Y 不相关.无量纲 的量 若若(X,Y)为离散型，为离散型，11cov(,)()()ijijijX YxE XyE Y p若若(X,Y)为连续型，为连续型，cov(,)()()(,)X Yx E Xy EY f x y dxdy 协方差和相关系数的计算协方差和相关系数的计算q)()()(),cov(YEXEXYEYX)()()(21YDXDYXD求 cov(X,Y),XY 1 0 p qX P 1 0 p qY P 例例1 1 已知 X,Y 的联合分布为XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 0,D(Y)0 时，当且仅当0
4、()()1P YE Yt XE X时,等式成立 Cauchy-Schwarz不等式证证 令2()()()g tEYE Yt XE X)(),cov(2)(2XDtYXtYD0)(tg对任何实数 t,0)()(4),(cov42YDXDYX即)()(|),cov(|2YDXDYX等号成立0)(tg有两个相等的实零点)()()(),cov(0XDYDXDYXt0)()(20XEXtYEYE0)(0tg即显然0)()(0XEXtYEYE 0)()(0XEXtYEYD1 0)()(0XEXtYEYP10)()(0XEXtYEYP即1)()(0XEXtYEYP即 Y 与 X 有线性关系的概率等于1,这种
5、线性关系为1)()()()(XDXEXYDYEYP完全类似地可以证明)()()(222YEXEXYE当E(X 2)0,E(Y 2)0 时,当且仅当1)(0XtYP时,等式成立.相关系数的性质q q 1|XY1|XYCauchy-Schwarz不等式的等号成立即Y 与X 有线性关系的概率等于1，这种线性关系为1XYP.)(/)(,)(/)(YDEYYYXDEXXX1XY0),cov(YX1XY0),cov(YX1XYP1XYP如例1中 X,Y 的联合分布为XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 0,不等式 成立，或2(),()E XD X方差22/|XP22/1|XP返回主目录|22)(|
6、xdxxfx|)(|xdxxfXP这个不等式给出了随机变量 X 的分布未知情况下，事件|X的概率的一种估计方法。例如：在上面不等式中，取4,3，有：8889.03|XP9375.04|XP返回主目录1600,(600,).6XXB解：表示粒种子中的良种数 则 X1X-100 P0.02 P0.026006600由切比晓夫不等式有4213.01446561600112112100-XP2DX例4假设一批种子的良种率为 ，从中任意选出600粒，试用切比晓夫（Chebyshev）不等式估计：这600粒种子中良种所占比例与 之差的绝对值不超过0.02的概率。6161115 E(X)600,D(X)60
7、0.666性质 4 的逆命题不成立，即若E(X Y)=E(X)E(Y)，X,Y 不一定独立反例反例 1 1X Y pij-1 0 1-1 0 181818181818181810p j838382pi838382附录1X Y P-1 0 1828284;0)()(YEXE;0)(XYE)()()(YEXEXYE但81)1,1(YXP283)1()1(YPXP反例反例2 21),(),(),(22yxyxDDUYX其它,0,1,1),(22yxyxf其它,0,11,12)(2xxxfX其它,0,11,12)(2yyyfY)()(),(yfxfyxfYX但;012)(112xxXE;01)(122dxdyxyXYEyxcov(,)()()()0X YE XYE X EY几个重要的 r.v.函数的数学期望)(kXE X 的 k 阶原点矩)|(|kXE X 的 k 阶绝对原点矩)(kXEXE X 的 k 阶中心矩)()(2XDXEXE X 的 方差附录2)(lkYXE X,Y 的 k+l 阶混合原点矩lkYEYXEXE)()(X,Y 的 k+l 阶混合中心矩)(XYE X,Y 的 二阶原点矩)()(YEYXEXE X,Y 的二阶混合中心矩 X,Y 的协方差XYYDXDYEYXEXE)()()()(X,Y 的相关系数作业 P.117 习题三 23 24 25 26
