1、3.求二次函数的表达式1.1.使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的表达式标求二次函数的表达式.2 2使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的表达式求出函数的表达式.3 3让学生体验二次函数的函数表达式的应用，提高学让学生体验二次函数的函数表达式的应用，提高学生应用数学的意识生应用数学的意识.二次函数是初中代数的重要内容之一，也是历年中二次函数是初中代数的重要内容之一，也是历年中考的重点考的重点.这部分知识命题形式比较灵活，既有填空题、这部分知识命题形式比较灵活，既有填空题
2、、选择题，又有解答题，而且常与方程、几何、三角函数选择题，又有解答题，而且常与方程、几何、三角函数等综合在一起，出现在压轴题之中等综合在一起，出现在压轴题之中.因此，熟练掌握二因此，熟练掌握二次函数的相关知识，会灵活运用一般式、顶点式、交点次函数的相关知识，会灵活运用一般式、顶点式、交点式求二次函数的表达式是解决综合应用题的基础和关键式求二次函数的表达式是解决综合应用题的基础和关键.一、二次函数常用的几种表达式的确定一、二次函数常用的几种表达式的确定已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式.已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式已知抛物线上顶点
3、坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式.已知抛物线与已知抛物线与x x轴的交点坐标，通常选择交点式轴的交点坐标，通常选择交点式.1.1.一般式一般式2.2.顶点式顶点式3.3.交点式交点式4.4.平移式平移式 将抛物线平移，函数表达式中发生变化的只有顶点坐将抛物线平移，函数表达式中发生变化的只有顶点坐标，可将原函数用顶点式表示，再根据标，可将原函数用顶点式表示，再根据“左加右减，上加左加右减，上加下减下减”的法则，即可得出所求新函数的表达式的法则，即可得出所求新函数的表达式.2yaxbxc12ya(x-x)(x-x)2ya(x-h)k2ya(x-h)k转化思想转化思想 解方程或方程组解方程或方程
4、组二、求二次函数表达式的思想方法二、求二次函数表达式的思想方法1.1.求二次函数表达式的常用方法：求二次函数表达式的常用方法：2.2.求二次函数表达式的常用思想：求二次函数表达式的常用思想：3.3.二次函数表达式的最终形式：二次函数表达式的最终形式：待定系数法、配方法、数形结合法等待定系数法、配方法、数形结合法等.无论采用哪一种表达式求解，最后结果都化为一般式无论采用哪一种表达式求解，最后结果都化为一般式.例例1.1.已知二次函数已知二次函数 的图象如图所示的图象如图所示,求其表达式求其表达式.2yaxbxc【例题例题】解法一：解法一：一般式一般式顶点顶点C C（1 1，4 4），），对称轴对
5、称轴 x=1.x=1.A(-1,0)A(-1,0)关于关于 x=1x=1对称，对称，BB（3 3，0 0）.A(-1,0)A(-1,0)，B B（3 3，0 0）和）和C C（1 1，4 4）在抛物线上，）在抛物线上，即：即：322xxy设表达式为设表达式为2yaxbxca-bc09a3bc0abc4a-1b2c3解法二：解法二：顶点式顶点式顶点顶点C C（1 1，4 4）又又A(-1,0)A(-1,0)在抛物线上，在抛物线上，a=-1 a=-1 h=1,k=4.h=1,k=4.设表达式为设表达式为2ya(x-h)k2ya(x-1)420a(-1-1)42y-(x-1)4即：即：2y-x2x3
6、解法三：解法三：交点式交点式抛物线与抛物线与x x 轴的两个交点的坐标轴的两个交点的坐标为为A(-1,0)A(-1,0)，B B（3 3，0 0）y=a(x+1)(x-3)y=a(x+1)(x-3)又又C C（1 1，4 4）在抛物线上）在抛物线上4=a(1+1)(1-3)4=a(1+1)(1-3)a=-1a=-1y=-(x+1)(x-3)y=-(x+1)(x-3)设表达式为设表达式为12ya(x-x)(x-x)12x-1,x3 即：即：2y-x2x3 本题可采用一般式、顶点式和交点式求解，通过本题可采用一般式、顶点式和交点式求解，通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用一般式求解简对比可发现用
7、顶点式和交点式求解比用一般式求解简便便.同时也培养学生一题多思、一题多解的能力，从不同时也培养学生一题多思、一题多解的能力，从不同角度进行思维开放、解题方法开放的培养同角度进行思维开放、解题方法开放的培养.注重解题注重解题技巧的养成训练，可事半功倍技巧的养成训练，可事半功倍.评析：评析：【归纳升华归纳升华】例例2.2.已知：如图是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度已知：如图是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OBOB是是1212米，当水位是米，当水位是2 2米时，测得水面宽度米时，测得水面宽度ACAC是是8 8米米.（1 1）求拱桥所在抛物线的表达式）求拱桥所在抛物线的表达式.（2 2）当水位是）
8、当水位是2.52.5米时，高米时，高1.41.4米的船能否通过拱桥？请米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度说明理由（不考虑船的宽度.船的高度指船在水面上的高船的高度指船在水面上的高度）度）.【例题例题】E EF解：解：（1 1）由图可知：四边形）由图可知：四边形ACBOACBO是等腰梯形是等腰梯形过过A,CA,C作作OBOB的垂线的垂线AE,CFAE,CF，垂足分别为，垂足分别为E,FE,F点点.OE=BF=OE=BF=（12-812-8）2=2.2=2.OO（0 0，0 0），），B B（-12-12，0 0），），A A（-2-2，2 2）.又又点点A A（-2-2，2 2）在图
9、象上，）在图象上，设表达式为设表达式为12ya(x-x)(x-x)a=-0.1a=-0.12a(-2-0)(-2 12)y-0.1x(x12)即：即：2y-0.1x-1.2xya(x-0)(x12)PQ(2)(2)分析：分析：船能否通过，只要看船在拱桥正中间时，船及船能否通过，只要看船在拱桥正中间时，船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标.y=y=水位水位+船高船高=2.5+1.4=3.9=2.5+1.4=3.93.63.6当水位为当水位为2.52.5米时，米时，船不能通过拱桥船不能通过拱桥.顶点（顶点（-6-6，3.63.6）,PQPQ是对称轴是对称轴.2y
10、-0.1x-1.2x2y-0.1(x6)3.6例例3.3.将抛物线将抛物线 向左平移向左平移4 4个单位，再向下个单位，再向下平移平移3 3个单位，求平移后所得抛物线的表达式个单位，求平移后所得抛物线的表达式.2yx2x6解：解：将二次函数的表达式将二次函数的表达式 2yx2x6转化为顶点式得：转化为顶点式得：2y(x1)5（左加右减）（左加右减）2y(x14)5(2)(2)再将再将 向下平移向下平移3 3个单位得：个单位得：2y(x14)5（上加下减）（上加下减）2y(x14)(5-3)即：所求的表达式为即：所求的表达式为2yx10 x27.(1)(1)由由 向左平移向左平移4 4个单位得：
11、个单位得：2y(x 1)51.1.已知二次函数的图象过原点，当已知二次函数的图象过原点，当x=1x=1时，时，y y有最小值为有最小值为-1-1，求其表达式，求其表达式.解：解：设二次函数的表达式为设二次函数的表达式为y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k当当x=1x=1时，时，y y有最小值为有最小值为-1-1，顶点为（顶点为（1 1，-1-1）.又（又（0 0，0 0）在抛物线上，）在抛物线上，a=1 a=1 y=a(x-1)y=a(x-1)2 2-1-1 0=a(0-1)0=a(0-1)2 2-1-1 y=(x-1)y=(x-1)2 2-1-1即：即：y=xy=x2 2-2x-2
12、x【跟踪训练跟踪训练】2.2.已知二次函数与已知二次函数与x x 轴的交点坐标为（轴的交点坐标为（-1-1，0 0）,（1 1，0 0），点（），点（0 0，1 1）在图象上，求其表达式）在图象上，求其表达式.解：解：设所求的表达式为设所求的表达式为y=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)抛物线与抛物线与x x轴的交点坐标为（轴的交点坐标为（-1-1，0 0）、（）、（1 1，0 0）又又点（点（0 0，1 1）在图象上，）在图象上，a=-1 a=-1 x x1 1=-1,x=-1,x2 2=1=1 y=a(x+1)(y=a(x+1)(x-1)x-1)1=a(0+1)(0
13、-1)1=a(0+1)(0-1)即：即：y=-x y=-x2 2+1+1 y=-(x+1)(y=-(x+1)(x-1)x-1)3.3.如图：有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大如图：有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为高度为3.63.6米，跨度为米，跨度为7.27.2米米.一辆卡车高一辆卡车高3 3米，宽米，宽1.61.6米，米，它能否通过隧道？它能否通过隧道？即当即当x=OC=1.6x=OC=1.62=0.82=0.8米时，过米时，过C C点作点作CDABCDAB交抛物线于交抛物线于D D点，若点，若y=CD3y=CD3米，米，则卡车可以通过则卡车可以通过.分析：分析：卡车能否
14、通过，只要看卡车在隧卡车能否通过，只要看卡车在隧道正中间时，其车高道正中间时，其车高3 3米是否超过其位米是否超过其位置的拱高置的拱高.解：解：由图知：由图知：AB=7.2AB=7.2米，米，OP=3.6OP=3.6米，米，A A（-3.6-3.6，0 0），），B B（3.63.6，0 0），），P P（0 0，3.63.6）.又又P P（0 0，3.63.6）在图象上，）在图象上，卡车能通过这个隧道卡车能通过这个隧道.ya(x3.6)(x-3.6)设表达式为设表达式为y=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)3.6=a(0-3.6)(0+3.6)3.6=a(0-3.6)
15、(0+3.6)a=a=25518y(x3.6)(x-3.6)yx18185 当当x=OC=0.8x=OC=0.8时，时，2518y0.83.423185 5184.4.将二次函数将二次函数 的图象向右平移的图象向右平移1 1个单位，个单位，再向上平移再向上平移4 4个单位，求其表达式个单位，求其表达式.2y-2(x1)-3 解：解：二次函数表达式为二次函数表达式为2y-2(x1)-3（1 1）由）由 向右平移向右平移1 1个单位得：个单位得：2y-2(x1)-3（左加右减）（左加右减）2y-2(x1-1)-3（2 2）再把）再把 向上平移向上平移4 4个单位得：个单位得：2y-2(x 1-1)
16、-3（上加下减）（上加下减）2y-2(x1-1)-34即：所求的表达式为即：所求的表达式为2y-2x11.1.（乐山（乐山中考）设中考）设a a，b b是常数，且是常数，且b b0 0，抛物线，抛物线y=axy=ax2 2+bx+a+bx+a2 2-5a-6-5a-6为下图中四个图象之一，则为下图中四个图象之一，则a a的值为的值为（）yxOyxOyxO11yxO11【答案答案】D D A.6A.6或或-1 B.-6-1 B.-6或或1 C.6 D.-1 1 C.6 D.-1 2y=-x+bx+c中函数中函数y y与自变量与自变量x x之间的部分对应值如下表所示，点之间的部分对应值如下表所示，
17、点A(xA(x1 1，y y1 1)，B(xB(x2 2，y y2 2)在函数的图象上，当在函数的图象上，当0 x0 x1 111，2x2x2 233时，时，y y1 1与与y y2 2的大小关系正确的是（的大小关系正确的是（）A.yA.y1 1yy2 2 B.yB.y1 1y y2 2 C.yC.y1 1y y2 2 D.yD.y1 1yy2 22.2.（鄂尔多斯（鄂尔多斯中考）已知二次函数中考）已知二次函数【答案答案】C C 3.3.（自贡（自贡中考）中考）y=xy=x2 2+（1-a1-a）x+1x+1是关于是关于x x的二次函数，的二次函数，当当x x的取值范围是的取值范围是1x31x
18、3时，时，y y在在x=1x=1时取得最大值，则时取得最大值，则实数实数a a的取值范围是（的取值范围是（）.A.a=5A.a=5 B.a5 C.a B.a5 C.a3 3 D.a3 D.a3【答案答案】B B 4.4.（咸宁（咸宁中考）已知抛物线中考）已知抛物线 （a a0 0）过过A A（-2-2，0 0），），O O（0 0，0 0），），B B（-3-3，y y1 1），），C C（3 3，y y2 2）四点，则四点，则y y1 1与与y y2 2的大小关系是（的大小关系是（）A.yA.y1 1y y2 2 B.yB.y1 1=y=y2 2 C.yC.y1 1y y2 2 D.D.不能
19、确定不能确定2y=ax+bx+c【答案答案】A A5.5.（柳州（柳州中考）抛物线中考）抛物线y=-xy=-x2 2+bx+c+bx+c上部分点的上部分点的横坐标横坐标x x，纵坐标，纵坐标y y的对应值如下表：的对应值如下表：x x-2-2-1-10 01 12 2y y0 04 46 66 64 4从上表可知，下列说法正确的个数是从上表可知，下列说法正确的个数是（）抛物线与抛物线与x x轴的一个交点为（轴的一个交点为（-2-2，0 0）抛物线与抛物线与y y轴的交点为（轴的交点为（0 0，6 6）抛物线的对称轴是：抛物线的对称轴是：x=1 x=1 在对称轴左侧在对称轴左侧y y随随x x的
20、增大而增大的增大而增大A.1A.1个个 B.2B.2个个 C.3C.3个个 D.4D.4个个【答案答案】C C1.1.二次函数常用表达式二次函数常用表达式(1)(1)已知图象上三点坐标，通常选择一般式已知图象上三点坐标，通常选择一般式.(2)(2)已知图象的顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式已知图象的顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式.(3)(3)已知图象与已知图象与x x轴的两个交点的横坐标轴的两个交点的横坐标x x1 1、x x2 2，通常选择交，通常选择交点式点式.一般式一般式顶点式顶点式交点式交点式2.2.求二次函数表达式的一般方法：求二次函数表达式的一般方法：(4)(4)已知图象发生的平移变化（上下或左右平移），通常选已知图象发生的平移变化（上下或左右平移），通常选择平移式择平移式.平移式平移式
