1、簡單邏輯人=吃飯+睡覺+上班+玩，豬=吃飯+睡覺，代入上式得：人=豬+上班+玩，移項得：人-玩=豬+上班。結論:不懂玩的人=會上班的豬!綜上所得：男人為了讓女人不變成豬而掙錢！女人為了讓男人不變成豬而花錢！但是？男人加上女人以後呢？男人+女人=豬+掙錢+豬+花錢掙錢和花錢將互相抵銷，其結果為：男人+女人=兩頭豬.男人=吃飯+睡覺+掙錢，豬=吃飯+睡覺，代入上式得：男人=豬+掙錢，移項得：豬=男人-掙錢，所以：男人不掙錢等於豬。女人=吃飯+睡覺+花錢，豬=吃飯+睡覺，代入上式得：女人=豬+花錢，移項得：女人-花錢=豬。結論是：女人不花錢的都是豬。這次月考題目很難，所以我不會這次月考題目很簡單，所
2、以我會意思樣嗎?(假如)你很乖，爸爸買玩具給你(假如)你不乖，爸爸不買玩具給你意思樣嗎?白馬是馬不是馬就不是白馬馬是白馬不是白馬就不是馬若是白馬，則一定是馬6-2=4(真)6-2=3(偽)數學語句數學上所用到之語句，一種敘述或為真，或為偽。不能既為真又為偽。敘述（statement）真（true）假（false）(a)2是一個質數。(b)吃飽沒？(c)他長得瘦。(d)外星人來過台灣。命題敘述(a)是一個命題，因為它是真的。敘述(b)是一個問句，沒什麼固定的真假值，因此不是一個命題。在敘述(c)裡的”他”是一個變數，必須等到我們指明”他”是誰才可以知道這個敘述是真或假。(c)因此不是一個命題。敘
3、述(d)是一個命題，因為它一定是真的或假的；儘管我們現在還不確定。常用之連接詞且(and)或(or)若，則(ifthen)複合數學語句由兩個或兩個以上之敘述利用相關之連接詞所成之語句6-2=4 或 6-2=3簡單數學語句單一敘述數學語句6-2=4命題若p則q形式之複合敘述稱為命題，記為pq其中p稱為假設，q稱為結論。敘述有真有假如何判斷敘述之真假呢？真值表pqp and qTTTTFFFTFFFFpqp or qTTTTFTFTTFFFpqp qTTTTFFFTTFFTpqq pTTTFFTFFpqp q p qTTFFTTFFTTFTTFFFFTTTpqp q q pTTFFTFFTFTTF
4、FFTTpq與qp等價假如你很乖，那麼爸爸買玩具給你。爸爸不買玩具給你，所以你不乖。這次月考題目很難，所以我不會我會，所以表示月考題目不難。這句話是假的所有人不准說話自我指涉(自己談論自己)詭論並非有自我指涉者，一定會產生詭論這句子有七個字羅素詭論某犯人被判死刑即將執行，臨死前法官對犯人說：如果你所交待的遺言是實話則可免死，如果是謊話則非死不可！於是聰明的犯人便說：我將被處決。因此這位犯人便僥倖存活。這故事代表什麼數學意義？(解)：如果我將被處決。是實話，則依照法官的命令，犯人可以免死；如果我將被處決。是謊話，則表示犯人不會被處決。無論是以上那種情況，這犯人都不會死。證明方法 證 明 方 法
5、歸納法（ProofsbyInduction）直接證明 直接提出論證證明一個論述是真實的 找出反例證明一個論述是錯的 間接證明 證明一個論述的對換句是真實的 證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 邏輯上等價（LogicalEquivalence）證明在邏輯上等價 證明它形成蘊涵循環 證 明 方 法 歸納法（ProofsbyInduction）直接證明 直接提出論證證明一個論述是真實的 找出反例證明一個論述是錯的 間接證明 證明一個論述的對換句是真實的 證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 邏輯上等價（LogicalEquivalence）證明在邏輯上等價 證明它形成蘊涵循環 歸納法歸納法歸納法歸納法
6、 證明對於任何一個正整數n，2nn。顯然當n=1的時候P(1)成立，因為211。假設當n=k 時P(k)成立，即2kk。我們要證明當n=k+1時P(k+1)成立，即2(k+1)(k+1)。但是122222)()(1kkkkPkkPkkk歸納法 即，2k+1k+1。因此，得證。證 明 方 法 歸納法（ProofsbyInduction）直接證明 直接提出論證證明一個論述是真實的 找出反例證明一個論述是錯的 間接證明 證明一個論述的對換句是真實的 證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 邏輯上等價（LogicalEquivalence）證明在邏輯上等價 證明它形成蘊涵循環 直接證明 直接提出論證證明一
7、個論述是真實的證明如果一個整數可以被 6除盡，那它一定也可以被 3除盡。x=k6（根據除盡的定義）6=23（已知的事實）x=k(23)（以23取代6）x=(k2)3（根據除盡的定義）k2是一個整數（以之關於整數的事實）因此，x可以被3除盡（除盡的定義）證 明 方 法 歸納法（ProofsbyInduction）直接證明 直接提出論證證明一個論述是真實的 找出反例證明一個論述是錯的 間接證明 證明一個論述的對換句是真實的 證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 邏輯上等價（LogicalEquivalence）證明在邏輯上等價 證明它形成蘊涵循環 直接證明 找出反例證明一個論述是錯的 對所有的正整數
8、n，n2-n+41是一個質數這個命題是否正確？事實上，當n=41的時候，412-41+41=412，顯然不是一個質數。因此，這一個反例就足以證明上面的命題是錯的。證 明 方 法 歸納法（ProofsbyInduction）直接證明 直接提出論證證明一個論述是真實的 找出反例證明一個論述是錯的 間接證明 證明一個論述的對換句是真實的 證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 邏輯上等價（LogicalEquivalence）證明在邏輯上等價 證明它形成蘊涵循環 間接證明 證明一個論述的對換句是真實的 AB=BA 證明如果一個整數m 的平方是偶數，則整數m 必然是偶數。如果m 是奇數，則m=2k+1，其
9、中k是某一個整數。因此，。顯然地，m2是一個奇數。因此，得證。證 明 方 法 歸納法（ProofsbyInduction）直接證明 直接提出論證證明一個論述是真實的 找出反例證明一個論述是錯的 間接證明 證明一個論述的對換句是真實的 證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 邏輯上等價（LogicalEquivalence）證明在邏輯上等價 證明它形成蘊涵循環 間接證明 證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 反證法 證明是無理數 要用反證法來證明這個命題，我們先假設它是錯的，亦即我們假設是有理數。這意味著22nm2間接證明 其中m 跟n 為整數，而且n0。我們假設m 跟n 沒有公因數，否則我們可以先將
10、它們的最大公因數除去。將等式的兩邊都乘以n 並且取平方，我們得到2222)2(mnn間接證明 蘊涵的意思是m2是一個偶數。由上一個範例知道，如果m2 是偶數，則m 是偶數。因此，m 是一個偶數。令m=2r，則 結果又蘊涵n2是一個偶數。再由上一個範例知道，n 必然是一個偶數。22224)2(2rrmn222rn 間接證明 結果是，我們證明出m 跟n 有一個公因數2，這跟我們一開始所假設的m 跟n 沒有公因數剛好矛盾。因此，必然是無理數。2證 明 方 法 歸納法（ProofsbyInduction）直接證明 直接提出論證證明一個論述是真實的 找出反例證明一個論述是錯的 間接證明 證明一個論述的對
11、換句是真實的 證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 邏輯上等價（LogicalEquivalence）證明在邏輯上等價 證明它形成蘊涵循環 邏輯上等價 證明在邏輯上等價 證明如果m 是一個正整數，則以下兩個命題等價：(i)m 是偶數。(ii)m2 是偶數。邏輯上等價(i)(ii)如果m 是偶數，則m=2r，其中r 是一個正整數。因此，m2=(2r)2=4r2，是一個偶數。(ii)(i)前面的範例已經證明過證明如果m2 是偶數，則m 是偶數。因此，得證。證 明 方 法 歸納法（ProofsbyInduction）直接證明 直接提出論證證明一個論述是真實的 找出反例證明一個論述是錯的 間接證明 證明一個論述的對換句是真實的 證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 邏輯上等價（LogicalEquivalence）證明在邏輯上等價 證明它形成蘊涵循環 邏輯上等價 證明它形成蘊涵循環 假設我們要證明以下n 個命題在邏輯上等價，最有效率的辦法是證明它形成一個蘊涵循環：nAAA.,21121AAAAn
