1、第第7讲讲 一元二次方程及其一元二次方程及其 应用应用 考点考点1 一元二次方程的有关概念一元二次方程的有关概念 考点自主梳理与热身反馈 第第7 7讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 定义定义 含有含有_个未知数，并且未知数个未知数，并且未知数 的最高次数是的最高次数是_ 一元二次一元二次 方程方程 易错点易错点 方程必须是整式方程；方程必须是整式方程；化一般化一般 形式后未知数的最高次数是形式后未知数的最高次数是 2 一元二次一元二次 方程的一方程的一 般形式般形式 形如形如 ax2bxc0(a 0)的方程是一元二次的方程是一元二次 方程方程 一元二次一元二次 方程的解方程的解
2、能够使一元二次方程左右两边能够使一元二次方程左右两边_的未知的未知 数的值数的值 相等相等 一一 2 第第7 7讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 解析解析 把把 n 代入方程代入方程 x2mx2n0，可得，可得 n2mn2n0，将其变形，将其变形 可得可得 n(mn2)0，即，即 mn2. 2若若 n(n0)是关于是关于 x 的方程的方程 x2mx2n0 的根，则的根，则 mn 的值为的值为( ) A1 B2 C1 D2 D 12012 兰州兰州下列方程中是关于下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是的一元二次方程的是 ( ) Ax2 1 x2 0 Bax2bxc0 C(x1)(
3、x2)1 D3x22xy5y20 C 考点考点2 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 第第7 7讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 直接开直接开 平方法平方法 (xa)2b(b0) x_ 因式分因式分 解法解法 将方程通过分解因式，变形成整式积的形式，将方程通过分解因式，变形成整式积的形式， 然后根据几个因式的积为零，必有一个因式然后根据几个因式的积为零，必有一个因式 为零求解为零求解 配方法配方法 将含有未知数的代数式配成将含有未知数的代数式配成 _的形式，再用直接开平方法的形式，再用直接开平方法 求方程的解求方程的解 公式法公式法 对于方程对于方程 ax2bxc0(a0)，在
4、满足，在满足 b2 4ac0 时，解为时，解为 x_ b b24ac 2a ba (xa)2b 第第7 7讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 3.一元二次方程一元二次方程 x230 的根为的根为( ) Ax13 Bx 3 Cx1 3，x2 3 Dx13，x23 4用配方法解方程用配方法解方程 x24x10，经过配方，得到，经过配方，得到( ) A(x2)25 B(x2)25 C(x2)23 D(x2)23 解析解析 x24x10，x24x1，x24x414， (x2)23. C D 第第7 7讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 5一元二次方程一元二次方程(x1)(x1)
5、2(x1)的根是的根是_ 解析解析 原方程变形为原方程变形为(x1)(x1)2(x1)0， 即， 即(x1)(x 12)0， (x1)(x3)0，x11，x23. 所以方程的解为所以方程的解为 x13 11，x23 11. x11，x23 第第7 7讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 6(1)用配方法解方程：用配方法解方程：2x2x10； 解法一：这里解法一：这里 a1，b6，c2. b24ac(6)241(2)440， x6 44 2 ，即，即 x3 11. 所以方程的解为所以方程的解为 x13 11，x23 11. 解法二：配方，得解法二：配方，得(x3)211. 所以方程的解
6、为所以方程的解为 x13 11，x23 11. (2)用适当方法解方程：用适当方法解方程：x26x20. 两边都除以两边都除以 2，得，得 x21 2x 1 2 0. 移项，得移项，得 x21 2x 1 2.配方，得 配方，得 x1 4 2 9 16. x1 4 3 4或 或 x1 4 3 4. x11，x21 2. 考点考点3 一元二次方程根的判别式，根与系数的关系一元二次方程根的判别式，根与系数的关系 第第7 7讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 b24ac 0 一元二次方程一元二次方程_ b24ac 0 一元二次方程一元二次方程_ 一元二次方程一元二次方程 ax2bxc 0(
7、a0) 根的判别式根的判别式 b24ac 0 一元二次方程一元二次方程_ 一元二次方程一元二次方程 ax2bxc 0(a0) 根与系数的关系根与系数的关系 如果方程有根如果方程有根 x1，x2，则有，则有 x1x2 _，x1x2_ c a 有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根有两个相等的实数根 没有实数根没有实数根 b a 第第7 7讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 8若若 x1，x2是一元二次方程是一元二次方程 x25x60 的两个根，则的两个根，则 x1 x2的值是的值是( ) A1 B5 C5 D6 B 7.2012 包头包头一元二次方程一元二次方程
8、 x2x1 4 0 的根的情况是的根的情况是( ) A有两个不等的实数根有两个不等的实数根 B有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C无实数根无实数根 D无法确定无法确定 B 第第7 7讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 解析解析 因为方程因为方程kx22x10有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根，则则b2 4ac0，即即(2)24k(1)0，解得解得k1.又结合一元二次方又结合一元二次方 程可知程可知k0，所以所以k1且且k0，故选故选B. 9若关于若关于x的一元二次方程的一元二次方程kx22x10有两个不相等的有两个不相等的 实数根，则实数根，则k的取值范围是的取值范围是(
9、 ) Ak1 Bk1且且k0 Ck1 Dk1且且k0 B 第第7 7讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 解析解析 ， 是方程是方程 x24x30 的两个实数根，的两个实数根， 4，3. 又又( 3)(3)3()9， (3)(3)33496. 10已知已知 ， 是一元二次方程是一元二次方程 x24x30 的两实数根，则的两实数根，则 代数式代数式(3)(3)_ 6 第第7 7讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 考点考点4 一元二次方程的应用一元二次方程的应用 第第7 7讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 步步 骤骤 列一元二次方程解应用题， 与列一元列一元二次
10、方程解应用题， 与列一元 一次方程解应用题的步骤基本相同，一次方程解应用题的步骤基本相同， 包括：审、包括：审、设、列、解、验、答设、列、解、验、答 列一元二列一元二 次方程解次方程解 应用题应用题 关关 键键 关键是找出相等关系， 用含有未知数关键是找出相等关系， 用含有未知数 的代数式表示相等关系，列出方程的代数式表示相等关系，列出方程 第第7 7讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 11.某市某市2010年平均房价为每平方米年平均房价为每平方米4000元， 连续两年增长后，元， 连续两年增长后， 2012 年平均房价达到每平方米年平均房价达到每平方米 5500 元，设这两年平均
11、房价年平均元，设这两年平均房价年平均 增长率为增长率为 x，根据题意，下面所列方程正确的是，根据题意，下面所列方程正确的是( ) A5500(1x)24000 B5500(1x)24000 C4000(1x)25500 D4000(1x)25500 D 第第7 7讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 12某校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长为某校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长为 30 cm、宽为、宽为 20 cm 的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩 纸的面积恰好与原画面面积相等纸的面积恰好与原画面面积相等(如图如图
12、71)，求彩纸的宽度，求彩纸的宽度 图图 71 解：解：设彩纸的宽为设彩纸的宽为 x cm， 由题意得由题意得(302x)(202x)23020， 则则 x225x1500， 解得解得 x15，x230(不合题意，舍去不合题意，舍去) 答：彩纸的宽为答：彩纸的宽为 5 cm. 第第7 7讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 13.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件件，每件 盈利盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决 定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降
13、价定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1 元，商场平均每天可多售元，商场平均每天可多售出出4件，若商场平均每天盈利件，若商场平均每天盈利2100元，元， 每件衬衫应降价多少元？每件衬衫应降价多少元？ 解：解：设每件衬衫应降价设每件衬衫应降价x元元，可使商场每天盈利可使商场每天盈利2100元元 根据题意根据题意，得得(45x)(204x)2100， 解得解得x110，x230. 因尽快减少库存因尽快减少库存，故故x30. 答答：每件衬衫应降价每件衬衫应降价30元元. 考向互动探究与方法归纳 典型分析 第第7 7讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 例例 在今年的国庆节期
14、间，新世纪商场将某种商品的售价从在今年的国庆节期间，新世纪商场将某种商品的售价从 原来的每件原来的每件 40 元经两次调价后调至每件元经两次调价后调至每件 32.4 元元 (1)若该商场两次调价的降价率相若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率；同，求这个降价率； (2)经调查，该商品每降价经调查，该商品每降价 0.2 元，可多销售元，可多销售 10 件件若该商品若该商品 原来每月可销售原来每月可销售 500 件，那么两次调价后，每月可销售该商品多件，那么两次调价后，每月可销售该商品多 少件？少件？ 第第7 7讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 解析解析 (1)(1)等量关系为：
15、原有量等量关系为：原有量(1(1降低率降低率) ) n n现有量， 现有量，n n 表示降低的次数表示降低的次数(2)(2)根据已知可以得到降价，然后根据每降价根据已知可以得到降价，然后根据每降价 0.20.2元，可多销售元，可多销售1010件进行分析计算件进行分析计算 第第7 7讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 解：解：(1)设降价率为 x，根据题意，得 40(1x)232.4， 解得 x11.9(不合题意，舍去)，x20.110%. 答：降价率为 10%. (2)两次调价后，可多销售 4032.4 0.2 10380， 所以两次调价后， 每月可销售该商品为 500380880
16、(件) 第第7 7讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 方法归纳方法归纳 本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是 正确列出一元二次方程正确列出一元二次方程原来的数量为原来的数量为 a，平均每次增长或降低，平均每次增长或降低 的百分率为的百分率为 x，经过第一次调整，就调整到，经过第一次调整，就调整到 a(1 x)，再经过第，再经过第 二次调整就是二次调整就是 a(1 x)(1 x)a(1 x)2.增长用增长用“”，下降用，下降用 “”利用平均变化率的数学模型列方程解决问题时，应根据利用平均变化率的数学模型列方程解决问题时，应根据 实际情况实际
17、情况，注意解的取舍，注意解的取舍 第第7 7讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 云南省是我国花卉产业大省， 一年四季都有大量鲜云南省是我国花卉产业大省， 一年四季都有大量鲜 花销往全国各地， 花卉产业已成为我省许多地区经济发展的重要花销往全国各地， 花卉产业已成为我省许多地区经济发展的重要 项目项目近年来某乡的花卉产值不断增加，近年来某乡的花卉产值不断增加，2010 年花卉的产值是年花卉的产值是 640 万元，万元，2012 年产值达到年产值达到 1000 万元万元 (1)求求 2011 年、年、2012 年花卉产值的年平均增长率是多少？年花卉产值的年平均增长率是多少？ (2)若若
18、2013年花卉产值继续稳步增长年花卉产值继续稳步增长(即年增长率与前两年的即年增长率与前两年的 年增长率相同年增长率相同)，那么请你估计，那么请你估计 2013 年这个乡的花卉产值将达到年这个乡的花卉产值将达到 多少万元？多少万元？ 第第7 7讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 解：解：(1)设设 2011 年、年、2012 年花卉产值的年平均增长率为年花卉产值的年平均增长率为 x， 依题意得依题意得 640(1x)21000， 解得解得 x11 4， ，x29 4(不合题意，舍去 不合题意，舍去) 故故 2011 年、年、2012 年花卉产值的年平均增长率为年花卉产值的年平均增长率为 25%. (2)2013 年花卉产值继续稳步增长年花卉产值继续稳步增长(即年增长率与前两年即年增长率与前两年 的年增长率相同的年增长率相同)， 2013 年这个乡的花卉产值将达到年这个乡的花卉产值将达到 1000(125%) 1250(万元万元).
