1、第第3 3章章 空间力系的平衡空间力系的平衡 3.1 力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影 3.2 力对轴之矩力对轴之矩 3.3 空间力系的平衡空间力系的平衡 思考与练习思考与练习 图 3.1 CDB454545AGO(a)A0.8 mG1CG20.6 m 0.6 mB0.2 m2 m160200160BFr1Ft1AFr2Ft2r2r1(b)(c)FCFBNANCNBFAzFAxFBxFB23.1 力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影 3.1.1 直接投影法直接投影法 力在空间直角坐标轴上的投影定义与在平面力系中的定义相同。若已知力与轴的夹角，就可以直接求出力
2、在轴上的投影，这种求解方法称为直接投影法。设空间直角坐标系的三个坐标轴如图3.2所示，已知力F与三轴间的夹角分别为、，则力在轴上的投影为 Fx=F cosFy=F cosFz=F cos 图 3.2 FDzFzEBFxxFyyCFAGO 力在轴上的投影为代数量，其正负号规定：从力的起点到终点若投影后的趋向与坐标轴正向相同，力的投影为正；反之为负。而力沿坐标轴分解所得的分量则为矢量。虽然两者大小相同，但性质不同。3.1.2 二次投影法二次投影法 当力与坐标轴的夹角没有全部给出时，可采用二次投影法，即先将力投影到某一坐标平面上得到一个矢量，然后再将这个过渡矢量进一步投影到所选的坐标轴上。如图3.3
3、中，已知力F的值和F与z轴的夹角，以及力F在xy平面上的投影Fxy与x轴的夹角，则F在x、y、z三轴上的投影可列写为 sinsinsincossincossincosFFFFFFFFFFFxyyxyxxyz（3.2）图 3.3 DzFzOFxBxFxyFyCyAF 若已知投影Fx、Fy、Fz，则合力F的大小、方向可由下式求得 FFFFFFFFFFFFFFFxyxzyxzyxzxycoscoscos)(22222222其中,、分别为力F与x、y、z轴间所夹之锐角。（3.3）3.1.3 合力投影定理合力投影定理 设在某物体上A点，作用一空间汇交力系F1、F2、Fn，与平面汇交力系合成相似，运用平行
4、四边形法则，可将其逐步合成为一作用于汇交点的合力FR，故有FR=F1+F2+Fn=Fi(3.4）将上式向x、y、z三坐标轴上投影，即得FRx=FxFRy=Fy FRz=Fz （3.5）式（3.5）又称合力投影定理，它表明合力在某一轴上的投影等于各分力在同轴上投影的代数和。【例3.1】如图3.4所示为一圆柱斜齿轮，传动时受到啮合力F的作用，若已知F=7 kN，=20、=15，求F沿坐标轴的投影。图 3.4 CyOxzAFyFxyFFzBFxFxFxyAFy解解 从以力F为对角线的正六面体可得：径向力 Fz=-F sin=-2.39 kN 轴向力 Fx=Fxysin=F cossin=1.70 k
5、N 切向力 Fy=Fxycos=F coscos=6.35kN 3.2 力力 对对 轴轴 之之 矩矩 3.2.1 力对轴之矩的计算力对轴之矩的计算 在工程实际中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为了度量力使物体绕定轴转动的效果，我们引入力对轴之矩的概念。如图3.5所示，可把推门的力F分解为平行于z轴的分力Fz和垂直于z轴的平面内的分力Fxy。由经验可知，分力Fz不能使静止的门转动，力Fz对z轴的矩为零，只有分力Fxy才能使静止的门绕z轴转动。现用符号Mz（F）表示力F对z轴之矩。点O为Fxy所在平面与z轴的交点，d为点O到Fxy作用线的距离，即 Mz(F)=Mz(Fxy)=MO(Fxy)=Fxy
6、d（3.6）上式表明：空间力对轴之矩等于此力在垂直于该轴平面上的分力对该轴与此平面交点之矩。图 3.5 zOdFFxyAFz 力对轴之矩的单位是Nm，它是一个代数量，正负号可用右手螺旋法则来判定：如图3.6所示，用右手握住转轴，四指与力矩转动方向一致，若拇指指向与转轴正向一致时力矩为正；反之，为负。也可从转轴正端看过去，逆时针转向的力矩为正，顺时针转向力矩为负。力对轴之矩等于零的情形：当力与轴相交时（d=0），当力与轴平行时（Fxy=0）。即当力与轴共面时，力对轴之矩为零。图 3.6 3.2.2 合力矩定理合力矩定理 设有一空间力系F、F2、Fn，其合力为FR，则合力对某轴之矩等于各分力对同轴
7、之矩的代数和，表达式为 Mx(FR)=x(F1)+Mx(F2)+Mx(Fn)=Mx(Fi)My(FR)=y(F1)+My(F2)+My(Fn)=My(Fi)Mz(FR)=z(F1)+Mz(F2)+Mz(Fn)=Mz(Fi)(3.7)式（3.7）称为合力矩定理，在平面力系中同样适用。【例3.2】如图3.7(a)所示，已知各力的值均等于100 N，六面体的规格为30cm30cm40 cm。求：(1）各力在x、y、z轴上的投影；(2）力F3对x、y、z轴之矩。图 3.7 z3040F3F230F1xOy(a)(b)F2F1F34030F3xy30yxOF3zzF3xF3y解解（1）计算投影。NFFN
8、FFNFFFNFFFFFNFFNFFFFzyxzyxzyx5.51343100sin5.5153345100coscos6.6854345100sincos:100,0,0:7.7025022100cos7.7025022100sin0:3333333222221111 (2）计算力对轴之矩。先将力F3在作用点处沿x、y、z方向分解，得到三个分量F3x、F3y、F3z（如图3.7(b)所示），它们的大小分别等于投影F3x、F3y、F3z的大小。根据合力矩定理，可求得力F3对指定的x、y、z三轴之矩如下：Mx(F3)=Mx(F3x)+Mx(F3y)+Mx(F3z)=0-F3y0.3+0=-15.
9、4NmMy(F3)=0Mz(F3)=Mz(F3x)+Mz(F3y)+Mz(F3z)=0+F3y0.4+0=20.6 Nm 3.3 空间力系的平衡空间力系的平衡 3.3.1 平衡条件及平衡方程平衡条件及平衡方程 与平面任意力系相同，空间任意力系向一点简化，可得一个空间汇交力系和一组空间力偶系，前者可合成为主矢，后者可合成为主矩。若主矢、主矩同时为零，则该空间任意力系必定平衡；反之，若空间任意力系平衡，则该主矢、主矩必同时为零。故空间任意力系平衡的充要条件是：主矢、主矩同时为零。由此可得空间任意力系的平衡方程:0)(0)(0)(0)(0000iziyixiOOzyxiRFMFMFMFMMFFFFF
10、(3.8)前三个方程称为投影方程，表示力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零，表明物体无任何方向的移动。后三个方程为力矩方程，表示力系中各力对三个坐标轴的力矩代数和分别为零，表明物体无绕任何轴的转动。空间任意力系有六个独立的平衡方程，所以空间任意力系的平衡问题最多可解六个未知量。表表3.1 平衡方程平衡方程 3.3.2 应用举例应用举例 表表3.2 常见的空间约束类型常见的空间约束类型 求解空间力系平衡问题的基本方法和步骤与平面力系相同，即 (1)选择研究对象，取出分离体，画分离体受力图。(2)建立空间直角坐标系，列平衡方程。(3)代入已知条件，求解未知量。其中，正确地选择研究对象，画
11、分离体受力图是解决问题的关键。【例例3.3】如图3.8(a)所示三轮推车中，已知：AH=HB=0.5m，CH=1.5m，EF=0.3 m，ED=0.5 m,载重G=1.5kN。试求地面对A、B、C三轮的压力。图 3.8 解解（1）取小车为研究对象，并画出其受力图，如图3.8(b)所示，重力G与三轮地面反力FNA、FNB、FNC构成空间平行力系。（2）选取坐标系Hxyz（点H为坐标原点）。（3）列平衡方程求解。Mx(Fi)=0 FNCCH-GED=0My(Fi)=0 GEF+FNBHB-FNAAH=0Fz=0 FNA+FNB+FNC-G=0解得：NA=0.95 kN,FNB=0.05 kN,FN
12、C=0.5kN 【例3.4】某传动轴如图3.9(a)所示。已知皮带拉力T=5kN,t=2 kN，带轮直径D=160mm，分度圆直径为d=100mm，压力角（齿轮啮合力与分度圆切线间夹角）=20，求齿轮圆周力Ft、径向力Fr和轴承的约束反力。解解 取传动轴为研究对象，画出受力图如图3.9（a）所示。由图可知，传动轴共受八个力作用，为空间任意力系。对于空间力系的解法有两种：一是直接应用空间力系的平衡方程求解，如例3.3；二是将空间力系转化为平面力系求解，即把空间的受力图投影到三个坐标平面，画出主视、俯视、侧视三个视图。分别列出它们的平衡方程，同样可解出所求的未知量。本法特别适用于解决轮轴类构件的空
13、间受力平衡问题。本题用两种方法分别求解。20020060zARAxxRAzFrFtRBxBDRBzyTtdzARAzFrBRBzyT tAFtBy(b)(a)(c)(d)FtzFrTtxRAx RBxRAz RBzxARAxRBx图 3.9 方法一方法一 如图3.9（a）所示，由式（3.8）可写出平衡方程。Fx=0 RAx+RBx+Ft=0 Fz=0 RAz+RBz-Fr-(t+T)=0 Mx(Fi)=0 -Fr200+RBz400-(t+T)460=0 0)(iyFM022)(dFDtTt0)(izFM0400200BxtRF解得：RAx=-2.4kN,RAz=-0.17kN,Ft=4.8
14、kNRBx=-2.4kN,RBz=8.92kN,Fr=1.747kN 方法二方法二（1）取传动轴为研究对象，并画出它的分离体在三个坐标平面投影的受力图。如图3.9（b）、(c)、(d)所示。（2）按平面力系平衡问题进行计算。对符合可解条件的先行求解，故先从xz面先行求解。对xz面：022)(0)(dFDtTFMtiA得 Ft=4.8 kN,Fr=Ft tan=1.747 kN 对其余两面求解。对yz面:MB(Fi)=0 -RAz400+Fr200-(t+T)60=0 得 RAz=-0.17 kN MA(Fi)=0-200Fr+400RBz-460(t+T)=0 得 RBz=8.92 kN对xy
15、面：由对称性得 kNFRRtBxAx4.22 比较这两种方法可以看出，后一种方法把空间力系问题转化为平面力系问题，较易掌握，尤其适用于轮轴类构件的平衡问题的求解。思思 考考 与与 练练 习习 3.1 已知力F与x轴的夹角为，与y轴夹角为，以及力F的大小，能否求出Fz？3.2 为什么力在轴上的投影是代数量，而在平面上的投影为矢量？3.3 在什么情况下力对轴之矩为零？力对轴之矩的正负如何判断？3.4 空间任意力系向一点简化的结果如何？3.5 把一个空间力系的问题转化为三个平面力系问题，那么，能不能由此求解九个未知量？3.6 在如练习3.6图所示的边长为a=10 cm、b=10cm、c=8cm的六面
16、体上，作用有力F1=3 kN、F2=3 kN、F3=5 kN,试计算各力在坐标轴上的投影。练习3.6图 xaOzF2F3bcyF1 3.7 力F作用于A点，空间位置如练习3.7图所示，求此力在x、y、z轴上的投影。练习3.7图 zxO4530FAy 3.8 圆柱斜齿轮传动时，轮齿受力如练习3.8图所示。试将轮齿所受法向力Fn分解为圆周力Ft、径向力Fr和轴向力Fa。已知Fn=1000 N、=20、=15。练习3.8图 zFnFatyFtOFaxFr 3.9 已知F1=30 N、F2=25N、F3=40N，其他尺寸如练习3.9图所示。试求此三力对x、y、z轴之矩。练习3.9图 z30 cmOyx
17、F1F2F310 cm20 cm 3.10 如练习3.10图所示，作用于手柄上的力F=100 N，求该力对各坐标轴之矩。练习3.10图 zO20 cmyx604510 cmF 3.11 如练习3.11图所示，在水平轮A点处作用一力F，力F在铅垂平面内并与过A点的切线成60角，OA与y轴的平行线成45夹角，F=1000 N，h=r=1m，试求Fx、Fy、Fz及Mz(F)值。练习3.11图 zBr4560AhCyFxO 3.12 如练习3.12图所示悬臂刚架上，有分别平行于AB、CD的力P、Q作用，已知P=5 kN，Q=4 kN。试求固定端O处的约束反力及约束力偶矩。练习3.12图 P6 m4 m
18、Q4 mCAOBD 3.13 简易起重机如练习3.13图所示。已知AD=BD=1m，CD=1.5 m，CM=1 m，ME=4 m，MS=0.5 m，机身重力为G1=100 kN，起吊物重为2=10kN，试求A、B、C三轮对地面的压力。练习3.13图 G1SCMADBG2E 3.14 如练习3.14图所示传动轴，带拉力T1，T2及齿轮径向压力Fr铅垂向下，已知T1/T2=2，Fr=1kN，压力角=20，R=500 mm，r=300 mm，a=500mm，试求切向力Ft及A、B轴承的约束反力。练习3.14图 CT2T1aaaARFrFtrDB 3.15 如练习3.15图所示传动轴上装有两个带轮，T1和t1铅垂向下，T2和t2平行并与水平面的夹角=30。已知T1=2t1=5000 N，T=2t2，r1=200 mm，r2=300 mm，试求平衡时带拉力T2和t2的大小以及两轴承的约束反力。练习3.15图 T2t2A5001000Dt1T1r2Cr1B500
