Z变换离散时间系统的Z域分析.ppt_163文库

资源描述

1、Z变换离散时间系统的Z域分析p引引言言pZ 变换及收敛域变换及收敛域Z变换的定义变换的定义Z变换的收敛域变换的收敛域Z变换的性质变换的性质常用常用Z变换变换pZ反变换反变换p离散时间系统的离散时间系统的Z域分析法域分析法系统函数的定义系统函数的定义系统函数到单位抽样序列系统函数到单位抽样序列系统函数与系统的性质系统函数与系统的性质系统函数与拉氏变换系统函数与拉氏变换p滤波器的设计滤波器的设计p系统函数系统函数8.1 引引言言问题：一些离散问题：一些离散函数（离散时间信号）的傅里叶变换不易得到，或不存在，无法用傅里叶分析法对离散系统作频域分析；傅里叶分析法一般只能求零状态响应，如何用频域分析

2、法求离散时间系统的全响应等？Z Z变换在离散时间变换在离散时间LTILTI系统分析中起着重要作用：系统分析中起着重要作用：许多不满足绝对可和的离散时间信号在进行傅氏变换是受到限制，而Z变换却存在；问题的解决问题的解决Z域分析（工具：域分析（工具：Z变换）变换）8.1 引引言言对差分方程作Z变换变成代数方程，此时，很容易求出系统的零状态响应和零输入响应；借助于系统的零极点分析可迅速地判断系统的因果稳定性，直观地表示出系统的z域特性。1.Z1.Z变换的定义变换的定义相位。模，rrezznxzXnxjnn,)(Z0)(nnznxzXnxZ8.2 Z变换及其收敛域变换及其收敛域nrnxnnjnnjn

3、nrenxernxrnxDTFT)(双边Z变换：单边Z变换：，xn的傅氏变换不存在,但的傅氏变换却可能存在，此时，nnx当)(jreXnnjznxzXrez)()(nnnrnxDTFTznxzXnxZ8.2 Z变换及其收敛域变换及其收敛域当当r=1r=1时，时，Z Z变换等于傅氏变换，即离散时间傅氏变换等于傅氏变换，即离散时间傅氏变换是复数变换是复数Z Z平面（纵轴为平面（纵轴为jImz,jImz,横轴为横轴为RezRez的的平面）中，半径为平面）中，半径为1 1的单位圆上的的单位圆上的Z Z变换。变换。jImReZ平面r注：因果信号因果信号xnxn，由于，由于n0naROC:|z|a （见后

6、z变换。变换。xnxn是一个从是一个从-1-1到到-的左边序列。的左边序列。解：解：1nuanxnnnnnnnnnnnzazaznuaznxzX)(1 1)(011例例8-3.8-3.求求X(z)X(z)的可能收敛域。的可能收敛域。解解,|z|1|1时即当满足aza451)(24zzzX若:ROC,2,2,1,1)2)(2)(1)(1(1)4)(1(1)(432122可能为极点zzzzzzzzzzzX8.2 Z变换及其收敛域变换及其收敛域1,|z:|ROC1左边信号：ReImj平面ZaazROC|1单位圆|ROC,1azaz为极点,z111)(1azzazX.2|z:|ROC3右边信号：2,|

7、z|1:ROC2双边信号：例例8-4.8-4.一序列，其持续期有限，即一序列，其持续期有限，即试确定该序列试确定该序列z z变换的收敛域。变换的收敛域。解：根据性质解：根据性质，ROCROC应为整个应为整个z z平面平面,另一方面。另一方面。值其余nNnanxn,010,11101101)(1)()(azazazzazXNnNnNnnn8.2 Z变换及其收敛域变换及其收敛域azazzNNN11)(112211NNNNNazaazzz|0:,01zROCz极点1).1).线性性质线性性质则212121222111),()(),(),(RRROCzbXzaXnbxnaxRROCzXnxRROCz

8、Xnx8.2 Z变换及其收敛域变换及其收敛域3.Z变换的性质变换的性质注：交集一般小于R1或R2。但有时会扩大，如零点与极点相消时。21RR 2).2).时域平移时域平移(双边信号）双边信号）,),(),(00znzRROCzXznnxRROCzXnx8.2 Z变换及其收敛域变换及其收敛域证明：根据双边Z变换的定义式，有)(0000zXzzkxzznnxnnxnkknnnZ注：注：收敛域收敛域ROC=RROC=Rz z,因因X(z)X(z)乘了一个乘了一个z znono，使得，使得n n0 000和和n n0 00a,应用微分性质求出反变换xn。解：)1(2111nunaazaznxnZ|,

9、)1(112111azazazazdzdznunanZ 有7).7).初值和终值定理初值和终值定理初值定理：若初值定理：若n0n0，xn=0,xn=0,则序列的初值为则序列的初值为证明：该因果序列的证明：该因果序列的Z Z变换为变换为0)(lim|,01100)(110 xzXMnxxzMxzMxznxznxzXznnnnnn显然)(lim0zXxz8.2 Z变换及其收敛域变换及其收敛域终值定理：若终值定理：若n0n0,m0,则则kmkmkkmkmkmnnzkxzzkxzzkxzzmnxnumnx100Z，或1)(mkkmmzkxzzXznumnxZ8.2 Z变换及其收敛域变换及其收敛域注注

10、:终值定理只有在终值定理只有在n,xn收敛时才可用，或收敛时才可用，或X(z)收敛域应包含单位圆。收敛域应包含单位圆。证明：证明：2 1)(21mxxzxzzXznumnxmmmZ（2 2）超前定理：若）超前定理：若xnun X(z),xnun X(z),对于对于m0,m0,则有则有2 1)(2 1)(12,1121xxzzXznunxxzXznunxmZZ时10)(mkkmmzkxzzXznumnxZ 1 0)(20)(12,122zxxzzXznunxzxzzXnunxmZZ时8.2 Z变换及其收敛域变换及其收敛域注：注：1、在对差分方程作、在对差分方程作Z变换时，很自然地把初始条件带进去

11、了，因而可变换时，很自然地把初始条件带进去了，因而可求零输入，零状态，和全响应。求零输入，零状态，和全响应。2、因果序列的单双边、因果序列的单双边Z变换是一样的。变换是一样的。1 1 0)(1mzxxzxzzXznumnxmmmZ或例例8-78-7若若xnxn为周期等于为周期等于N N的有始周期序列，它满足的有始周期序列，它满足 xn=xn+N,n0 xn=xn+N,n0。求。求xnxn的的Z Z变换。变换。解：设解：设x x1 1nn为周期序列为周期序列xnxn的第一个周期，则有始周期的第一个周期，则有始周期序列可写为序列可写为 xn=xxn=x1 1n+xn+x1 1n-N+xn-N+x1

12、 1n-2N+n-2N+根据延时定理得根据延时定理得)(1)(,1|,1|)(1)()(10121zXzzzXzzzzXzzzXzXNNNmmNNN则有即如果8.2 Z变换及其收敛域变换及其收敛域Z Z变变换换的的性性质质表表常常用用Z Z变变换换表表1.Z1.Z反变换反变换 Z Z变换：变换：X(z)=X(z)=Z Z xn xn Z Z反变换：反变换：xn=xn=Z Z-1-1 X(z)X(z)Z Z反变换表达式反变换表达式由由Z Z变换是指数加权的傅里叶变换，即变换是指数加权的傅里叶变换，即nnjnjernxreXzX)()()(8.5 Z反变换反变换djredzrezdrereXde

13、reXrnxreXIDTFTrnxjjnjjnjjnjn,)(21)(21)(22令则nrnxDTFTdzzzXjnxrn1)(212.2.求求Z Z反变化的方法：反变化的方法：常用z变换表P321表8-2；部分分式法。幂级数展开法（长除法）；留数法(略）；8.5 Z反变换反变换Z反变换公式：反变换公式：（1 1）部分分式法求）部分分式法求Z-1-1有理分式X(z)，最好先对最好先对X(z)/z X(z)/z 展开展开（方便些），然后再乘z，即NNNNpzzkpzzkpzzkzXpzkpzkpzkzzX22112211)()(注：有重根时需要做一些修改，方法类似拉氏变换。必须根据X(z)的收敛

14、域来确定xn是右边、左边、双边函数若没给定收敛域，就必须自己假设收敛域，考虑三种情况考虑三种情况。再用常用z变换公式求原函数。8.5 Z反变换反变换|:|,111zROCzzznun 1|,5.05.15.02)(22zzzzzX例例8-8.8-8.设有一设有一X(z)X(z)为为求它的反变换求它的反变换xn.xn.解：解：)5.0)(1(5.025.05.15.02)(222zzzzzzzzzX由8.5 Z反变换反变换是右边序列可知，由极点1|,5.0,121nxzzz5.0113)(zzzzX)5.03()5.0(35.013)(nunununxzzzzzXnn例例8-9.8-9.同例同例

15、8-88-8，但收敛域为，但收敛域为0.5|z|10.5|z|1和|z|1|z|1，可知，可知xnxn是右边序列，此时用降幂长是右边序列，此时用降幂长除方法展成幂级数：除方法展成幂级数：2112121)(zzzzX8.5 Z反变换反变换43432323212121121217107147474844212174121zzzzzzzzzzzzzzzzzzz021)13(741)(nnznzzzX8.5 Z反变换反变换)13()(0nunnxznxzXnn则，比较对于|z|1，可知xn是左边序列，此时用升幂长除方法展成幂级数：22113212585105252421285212zzzzzzzzzz

16、zzz 1)13()13()13(852)(1132nunnxznznzzzzXnnnn则，8.5 Z反变换反变换例例8-118-11求下列求下列Z Z变换的反变换变换的反变换xn.xn.1|,)1()1ln()1ln(,1|11111wnwwazazwazaznnn则令azazzX|),1ln()(1解：由8.5 Z反变换反变换11)1()(nnnnnzazX 1)(0,01,/)1(1nunanxnnnanxZnnn或变换的定义可得由1.1.离散离散LTILTI系统的系统的Z Z域分析法域分析法方法：方法：)(nyzYZZ 反变换求解变换代数方程差分方程)()()()(0(nyzYzXzH

17、zHxZxZ反变换）初始条件变换差分方程8.5离散时间系统的离散时间系统的Z Z域分析法域分析法)(13)(3)(1zXyzYzzY例例 8-12有一差分方程有一差分方程其其输入输入xn=un,且初始条件且初始条件y-1=1,求求yn.解法一：应用单边解法一：应用单边Z变换的时移性质，原方程化为变换的时移性质，原方程化为 13nxnyny111z13113)()(zyzXzY从而从而)3(30nunyn1111114/1314/9)1)(31(1313)(zzzzzzY即零状态响应零输入响应,31)(31 1311zzXzy或或8.5离散时间系统的离散时间系统的Z Z域分析法域分析法)1)(3

18、1(1)(;313)(1110zzzYzzYx)3(4341nunynx)3(49410nunynynynx)3(4941nunyn解法二：求零状态响应。解法二：求零状态响应。先求系统函数：先求系统函数：H(z)H(z)在初始条件为零时，对差分方程在初始条件为零时，对差分方程 yn+3yn-1=xnyn+3yn-1=xn)()(3)(1zXzYzzY8.5离散时间系统的离散时间系统的Z Z域分析法域分析法)(/)()(zXzYzH作作Z Z变换变换,得：得：1311)()()(zzXzYzH111114/1314/311311)()()(zzzzzXzHzYx)3(4341nunynx再求零输

19、入响应再求零输入响应y0n：8.5离散时间系统的离散时间系统的Z Z域分析法域分析法在输入在输入xn=0条件下，对差分方程作条件下，对差分方程作Z变换变换,得：得：,013nyny,013)(3)(1yzYzzY1313)(zzY得)3(0nunyn例、差分方程例、差分方程 yn-3yn-1+2yn-2=xn-1-2xn-2，系统起，系统起始状态为始状态为y0=1,y-1=1，输入激励，输入激励xn为单位阶跃序列，为单位阶跃序列，试求零输入响应试求零输入响应y0n，零状态响应零状态响应yxn，全响应，并画，全响应，并画出模拟图。出模拟图。8.5离散时间系统的离散时间系统的Z Z域分析法域分析法

20、解：（解：（a),方法方法1、在输入、在输入xn=0条件下，求对应的特征方条件下，求对应的特征方程的特征根（第三章知识）：程的特征根（第三章知识）：2,1023112得：)21()(2122110nuccnuccnynnnn则，,0,111,10021nunyccyy得：应用8.5离散时间系统的离散时间系统的Z Z域分析法域分析法方法方法2、在输入、在输入xn=0条件下，对差分方程作条件下，对差分方程作Z变换变换,得：得：,0 22 12)(2 13)(3)(,0 22 13121yyzzYzyzYzzYnynyny211231221213)(zzyyzyzY得12,022 1300yyyyn

21、得，由)23()2(23121)(2211zzzzzzzzY)1()()1(1)2)(1(2)(0nunyzzzYzzzzzzY8.5离散时间系统的离散时间系统的Z Z域分析法域分析法（b)、在初始条件为零条件下，及xn=un，对差分方程作Z变换,得：,22 1 22 13nxnxnynyny（c)、全响应：)1(0nunnynynyx)1()1()1(1)()()(2nnunyzzzzzzXzHzYxx)1(12312)()()(2121zzzzzzXzYzH,2)()(2)(3)(2121zXzzXzzYzzYzzY,22 122 13nxnxnynyny1z1z32211nynxDD32

22、211nynx或或或直接直接IIII型型 ,2)()(2)(3)(2121zXzzXzzYzzYzzY画出模拟图画出模拟图:离散时间系统的系统函数定义：离散时间系统的系统函数定义：MrrNkkrnxbknya00变换）是零状态响应的或zzYzXzYzHznhzHnn)(,)()()()(8.7离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数1.系统函数的求取系统函数的求取由差分方程求由差分方程求H(z)LTI系统差分方程：作Z变换（零状态下）:MrrrNkkkzXzbzYza00)()(NkkkMrrrMrrrNkkkzazbzXzYzHzXzbzYza0000)()()()()(则8.7离散

23、时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数MrrNkkrnxbknya00由由Z Z域与模拟框图求域与模拟框图求H(z)H(z)直接由z域的模拟框图列出初始松弛条件下的输入X(z)、输出Y(z)的代数方程，再求H(z).例8-15.求图8-6（a)所示系统的系统函数和单位抽样函数，设0a11.解：如图，有：)()()(11zYzazXzY8.7离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数,10,|,11)()()()(),()()(111111111nuanhaazzazHzXzYzHzYzazXzYnyanxnynD或：1|,|,11)()()(1111aazzazXzYzH)(11nuazH

24、nhnZ则例例8-16.8-16.求图求图8-78-7（a)a)所示系统的系统函数和单位抽样函数，所示系统的系统函数和单位抽样函数，其中其中a a1 1、a a2 2为实数，且为实数，且a a1 12 2+4a+4a2 20.1时hn将是发散的;当r=1时,hn是等幅振荡。cr1解法一：解法一：)1sin(sinrnnunnh)1)(1(1)(1111zrezrezHnhjj-ZZ)1sin(sinrsin21n)1()1(nunnuererjnjnnjn注：互联系统（级联，并联，反馈联结）利用注：互联系统（级联，并联，反馈联结）利用Z Z变换求系变换求系统函数也是很方便的，可尽量采用统函数也

25、是很方便的，可尽量采用22111)cos2(11)(zrzrzHhnZZ8.7离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数解法二（直接用公式）：解法二（直接用公式）：221111)cos2(1)cos()cos(1zrzrzrzrZ221122111)cos2(1)sin(sincos)cos2(1)cos(1zrzrzrzrzrzrZ)sin(sincos)cos(nunrnunrnnsin)1(sinnunrnhn2.2.由由H(z)H(z)的零极点分布确定抽样响应的零极点分布确定抽样响应可知有NikMiizpzzGzH1111)1()1()()()(111nuerAnupAzHnhNk

27、：稳定系统定义：输入有界，输出也有界的系统。1).1).稳定系统的充分必要条件：稳定系统的充分必要条件：时域：频域：频域：由 nnh|nnjnnnernhznhzH)(8.7离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数即稳定系统的收敛域一定包括单位圆即稳定系统的收敛域一定包括单位圆.存在时，由当)(|1|zHnhrzn8.7离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数2）因果系统充要条件）因果系统充要条件时域：hn=0，n0.频域：频域：H(z)的收敛域为的收敛域为 a0.频域：H(z)的收敛域为 0|z|r；jjrezrez21,221)cos2(11)(zrzrzH8.7离散时间系统的系

28、统函数离散时间系统的系统函数对于对于r1，ROC在单位圆外，此时为因果不稳定系统在单位圆外，此时为因果不稳定系统,图图(b)；4.4.由零极点图确定系统的频率响应由零极点图确定系统的频率响应1).1).由由H(z)H(z)的零极点确定的零极点确定H(eH(ej j)()(几何法几何法)：njnnjnnjrezenxnxFzXZzrernxreXzXj)(:,1|1)(|)(变换即为傅里叶变换此时时，当8.7离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数一个序列的离散时间傅里叶变换就是单位圆上求得的Z变换：当序列当序列xn的的Z变换的收敛域包括单位圆时其对应的傅变换的收敛域包括单位圆时其对应的傅里

29、叶变换存在，且有：里叶变换存在，且有：)(|)(jezeXzXj几何法求几何法求H(ej)(当H(ej)比较复杂时，可定性分析H(ej)）对于线性常系数差分方程，令z=ej，H(z)=H(ej)有 ijjiikjjkkjNikjMiijNikMiizeeBpeeAeHpezepzzzzHikBA)()()()()()(1111令8.7离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数其中其中A Ak k、B Bi i分别为从极点和零点到单位圆的向量长度，分别为从极点和零点到单位圆的向量长度，为向量为向量Bi 、Ak与正实轴的夹角。与正实轴的夹角。ki、kBjekpizkAjekiReImj几何法公式

31、:1:一阶系统极点在实轴上，具有低通的特性；一阶系统极点在实轴上，具有低通的特性；零点只影响频谱的的相位，不影响模的大小；零点只影响频谱的的相位，不影响模的大小；|a|a1 1|值越大，即极点越靠近单位圆，则模的峰值越尖值越大，即极点越靠近单位圆，则模的峰值越尖锐；相位随锐；相位随变化越快。变化越快。用几何法同样能方便地在频谱图上看到离散时间系统频用几何法同样能方便地在频谱图上看到离散时间系统频谱特性（周期性性，奇偶对称性，频率选择性等）谱特性（周期性性，奇偶对称性，频率选择性等）8.7离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数问题：如果极点不在实轴上将会怎么样？问题：如果极点不在实轴上将会

32、怎么样？二阶系统分析二阶系统分析例.8-19.二阶因果系统的系统函数：试用几何求值法确定该系统的频率响应。)1)(1(1)(11zrezrezHjj解：对于稳定系统，令z=ej，则有8.7离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数212112121212221122)(1|)(|)()cos2(11)1)(1(1)(AAAABeHreereeeererzrezreeHjjjjjjjjezjjjj其频谱如图(b)所示。结论2：二阶系统存在共轭极点，在极点矢径对应的方向模峰值出现，随着极点远离实轴，模峰值向高频方向移动，即通带的位置。r值越大，即极点越靠近单位圆，则模的峰值越尖锐；相位随变化越

33、快。8.7离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数问题：连续函数的拉氏变换与样本函数的问题：连续函数的拉氏变换与样本函数的Z Z变换的关系？变换的关系？5.Z5.Z变换和拉氏变换的关系变换和拉氏变换的关系1).1).抽样信号的拉氏变换抽样信号的拉氏变换抽样抽样)()()()()(nTtnTxtptxtxnccp8.7离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数)(jXp傅氏变换：傅立叶变换)()(21jPjXc得：令,)2(1jsTkjjXTncnTkjjTjPtp)2(2)()(x xp p(t)(t)的拉氏变换：的拉氏变换：抽样信号xp(t)的拉氏变换的图象（零极点图）沿s平面j轴

34、每隔2/T混叠一次结果。)()()808()2(1)(sXtxTkjsXTsXppkcp或8.7离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数)()()()(nTtnTxtxsXncppLLnncnnddznTxznxzX)()(而8.7离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数变量变量s与与z间的映射关系间的映射关系?2).2).拉氏变换与拉氏变换与z z变换的关系变换的关系抽样信号抽样信号x xp p(t)(t)的拉氏变换的拉氏变换X Xp p(s)(s)与离散时间序列与离散时间序列x xp pnn的的z z变换变换X Xd d(z)(z)之间的映射关系之间的映射关系由）（可见838)(|

35、)(sXzXpezdsTnsTncpenTxsX)()(nxd)(txp)(txc)(zXdZ)(sXpL抽样)(nTxnxcd)(txp xp(t)L Xp(s)x(t)xdn Z Xd(z)8.7离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数 sz之间的具体映射关系：s平面 z平面平面虚轴=0 r=1 单位圆单位圆左半平面0 r0 r1 单位圆外单位圆外z=esTTerrezjsTj变量间的映射关系:s s平面平面 z z平面平面实轴实轴=0 =0 =0=0 正实轴；正实轴；原点原点=0=0，=0 =0 r=1,r=1,=0,=0,或或z=1z=1点点 s s平面的平行带状域（平面的平

36、行带状域（-/T-/T/T)/T)映射为整个映射为整个z z平面，平面，即每当即每当变化变化22/T/T，相应变化相应变化22，相当于在整个，相当于在整个z z平面扫视一遍。平面扫视一遍。TerrezjsTj8.7离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数依据）（88-8,)(1NkkkcpsAsXNktpkc-ctueAsXtxk11)()()(LNknTpkcdnueAnTxnxk1)(而8.7离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数x xc c(t)(t)的拉氏变换的拉氏变换X Xc c(s)(s)与离散函数与离散函数x xd dnn的的z z变换变换X Xd d(z)(z)间的映

37、间的映射关系射关系）（91-81)(11NkTpkddzeAnxzXkZXc(s)为有理函数时，拉氏变换与z变换两条结论连续时间信号拉氏变换Xc(s)的留数（部分分式的系数）Ak仍然保留；Xc(s)在s=pk的极点映射为Xd(z)在的极点。用此两点可直接从Xc(s)得到Xd(z)。）（）（91-81)(88-8,)(111NkTpkddNkkkczeAnxzXpsAsXkZTpkez 8.7离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数利用这一结论结论可以把连续函数利用这一结论结论可以把连续函数x(t)的拉氏变换通过其离散的拉氏变换通过其离散函数的函数的xdn的的Z变换求得，反之亦然。变换求

38、得，反之亦然。Tpkez 例8-20.已知连续信号对其均匀抽样的序列xdn=（sin0nT）un.经由拉氏变换Xc(s)求序列的Z变换Xd(z)。解：)(sin)(0ttutxc2101011210201002020)cos2(1)(sin12/12/)(2/2/:2/2/)(00zzTzTzejzejzXjAjAjpjpjsjjsjssXTjTjdc据映射关系和其留数：。和极点8.7离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数1.1.数字滤波器基本概念数字滤波器基本概念数字滤波器:滤波器从时域看是由线性常系数差分方程表征的离散时间系统，或是实现某差分方程所代表算法的一装置。从频域看，是用数

39、字方法对输入信号的频谱按预定要求进行变换，以达到改变信号频谱目的离散时间系统。数字滤波器分类：有限冲激响应滤波器FIR，对应非递归差分方程：具有线性相移特点；00rnxabnyMrk 8.10 Z变换在数值滤波器中的应用变换在数值滤波器中的应用无限冲激响应滤波器IIR，对应递归差分方程具有频率选择性特点。MrrNkkrnxbknya00 8.10 Z变换在数值滤波器中的应用变换在数值滤波器中的应用2.2.设计一个设计一个IIRIIR滤波器滤波器方法：抽样响应不变法，即，在时域方法：抽样响应不变法，即，在时域hnhn是某连续时是某连续时间滤波器单位冲激响应间滤波器单位冲激响应h(t)h(t)的

40、均匀抽样；在频域就的均匀抽样；在频域就是通过是通过s sz z映射使映射使H(s)H(z):H(s)H(z):H(s)H(s)为有理函数时为有理函数时NkTpkTPkkNkkkzeAnhzHezPpsAsHkk1111)(,)(Z极点映射2 2例例8-21.8-21.用抽样响应抽样法设计一个巴特沃斯数字滤波器，用抽样响应抽样法设计一个巴特沃斯数字滤波器，已知已知3dB3dB截止频率为截止频率为50Hz50Hz，系统抽样频率分别取，系统抽样频率分别取200Hz200Hz和和500Hz500Hz。解：据第七章用巴特沃斯逼近法导出的二阶低通的系统函解：据第七章用巴特沃斯逼近法导出的二阶低通的系统函数

41、数100502,)2222()(2(s)12212222ccccccjppspsssH 8.10 Z变换在数值滤波器中的应用变换在数值滤波器中的应用展成部分分式展成部分分式则通过则通过s-zs-z映射，得映射，得)22)1(1)22)1(122)(1)(1)()(12122ccccjsjsjpspsppsHTjTcTcTcTjTjcccccccezezTezTTezezezTjzH22)1(12222122122)1(122)1(11122cos2122sin2111122)(8.10 Z变换在数值滤波器中的应用变换在数值滤波器中的应用注：上式中添加了一个修正值注：上式中添加了一个修正值T T

42、，是为了使离散时间系统，是为了使离散时间系统的响应更能逼近连续时间的响应。的响应更能逼近连续时间的响应。c 8.10 Z变换在数值滤波器中的应用变换在数值滤波器中的应用64.632,12113293.022)1exp(108453.029245.01655499.0)(2001,100502jcceTjzzzzzHT代入上式，得：将可画出直接可画出直接II型差分方程型差分方程。图中。图中a1=-0.29245,a2=0.108453,b1=0.655499频率响应：频率响应：22122112211)2sinsin()2cos1(|)(|1)(T/2)(,2,|)()(TaTaTconaTabe

43、HeaeaebeHeHTzHeHjTjTjTjjjezjj的映射为周期为，且 8.10 Z变换在数值滤波器中的应用变换在数值滤波器中的应用本例给定的抽样频率本例给定的抽样频率f fs s=200Hz=200Hz，以及抽样频率提高到，以及抽样频率提高到f fs s=500Hz=500Hz两种情况，分别计算了两种情况，分别计算了T=T=/f/fs s=0,/5,=0,/5,/2,/2,个点模值如图个点模值如图8-158-15。可见可见200Hz200Hz抽样时，存在严重的混叠抽样时，存在严重的混叠现象，曲线明显偏离巴特沃斯原形滤现象，曲线明显偏离巴特沃斯原形滤波器的特性，波器的特性，500Hz500Hz抽样时，混叠影响较小，曲线抽样时，混叠影响较小，曲线已十分接近巴特沃斯原形滤器波器的已十分接近巴特沃斯原形滤器波器的特性，这与前式中作了特性，这与前式中作了c cc cT T映射有关。映射有关。8.10 Z变换在数值滤波器中的应用变换在数值滤波器中的应用

展开阅读全文