1、三视图和球的外接和内切问题圆柱的侧面积：圆柱的侧面积：2Srl圆锥的侧面积：圆锥的侧面积：Srl圆台的侧面积：圆台的侧面积：()Srr l球的表面积：球的表面积：24SR柱体的体积：柱体的体积：VSh锥体的体积：锥体的体积：13VS h台体的体积：台体的体积：1()3VSS SSh球的体积：球的体积：343VR面积面积体积体积4.4.如图，已知正四棱锥如图，已知正四棱锥P-ABCDP-ABCD的底边长为的底边长为6 6、侧棱长为、侧棱长为5 5求正四棱锥求正四棱锥P-ABCDP-ABCD的体积和侧面积的体积和侧面积 解：解：设底面设底面ABCDABCD的中心为的中心为O O，边，边BCBC中点
2、为中点为E E，连接连接POPO，PEPE，OE.OE.在在RtRtPEBPEB中，中，PB=5PB=5，BE=3BE=3，则斜高，则斜高PE=4.PE=4.在在RtRtPOEPOE中，中，PE=4PE=4，OE=3OE=3，则高，则高PO=PO=7.所以所以2ABCD11VSPO6712 733，11Sc PE4 6 448.22 侧面积 斜二测画法的步骤斜二测画法的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的在已知图形中取互相垂直的x轴和轴和y轴，两轴相交于轴，两轴相交于O点点.画直观图时，把它画成对应的画直观图时，把它画成对应的x轴、轴、y轴，两轴交于轴，两轴交于O，使，使 ，它们确定的平面表示水
3、平平面，它们确定的平面表示水平平面45(135)x Oy或或(2)已知图形中平行于已知图形中平行于x轴或轴或y轴的线段，在直观图中分别画轴的线段，在直观图中分别画成平行于成平行于x轴或轴或y轴的线段轴的线段(3)已知图形中平行于已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中轴的线段，在直观图中保持原长度不保持原长度不变变；平行于；平行于y轴的线段，轴的线段，长度为原来的一半长度为原来的一半小结：小结：“横同，竖半横同，竖半,平行性不变平行性不变”答案D解析如图(1)为实际图形，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.a.:正正方方体体和和正正四四面面体体是是立立体体几几何何中中的的 万万花花筒筒对对棱棱长
4、长为为 的的正正四四面面体体应应该该记记住住一一些些结结论论常见结论613a.;高高为为32212a.;体体积积为为6312Ra.;内内切切球球644Ra.;外外接接球球.这这些些结结论论可可以以帮帮助助我我们们提提高高解解题题速速度度空间几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图和直观图中心投影中心投影平行投影平行投影斜二测斜二测画法画法俯视图俯视图侧视图侧视图正视图正视图三视图三视图直观图直观图投影投影ADCB平行投影平行投影斜投影斜投影正投影正投影中心中心投影投影从正面看到的图从正面看到的图从左边看到的图从左边看到的图从上面看到的图从上面看到的图三视图：三视图：我们从不同的我们从不同的方向
5、观察同一物体方向观察同一物体时，可能看到不同时，可能看到不同的图形的图形.其中，把从其中，把从正面看到的图叫做正面看到的图叫做正视图正视图，从左面看，从左面看到的图叫做到的图叫做侧视图侧视图，从上面看到的图叫从上面看到的图叫做做俯视图俯视图.三者统称三者统称三视图三视图.侧视图侧视图 正视图正视图 俯视图俯视图正视图方向正视图方向俯视图方向俯视图方向侧视图侧视图 正视图正视图 1.确定正视图方向；确定正视图方向；3.先画出能反映物体真先画出能反映物体真实形状的一个视图实形状的一个视图(一般一般为正视图为正视图)；4.运用运用长对正、高平长对正、高平齐、宽相等齐、宽相等原则画出原则画出其它视图；
6、其它视图；5.检查检查.2.布置视图；布置视图；要求要求：俯视图安俯视图安排在正视图的正下方，排在正视图的正下方，侧视图安排在正视图侧视图安排在正视图的正右方的正右方.侧视图方向侧视图方向俯视图俯视图三视图的作图步骤三视图的作图步骤正视图方向正视图方向侧视图方向侧视图方向俯视图方向俯视图方向长长高高宽宽宽相等宽相等长对正长对正高平齐高平齐正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图知识点一知识点一 几何体三视图还原直观图几何体三视图还原直观图几何体几何体三视图三视图矩形矩形矩形矩形矩形矩形立方体（四棱柱）立方体（四棱柱）矩形矩形矩形矩形三角形三角形三棱柱三棱柱三角形三角形三角形三角形四边形四边形四棱锥
7、四棱锥三角形三角形 三角形三角形三角形三角形三棱锥三棱锥常见几何体的三视图：常见几何体的三视图：矩形矩形矩形矩形圆圆 圆柱圆柱 等腰三角形等腰三角形 等腰三角形等腰三角形圆圆 圆锥圆锥圆圆 圆圆 圆圆 球球 还原三视图的策略：还原三视图的策略：切割法切割法三线交汇法三线交汇法拔高法拔高法去点法去点法切割法还原直观图切割法还原直观图ABCD1A1B1C1DEF1.20145cm例浙江文已知某几何体的三视图 单位：如图所示，则该几何体的体积是()3.108Acm3.100Bcm3.92Ccm3.84Dcm方法一：方法一：规律总结：规律总结：B1 1、还原到常见几何体中、还原到常见几何体中2 2、实
8、线当面切，虚线背后切实线当面切，虚线背后切3 3、切完后对照三视图进行检验、切完后对照三视图进行检验ABC1A1B1C对点演练对点演练20147重庆文某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）.12A.18B.24C.30DECABCD1A1B1C1D三线交汇法还原直观图三线交汇法还原直观图方法二：方法二：2.2014112例全国 卷理题 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长棱的长度是（）.6 2A.6B.4 2C.6DABCD1A1B1C1DE规律总结：规律总结：三线交汇得顶点，各顶必在其中选三线交汇得顶点，各顶必在其中选多顶可能
9、用不完，个中取舍是关键多顶可能用不完，个中取舍是关键BABCD1A1B1C1DE对点演练对点演练如图，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长棱的长度为224446拔高法还原直观图拔高法还原直观图方法三：方法三：3.例 某多面体的三视图如图所示，则这个多面体的最长棱长为左左中中右右左左中中右右左左中中右右左左中中右右ABCDE底座最底座最重要！重要！规律总结：规律总结：1.1.标出俯视图所有结点，画出俯标出俯视图所有结点，画出俯视图对应的直观图视图对应的直观图2.2.由主、侧视图的左中右找出被由主、侧视图的左中右找出被拔高的点拔高的点.4 31如图，网格纸上小正方形的边长为，粗
10、线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）.88 24 6A.88 22 6B.22 26C126.224DABC1C1B1AABC1C1B1AA对点演练对点演练1.如图所示的三视图几何体是跟踪训练跟踪训练ABCDABCD左左中中右右左左中中右右左左中中右右左左中中右右E2.已知三棱锥的正视图、俯视图如图所示，那么该三棱锥的侧视图可能为（）B3.一个几何体的三视图中，正视图和侧视图如图所示，则相应的侧视图可能为（）DCD去点法还原直观图去点法还原直观图方法四：方法四：4.1例 如图，网格纸的小正方形的边长是，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为ABCD
11、1A1B1C1DE2 3画立方体画立方体 删多余点删多余点 连剩余点连剩余点规律总结：规律总结：六字真言：六字真言：先去除、再确定先去除、再确定对点演练对点演练11.如右图，网格纸上小正方形的边上为，粗实 虚 线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）64.3A16.3C.64B.16DABCD1A1B1C1DECABCD1A1B1C1DE2.一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积是12能力提升能力提升 一题多解一题多解某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）.286 5A.306 5B.56 12 5C.60 12 5DABCD1A1B1C1DE方法一：三线交汇法方法一
12、：三线交汇法方法二：拔高法方法二：拔高法ABCABCD1A1B1C1D方法三：去点法方法三：去点法B2016北京理 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）1.6A1.3B1.2C.1D题海拾贝题海拾贝 走向高考走向高考1111AABCD1A1B1C1D方法一：三线交汇法方法一：三线交汇法方法二：去点法方法二：去点法ABCD1A1B1C1D跟踪训练：跟踪训练：1.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为2.四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（）.29A.5B.13C.2 2D3.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）.4A20.3B26.3C.8DBA
13、2 2123几何体的外接球问题你通常会想到：几何体的外接球问题你通常会想到：几何体的外接球问题：几何体的外接球问题：题目中涉及题目中涉及几何体外接球体几何体外接球体，或者，或者球内接几何体球内接几何体，再或者说再或者说球面上有几个点围成几何体球面上有几个点围成几何体，这类题型称之为几何体的外接球，这类题型称之为几何体的外接球问题。问题。知识点二知识点二 几何体的外接球几何体的外接球画出球体、标明球心画出球体、标明球心画出球的内接几何体画出球的内接几何体 寻找突破口建立方程。寻找突破口建立方程。这类题这类题80%以上都不用画图，只需要以上都不用画图，只需要2步搞定：步搞定：识别模型识别模型代入公
14、式代入公式，就可以轻松求出外接球半径，就可以轻松求出外接球半径R。32Ra2222abcRa正方体正方体abc长方体长方体1OOVABC正四面体正四面体a64Ra常见几何体的外接球半径：常见几何体的外接球半径：模型一模型一圆柱外接球模型圆柱外接球模型 一个底面半径为一个底面半径为r，高为，高为h的圆柱，求它的外接球半径的圆柱，求它的外接球半径.如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如右图所示：取三个点，如右图所示：ABC1A1B1C我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱我们可以得到（直）三棱柱，它
15、的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型直棱柱的外接球求半径符合这个模型。在这里棱柱的高就是公式中的在这里棱柱的高就是公式中的h，而棱柱底面外接圆的半径则是公式中的而棱柱底面外接圆的半径则是公式中的r 1变形一：变形一：11BC如果把上面那个三棱柱上面的，两点去掉，我们将得到右图三棱柱：ABC1A1B1C变形二：变形二：ABC1AO1O1.ABC这个三棱锥的特点是AA底面，即有一根侧棱底面的锥体，依然符合这个模型1,.AAhABCr那条垂直于底面的棱就是公式中的底面的外接圆半径就是公式中的变形三：变形三：思考：思考：PADABCDABCD面面，且
16、四边形为矩形，PABCD四棱锥中，如何求此四棱锥外接球的半径？11C如果图中的三棱柱只去掉点，我们将得到右图：ABC1A1B1C 1ABC1A1BABCDP没错！这就是把上面那没错！这就是把上面那个四棱锥放倒了！个四棱锥放倒了！这个几何体的特点：有一个侧面矩形底面的四棱锥rh我们知道，这里的 指的是侧面外接圆半径，指的是矩形中垂直于侧面的底边长.旧题新解：旧题新解：PABCD四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（）81.5A81.20B101.5C101.20D旧解：旧解：1O2OM12121222222222112,5,51510120.ABCDPCDO OOO MOPMOO
17、xPOOROPxODRO DOOxxRC作面，面的外接圆圆心为易知四边形为矩形且设在中，又建立等式可以先求，再求，故表面积为新解：新解：还原后的图形为：ACBPD,PCDABCD侧面矩形底面符合圆柱外接球模型的第三种变形，22,54PCDrrr外接圆半径为 易知229101,2,4202 5hrhRr 且21014.5SRCO规律总结：规律总结：22-4hRr圆柱外接球模型适用于：圆柱-r,h自带直棱柱-r:底面外接圆半径；h:直棱柱的高一根侧棱底面的锥体-r:底面外接圆半径；h:垂直于底面的那条侧棱一个侧面矩形底面的四棱锥-r:垂直底面的侧面的外接圆半径；h:垂直于那个侧面的底边长小结：小结
18、：求求r的几种方法：的几种方法：等边三角形：33ra直角三角形：r 斜边的一半 已知一组对边和对角的非特殊三角形：利用正弦定理！小试牛刀小试牛刀快速秒杀快速秒杀()12223021,2 3,sin302,416.4ABCABABrrhAAhRrSR解析：直三棱柱的外接球符合圆柱外接球模型：底面等腰，所以对角为，所以又C32 311111.1,120,2 3,ABCABCOABBCABCAAO直三棱柱的六个顶点都在球 的球面上，若则球 的表面积为D.4A.8B.16C.24D2.,26,A B C DABCADABCADAB点均在同一球面上，其中是正三角形，面则该球的体积为3.-,24,P AB
19、CDOABCDPADABCDPADABADO已知四棱锥的顶点都在球 上，底面是矩形，面面为正三角形，则球 的表面积为32.3A.32B.64C64.3D()ACBPDABCDABC1A1B1C模型二模型二补全立方体模型补全立方体模型 类型一类型一.正四面体：转化成正方体的外接球正四面体：转化成正方体的外接球ABCD方法：如图所示正四面体ABCD的外接球，可转化为正方体的外接球.,a例1一个四面体的所有棱长为 四个顶点在同一个球面上，求该球的半径.64a类型二类型二.有三个面是直角三角形的三棱锥：转化成正方体或长方体的外接球有三个面是直角三角形的三棱锥：转化成正方体或长方体的外接球,PABCPA
20、PBPCPA PBPC方法：在有三个面是直角三角形的三棱锥中，若则转化为正方体的外接球，若、不全相等，则转化为长方体的外接球.,90,.PABCBPCPABPCABBCACa P A B C例2已知三棱锥面其中四点均在球的表面上，求该球的表面积232aABCP类型三类型三.有四个面是直角三角形的三棱锥：转化成正方体或长方体的外接球有四个面是直角三角形的三棱锥：转化成正方体或长方体的外接球,PABCPAPBPCPA PBPC方法：有四个面是直角三角形的三棱锥中，若则转化为正方体的外接球，若、不全相等，则转化为长方体的外接球.,2,.OA B C D DAABC ABBCDAABBCO例3已知球
21、的表面上有四个点面求球 的体积ABCP6ABCDABCP类型四类型四.对棱相等的三棱锥：转化成长方体的外接球对棱相等的三棱锥：转化成长方体的外接球,ABCDACBD ADBC ABCDABCD方法：如图所示，在三棱锥中，所有对棱相等，即则三棱锥的外接球可转化为长方体的外接球.ACDB.3 2,3,.ABCDABCDACBDADBC例4在四面体中，求该四面体外接球的表面积2229ADab:解：由图可知2229ACac2223 222abcR 2418SR abc22218ABbc课时小结：课时小结：-圆柱直三棱柱1.圆柱外接球模型一根侧棱底面的锥一个侧面矩形底面的四棱锥-正四面体三个面是直角三角
22、形的三棱锥2.补全立方体模型四个面是直角三角形的三棱锥对棱相等的三棱锥224hRr模 型 公 式：课后练习课后练习直通高考直通高考 161,120,2 3,PABCOABBCABCPAABCPAO 4.三棱锥的所有顶点都在球 的球面上，若面且则球 的表面积为_5.,1,2,4S A B COSAABC ABBC ABBCOSA已知是球 表面上的不同点，面若球 的表面积为，则()2.2A.2C3.2D.1B2.(2015.(2015全国卷全国卷理理9)9)已知已知A，B是球是球O的球面上两点的球面上两点，AOB90，C为该为该球面上的动点若三棱锥球面上的动点若三棱锥O ABC体积的最大值为体积的最大值为36，则球则球O的表面积为的表面积为()A36 B64 C144 D2561.20173812新课标 理已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为.A3.4B.2C.4D()BB3.20171018天津理已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为，则这个球的体积为_92
