1、 排列的综合应用(1)(1)特殊元素优先法特殊元素优先法对于有特殊元素的排列问题，一般应先考虑对于有特殊元素的排列问题，一般应先考虑_元素，再考虑元素，再考虑其他元素其他元素.(2)(2)特殊位置优先法特殊位置优先法对于有特殊位置的排列问题，一般先考虑对于有特殊位置的排列问题，一般先考虑_位置，再考虑位置，再考虑其他位置其他位置.特殊特殊特殊特殊(3)(3)相邻问题捆绑法相邻问题捆绑法对于要求某几个元素相邻的排列问题，可将相邻的元素对于要求某几个元素相邻的排列问题，可将相邻的元素“捆捆绑绑”起来，看作一个起来，看作一个“大大”元素，与其他元素一起排列，然元素，与其他元素一起排列，然后再对后再对
2、_元素内部进行排列元素内部进行排列.(4)(4)不相邻问题插空法不相邻问题插空法对于要求有几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，对于要求有几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后将然后将_的元素插入在已排好的元素之间及两端空隙处的元素插入在已排好的元素之间及两端空隙处.捆绑捆绑不相邻不相邻1.1.甲、乙、丙三人排成一排，你能写出甲必须站在乙左侧的全甲、乙、丙三人排成一排，你能写出甲必须站在乙左侧的全部排法吗？部排法吗？提示：提示：甲乙丙，甲丙乙，丙甲乙甲乙丙，甲丙乙，丙甲乙.实际上排法共有实际上排法共有 =3=3种种.2.2.用用1 1，2 2，3 3三个数排成三位数，使三个
3、数排成三位数，使1 1，2 2两个数相邻的三位数两个数相邻的三位数有有 =2=2个，对吗？个，对吗？提示：提示：不对不对.由于数字比较少，可以一一列出，由于数字比较少，可以一一列出，123123，312312，321321，213213，若采用捆绑法会更简单，即，若采用捆绑法会更简单，即 =4=4个个 .3322AA22A22A22A3 3在数字在数字1 1，2 2，3 3与符号与符号 ，五个元素的所有全排列中，任五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是意两个数字都不相邻的全排列个数是_._.【解析【解析】符号符号 ，只能在两个数之间，这是间隔排列，排法只能在两个数之间，这是
4、间隔排列，排法有有 =12=12种种答案：答案：12123232A A4.4.有四位司机，四个售票员组成四个小组，每一组一位司机有四位司机，四个售票员组成四个小组，每一组一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有和一位售票员，则不同的分组方案共有_种种.【解析【解析】先把四位司机固定好，再把四个售票员分给四个司先把四位司机固定好，再把四个售票员分给四个司机，共有机，共有 =4=43 32 21=241=24种种.答案：答案：242444A1 1应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤步骤实际问题中每一类、实际问题中每一类、每一步中
5、的计数问题每一步中的计数问题排列问题排列问题求排列数求排列数化归化归（建模）（建模）求数学模型求数学模型的解的解得实际问得实际问题的解题的解2 2有限制条件的排列问题的类型及解题策略有限制条件的排列问题的类型及解题策略(1)(1)首先要分清是分类还是分步，这是一个大的原则，一般情首先要分清是分类还是分步，这是一个大的原则，一般情况下，对于较为复杂的问题，多是先分类，再在每一类中分步况下，对于较为复杂的问题，多是先分类，再在每一类中分步解决解决.(2)(2)其次要分清题型，可将题目大体分为诸如特殊位置其次要分清题型，可将题目大体分为诸如特殊位置(元素元素)类、相邻问题类、插空问题类等，再利用相应
6、方法计算类、相邻问题类、插空问题类等，再利用相应方法计算.(3)(3)最后注意应用正难则反的解题思想，即间接法最后注意应用正难则反的解题思想，即间接法.数字的排列问题数字的排列问题数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项(1)(1)解题原则：排列问题的本质是解题原则：排列问题的本质是“元素元素”占占“位子位子”问题，问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按法主要
7、是按“优先优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论应分类讨论 (2)(2)常用方法：直接法、间接法常用方法：直接法、间接法.(3)(3)注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”0”的处理的处理.【典例训练【典例训练】1.1.用用1 1，2 2，3 3组成没有重复数字的整数，可以组成整数的个数组成没
8、有重复数字的整数，可以组成整数的个数为为()()(A)27(A)27个个 (B)15(B)15个个 (C)12(C)12个个 (D)6(D)6个个2.2.用用0 0，1 1，2 2，3 3，4 4五个数可以组成五个数可以组成_个无重复数字的个无重复数字的五位数五位数.3.3.用用0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？无重复的数字？(1)(1)六位奇数；六位奇数；(2)(2)个位数字不是个位数字不是5 5的六位数；的六位数；(3)(3)不大于不大于4 3104 310的四位偶数的四位偶数【解析【解析】
9、1.1.选选B.B.由题意知可分成三类：第一类，组成的整数为由题意知可分成三类：第一类，组成的整数为一位数，有一位数，有3 3个；个；第二类，组成的整数为两位数，有第二类，组成的整数为两位数，有 =6=6个；个；第三类，组成的整数为三位数，有第三类，组成的整数为三位数，有 =6=6个；个；所以，组成没有重复数字的整数共有所以，组成没有重复数字的整数共有3+6+6=153+6+6=15个个.23A33A2.2.先排万位，从先排万位，从1 1，2 2，3 3，4 4中任选一个有中任选一个有4 4种填法，其余四个种填法，其余四个位置的四个数共有位置的四个数共有 种填法，故共有种填法，故共有4 =96
10、4 =96个满足条件的五个满足条件的五位数位数.答案：答案：96963.(1)3.(1)第一步，排个位，有第一步，排个位，有 种排法；种排法；第二步，排十万位，有第二步，排十万位，有 种排法；种排法；第三步，排其他位，有第三步，排其他位，有 种排法种排法故共有故共有 288288个六位奇数个六位奇数44A44A114344A A A13A14A44A(2)(2)方法一方法一(直接法直接法)：十万位数字的排法因个位上排十万位数字的排法因个位上排0 0与不排与不排0 0而有所不同，因此需分而有所不同，因此需分两类两类第一类，当个位排第一类，当个位排0 0时，有时，有 个；个；第二类，当个位不排第二
11、类，当个位不排0 0时，有时，有 个个故符合题意的六位数共有故符合题意的六位数共有 504(504(个个)55A114444A A A55A114444A A A方法二方法二(排除法排除法)：0 0在十万位和在十万位和5 5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有两类排列中都含有0 0在十万位和在十万位和5 5在个位的情况在个位的情况故符合题意的六位数共有故符合题意的六位数共有 504(504(个个)654654A2AA (3)(3)当千位上排当千位上排1,31,3时，有时，有 个个当千位上排当千位上排2 2时，有时，有 个个当千位上排当
12、千位上排4 4时，形如时，形如4040，4242的各有的各有 个；个；形如形如4141的有的有 个；个；形如形如4343的只有的只有4 3104 310和和4 3024 302这两个数这两个数.故共有故共有112234A A A1224A A13A1123A A1121211123424323A A AA A2AA A2 110.个【互动探究【互动探究】若题若题3 3的条件不变，的条件不变，(1)(1)能被能被5 5整除的五位数有多少个；整除的五位数有多少个；(2)(2)能被能被3 3整除的五位数有多少个；整除的五位数有多少个；(3)(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列若所有的六位
13、数按从小到大的顺序组成一个数列aan n，则，则240 135240 135是第几项？是第几项？【解题指南【解题指南】能被能被5 5整除的数字必须是个位为整除的数字必须是个位为0 0或或5 5，能被，能被3 3整除整除的条件是各位上数字之和能被的条件是各位上数字之和能被3 3整除，明确这点是解决此题的整除，明确这点是解决此题的关键关键.【解析【解析】(1)(1)个位上的数字必须是个位上的数字必须是0 0或或5.5.个位上是个位上是0 0，有，有 个；个；个位上是个位上是5 5，若不含，若不含0 0，则有，则有 个；若含个；若含0 0，但，但0 0不作首位，则不作首位，则0 0的位置有的位置有
14、种排法，其余各位有种排法，其余各位有 种排法，故共有种排法，故共有 216(216(个个)能被能被5 5整除的五位数整除的五位数 (2)(2)能被能被3 3整除的条件是各位上数字之和能被整除的条件是各位上数字之和能被3 3整除，则整除，则5 5个数可个数可能有能有1,2,3,4,51,2,3,4,5和和0,1,2,4,50,1,2,4,5两种情况，能够组成的五位数两种情况，能够组成的五位数分别有分别有 个和个和 个个.故能被故能被3 3整除的五位数有整除的五位数有 216(216(个个)44A13A34A4454AA1334A A55A1444A A55A1444A A45A(3)(3)由于是
15、六位数，首位数字不能为由于是六位数，首位数字不能为0 0，首位数字为，首位数字为1 1有有 个个数，首位数字为数，首位数字为2 2，万位上为，万位上为0,1,30,1,3中的一个有中的一个有3 3 个数，个数，240 135240 135的项数是的项数是 3 3 1 1193,193,即即240 135240 135是数列的第是数列的第193193项项55A55A44A44A【思考【思考】组数问题中能被组数问题中能被2 2，3 3，4 4，5 5，6 6整除的数的特征分别整除的数的特征分别是什么？是什么？提示：提示：能被能被2 2整除的数的特征：末位是偶数；能被整除的数的特征：末位是偶数；能被
16、3 3整除的数的整除的数的特征：各位上数字之和为特征：各位上数字之和为3 3的倍数；能被的倍数；能被4 4整除的数的特征：末整除的数的特征：末两位是两位是4 4的倍数；能被的倍数；能被5 5整除的数的特征：末位是整除的数的特征：末位是0 0或或5 5；能被；能被6 6整除的数的特征：各位上数字之和是整除的数的特征：各位上数字之和是3 3的倍数的偶数的倍数的偶数.排队、排节目顺序问题排队、排节目顺序问题排队、排节目问题的解题策略排队、排节目问题的解题策略(1)(1)合理归类，要将题目大致归类，常见的类型有特殊元素、合理归类，要将题目大致归类，常见的类型有特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等
17、，再针对每一类采用相应特殊位置、相邻问题、不相邻问题等，再针对每一类采用相应的方法解题的方法解题.(2)(2)恰当结合，排列问题的解决离不开两个计数原理的应用，恰当结合，排列问题的解决离不开两个计数原理的应用，解题过程中要恰当结合两个计数原理解题过程中要恰当结合两个计数原理.(3)(3)正难则反，这是一个基本的数学思想，巧妙应用排除法可正难则反，这是一个基本的数学思想，巧妙应用排除法可起到事半功倍的效果起到事半功倍的效果.【典例训练【典例训练】1.1.某台小型晚会由某台小型晚会由6 6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一
18、位，节目丙必须排在最必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位该台晚会节目演出顺序的编排方案共有后一位该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()()(A)36(A)36种种 (B)42(B)42种种 (C)48(C)48种种 (D)54(D)54种种2.2.记者要为记者要为5 5名志愿者和他们帮助的名志愿者和他们帮助的2 2位老人拍照，要求排成一位老人拍照，要求排成一行，行，2 2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()()(A)1440(A)1440种种 (B)960(B)960种种 (C)720(C)720种种 (D)480(D)480
19、种种3.3.三个女生和五个男生排成一排，三个女生和五个男生排成一排，(1)(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？如果女生全排在一起，有多少种不同排法？(2)(2)如果女生互不相邻，有多少种不同排法？如果女生互不相邻，有多少种不同排法？(3)(3)如果女生不站两端，有多少种不同排法？如果女生不站两端，有多少种不同排法？(4)(4)如果甲、乙两人必须站两端，有多少种不同的排法？如果甲、乙两人必须站两端，有多少种不同的排法？(5)(5)如果甲不站左端，乙不站右端，有多少种不同排法？如果甲不站左端，乙不站右端，有多少种不同排法？【解析【解析】1.1.选选B.B.先排丙：只有一种排法；若甲排第一位
20、，则其先排丙：只有一种排法；若甲排第一位，则其余余4 4个节目共有个节目共有 2424种排法种排法若甲排第二位，乙有若甲排第二位，乙有3 3种排法，其余种排法，其余3 3个节目共有个节目共有 种排法种排法33 18,18,共有共有242418184242种编排方案种编排方案44A33A33A2.2.选选B.B.先将先将5 5名志愿者排好，有名志愿者排好，有 种方法种方法.由于由于2 2位老人相邻但位老人相邻但不排在两端，必须将他们排在不排在两端，必须将他们排在5 5名志愿者之间的名志愿者之间的4 4个空位上，有个空位上，有4 4种方法，最后把种方法，最后把2 2位老人进行全排列有位老人进行全排
21、列有 种方法种方法.根据分步乘根据分步乘法计数原理知不同的排法有法计数原理知不同的排法有4 4 =4 =42 25 54 43 32 21=960(1=960(种种).).55A22A22A55A3.(1)(3.(1)(捆绑法捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有这样同五个男生合在一起有6 6个元素，排成一排有个元素，排成一排有 种排法，种排法，而每一种排法中，三个女生间又有而每一种排法中，三个女生间又有 种排法，因此共有种排法，因此共有 4 3204 320种不同排法种不同排法.(2)(2)(插空法插空法)先排先排5
22、5个男生，有个男生，有 种排法，这种排法，这5 5个男生之间和两个男生之间和两端有端有6 6个位置，从中选取个位置，从中选取3 3个位置排女生，有个位置排女生，有 种排法，因此种排法，因此共有共有 14 40014 400种不同排法种不同排法.6363A A55A66A36A55A36A33A(3)(3)方法一方法一(位置分析法位置分析法)：因为两端不排女生，只能从：因为两端不排女生，只能从5 5个男生个男生中选中选2 2人排列，有人排列，有 种排法，剩余的位置没有特殊要求，有种排法，剩余的位置没有特殊要求，有 种排法，因此共有种排法，因此共有 14 40014 400种不同排法种不同排法.方
23、法二方法二(元素分析法元素分析法)：从中间：从中间6 6个位置选个位置选3 3个安排女生，有个安排女生，有 种排法，其余位置无限制，有种排法，其余位置无限制，有 种排法，因此共有种排法，因此共有 14 40014 400种不同排法种不同排法.25A66A25A66A36A55A36A55A方法三方法三(间接法间接法)：3 3个女生和个女生和5 5个男生排成一排共有个男生排成一排共有 种不同种不同的排法，从中扣除女生排在首位的的排法，从中扣除女生排在首位的 种排法和女生排在末种排法和女生排在末位的位的 种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位
24、的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有 种不同的排法，所以共有种不同的排法，所以共有 -2 -2 14 40014 400种不同种不同的排法的排法.88A1737A A1737A A2636A A88A1737A A2636A A(4)(4)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有 种，其种，其余余6 6人全排列，有人全排列，有 种所以共有种所以共有 1 4401 440种不同的排法种不同
25、的排法.(5)(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置方法一方法一(特殊元素法特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有甲在最右边时，其他的可全排，有 种种2626A A22A66A77A甲不在最右边时，可从余下甲不在最右边时，可从余下6 6个位置中任选一个，有个位置中任选一个，有 种；而种；而乙可排在除去最右边位置后剩余的乙可排在除去最右边位置后剩余的6 6个中的任一个上，有个中的任一个上，有 种，其余人全排列，共有种，其余人全排列，共有 种种由分类加法计数原理得：由分类加法计数原理得：30 96030 960种种.116666A A A16A16
26、A77A116666A A A方法二方法二(特殊位置法特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有先排最左边，除去甲外，有 种，余下种，余下7 7个位置全排列，有个位置全排列，有种，但应剔除乙在最右边时的排法种，但应剔除乙在最右边时的排法 种种所以共有所以共有 -30 96030 960种种.1777A A1666A A17A77A1666A A方法三方法三(间接法间接法)：8 8个人全排，共个人全排，共 种种.其中，不符合条件的有甲在最左边时其中，不符合条件的有甲在最左边时种，乙在最右边时种，乙在最右边时 种，其中都包含了甲在最左边，同时乙种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有在最右
27、边的情形，有 种种所以共有所以共有 -2 -2 30 96030 960种种.88A66A77A77A88A77A66A【想一想【想一想】对于题对于题3 3中的中的(5)(5)解答时应注意什么？如何解决排队解答时应注意什么？如何解决排队问题？问题？提示：提示：(1)(1)通过对题通过对题3 3中的中的(5)(5)利用的三种不同的方法，前两种利用的三种不同的方法，前两种在思维上较复杂，第三种方法利用间接法，比较方便，但要注在思维上较复杂，第三种方法利用间接法，比较方便，但要注意不重不漏意不重不漏.(2)(2)处理排队和节目顺序安排问题时，元素处理排队和节目顺序安排问题时，元素“相邻相邻”、“不相
28、不相邻邻”问题应遵循问题应遵循“先整体后局部先整体后局部”的原则，元素相邻问题一般的原则，元素相邻问题一般用用“捆绑法捆绑法”，元素不相邻问题一般用，元素不相邻问题一般用“插空法插空法”【易错误区【易错误区】对特殊元素考虑不周导致失误对特殊元素考虑不周导致失误【典例【典例】4 4名运动员参加名运动员参加4 4100100接力赛，根据平时队员训练的接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有有()()(A)12(A)12种种 (B)14(B)14种种 (C)16(C)16种种 (D)24(D)24种种【解
29、题指导【解题指导】【解析【解析】选选B.B.用排除法，若不考虑限制条件，用排除法，若不考虑限制条件，4 4名队员全排列名队员全排列共有共有 种排法，除甲跑第一棒有种排法，除甲跑第一棒有 种排法种排法,乙跑乙跑第四棒有第四棒有 种排法种排法,再加上甲在第一棒且乙在第四棒有再加上甲在第一棒且乙在第四棒有 种排法，共有种排法，共有 种不同的出场顺序种不同的出场顺序.44A2433A633A622A2432432A2AA14【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：解题启示总结如下：(注：此处的注：此处的见解析过程见解析过程
30、)常常见见错错误误 选选D D 解答本题过程中若没有考虑到甲不能跑第一棒，解答本题过程中若没有考虑到甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒这个约束条件则容易盲目求解，乙不能跑第四棒这个约束条件则容易盲目求解，而直接得到而直接得到处的结果，从而错选处的结果，从而错选D.D.选选A A 解答本题过程中，若排除甲在第一棒中的解答本题过程中，若排除甲在第一棒中的处，处，乙跑第四棒的乙跑第四棒的处，两次都减去了甲在第一棒处，两次都减去了甲在第一棒且乙在第四棒的情况，则得到错误的结论且乙在第四棒的情况，则得到错误的结论 出错原因是对问题的分析不严密，是出错原因是对问题的分析不严密，是考试中常见的错误，也是得不到分
31、的重要原因考试中常见的错误，也是得不到分的重要原因.4343A2A.解解题题启启示示解决此类问题使用典型的通解解决此类问题使用典型的通解(即间接法即间接法)不易出现不易出现重复或遗漏，使用特殊位置或特殊元素法时，易重重复或遗漏，使用特殊位置或特殊元素法时，易重复计数且易将题目的解答弄混复计数且易将题目的解答弄混.【即时训练【即时训练】星期一共排六节不同的课星期一共排六节不同的课.(1)(1)若第一节排数学或第六节排体育，不同的排法有若第一节排数学或第六节排体育，不同的排法有_种；种；(2)(2)若第一节不排体育，第六节不排数学，不同的排法有若第一节不排体育，第六节不排数学，不同的排法有_种种.
32、【解析【解析】(1)(1)数学排在第一节有数学排在第一节有 种排法，体育排在第六节有种排法，体育排在第六节有 种排法，数学排在第一节且体育排在第六节有种排法，数学排在第一节且体育排在第六节有 种排法，种排法，故第一节排数学或第六节排体育共有故第一节排数学或第六节排体育共有 =216=216种排法种排法.554554AAA55A55A44A(2)(2)若不考虑限制条件，六节课全排列共有若不考虑限制条件，六节课全排列共有 种排法，体育排种排法，体育排在第一节有在第一节有 种排法种排法,数学排在第六节有数学排在第六节有 种排法种排法,体育排体育排在第一节且数学排在第六节有在第一节且数学排在第六节有 种排法，所以共有种排法，所以共有 -2 +=504-2 +=504种不同的排法种不同的排法.答案：答案：(1)216 (2)504(1)216 (2)504 66A55A55A44A66A55A44A
