1、层次分析法层次分析法Analytic Hierarchy ProcessAHPy问题的提出问题的提出 例例1 1 购物购物 买钢笔，一般要依据买钢笔，一般要依据质量质量、颜色颜色、实用性实用性、价格价格、外形外形等方面的因素选择某一支钢笔。等方面的因素选择某一支钢笔。例例2 2 旅游旅游 假期旅游，是去风光秀丽的假期旅游，是去风光秀丽的苏州苏州，还是去迷人的，还是去迷人的北北戴河戴河，或者是去山水甲天下的，或者是去山水甲天下的桂林桂林，一般会依据，一般会依据景色景色、费用费用、食宿条件食宿条件、旅途旅途等因素选择去哪个地方。等因素选择去哪个地方。例例3 3 择业择业 面临毕业，可能有面临毕业，
2、可能有高校高校、科研单位科研单位、企业企业等单位可以去等单位可以去选择，一般依据选择，一般依据工作环境工作环境、工资待遇工资待遇、发展前途发展前途、住房条住房条件件等因素择业。等因素择业。例例4 4 科研课题的选择科研课题的选择 由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的据课题的可行性可行性、应用价值应用价值、理论价值理论价值、培养人才培养人才等因素等因素进行选题。进行选题。面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策最后作出决策。这个过程。这个过程主观因素主观因素占有相当的比
3、重占有相当的比重给用数学方法解决问题带来不便。给用数学方法解决问题带来不便。Saaty于于1970年代提出层次分析法年代提出层次分析法 AHP(Analytic Hierarchy Process)AHP-AHP-这是一种这是一种定性和定量定性和定量相结合的、系统化的、层相结合的、系统化的、层次化的分析方法。次化的分析方法。层次分析法的基本原理层次分析法的基本原理 目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途一一.层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤例例.选择旅游地选择旅游
4、地如何在如何在3 3个目的地中按照景色、个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择费用、居住条件等因素选择.目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所有因素影响，称为有因素影响，称为完全层次结构完全层次结构，否则称为，否则称为不完全层次结构不完全层次结构。“选择旅游地选择旅游地”思维过程的归纳思维过程的归纳 将决策问题分为将决策问题分为3个层次：目标层个层次：目标层O
5、，准则层，准则层C，方案层方案层P；每层有若干元素，；每层有若干元素，各层元素间的关系各层元素间的关系用相连的直线表示。用相连的直线表示。通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。案对每一准则的权重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。ijjiijnnijaaaaA1,0,)(层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤成对比较
6、阵成对比较阵和权向量和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度。元素之间两两对比，对比采用相对尺度。设要比较各准则设要比较各准则C1,C2,Cn对目标对目标O的重要性的重要性:ijjiaCC:选选择择旅旅游游地地1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AC1C4C3C2C1C2C3C4C5C5要由要由A确定确定C1,Cn对对O的权向量的权向量1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AC1C4C3C2C1C2C3C4C5C5C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途a23=7:表明确定费
7、用表明确定费用C2和居住和居住 C3对目标的影响程度是对目标的影响程度是7:1nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA21222121211171242/11A成对比较的不一致情况成对比较的不一致情况):(2/12112CCa):(43113CCa):(83223CCa 一致比较一致比较不一致不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况考察完全一致的情况12(1),nWw ww重重量量等等于于jiijwwa/令权向量),(21Tnwwww成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量wAwnnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA21
8、2221212111成对比较完全一致的情况成对比较完全一致的情况nkjiaaaikjkij,2,1,满足满足的正互反阵的正互反阵A称称一致阵一致阵，如，如 A的秩为的秩为1，A的唯一非零特征根为的唯一非零特征根为n A的任一列向量是对应于的任一列向量是对应于n 的特征向量的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量的归一化特征向量可作为权向量对于不一致对于不一致(但在允许范围内但在允许范围内)的成对的成对比较阵比较阵A，SaatySaaty建议用对应于最大特建议用对应于最大特征根征根 的特征向量作为权向量的特征向量作为权向量w，即，即一致阵一致阵性质性质成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量2 4
9、 6 8比较尺度比较尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度aij 取值取值1,2,9及其互反数及其互反数1,1/2,1/9尺度尺度 1 3 5 7 9 ija相同相同 稍强稍强 强强 明显强明显强 绝对强绝对强的重要性jiCC:jiCC:aij=1,1/2,1/9的重要性与上面相反的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个个 用用13,15,117,1p9p(p=2,3,4,5),d+0.1d+0.9(d=1,2,3,4)等等27种比较尺度对若干实例构造成对比较种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，阵，算出
10、权向量，与实际对比发现，19尺度较优。尺度较优。便于定性到定量的转化：便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量CiCjCiCjCiCjCiCjCiCj一致性检验一致性检验对对A确定不一致的允许范围确定不一致的允许范围已知：已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：可证：n 阶正互反阵最大特征根阶正互反阵最大特征根 n,且且 =n时为一致阵时为一致阵由于由于 连续的依赖于连续的依赖于 aij,则则 比比n n大的越多，大的越多，A A的不一致性越严的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为权向量，用以比较因重。用最大特征值对应的特征向量作为权向
11、量，用以比较因素对上层某因素影响程度，其不一致程度越大，引起的判断素对上层某因素影响程度，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用误差越大。因而可以用 -n 数值的大小来衡量数值的大小来衡量 A A的不一致程的不一致程度度一致性检验一致性检验对对A确定不一致的允许范围确定不一致的允许范围CI 越大，不一致越严重越大，不一致越严重max1nCIn定义定义:一致性指标一致性指标 Consistency Index(CI)其中其中n n为为A A 的对角线元素之和，也为的对角线元素之和，也为A A的特征根之和。的特征根之和。RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.4
12、1 1.45 1.49 1.51 n1 234567891110定义定义:随机一致性指标随机一致性指标 Random Index(RI)为衡量为衡量CI 的大小的大小50021,CICICI12500125005005001nCICICIRIn则可得一致性指标则可得一致性指标 随机一致性指标随机一致性指标 RI RI 的数值：的数值：50021,AAASaatySaaty随机构造随机构造500500个成对比较矩阵个成对比较矩阵当当 n3时，判断矩阵永远具有完全一致性。时，判断矩阵永远具有完全一致性。CICRRI定义定义:随机一致性比率随机一致性比率 Consistency Ratio(RI)当
13、当 CR 0.10 时，便认为判断矩阵具有可以接受的一致时，便认为判断矩阵具有可以接受的一致性。从而通过一致性检验性。从而通过一致性检验 当当CR 0.10 时，就需要调整和修正判断矩阵，使其满时，就需要调整和修正判断矩阵，使其满足足CR 0.10，从而具有满意的一致性。，从而具有满意的一致性。所谓所谓一致性检验：一致性检验：利用随机一致性比率利用随机一致性比率CR0.1CR0.1及随机一致性指标的数值表，对及随机一致性指标的数值表，对A A进行检验的过程。进行检验的过程。“选择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验1135/13/11125/1
14、3/13/12/117/14/1557123342/11A准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根=5.073权向量权向量(特征向量特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.0155073.5CI一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12(查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.016 0.05，需返回第二步作进一步计算。需返回第二步作进一步计算。幂法幂法（22）(2)(1)wAw14/16/1412/1621（32）2687.09805.0785.1列向量归一化05.005.0
15、05.0088.0346.0566.00885.03232.05883.0（42）各项差别均小于 0.05，可进入第五步计算特征值。可进入第五步计算特征值。2687.09805.0785.1088.0346.0566.0幂法幂法(5)034.3)0885.02687.03232.09805.0588.0785.1(31wT 精确(0.588,0.322,0.090)3.010和法(0.587,0.324,0.089)3.009根法(0.587,0.324,0.089)3.009幂法(0.588,0.323,0.089)3.034各种方法结果比较：幂法幂法四四.层次分析法实例层次分析法实例 p1
16、p2p3p4p5p6p1p2p3p4p5p6 p1p2p3p4p5p6p1p2p3p4p5p6 p1p2p3p4p5p6p1p2p3p4p5p6 p1p2p3p4p5p6p1p2p3p4p5p6 p1p2p3p4p5p6p1p2p3p4p5p6 p1p2p3p4p5p6p1p2p3p4p5p6 p1p2p3p4p5p6p1p2p3p4p5p6k10.140.620.240.580.320.1020.240.620.1430.070.650.2840.060.470.475层次总排序（组合权向量）层次总排序（组合权向量）w(2)0.160.180.200.050.160.250.050.150.
17、806甲甲乙乙丙丙 甲乙丙三人的总得分，亦即方案层对目标的组合权甲乙丙三人的总得分，亦即方案层对目标的组合权向量为向量为(0.3576,0.4372,0.2182)T五五.层次分析法的广泛应用层次分析法的广泛应用 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。产业结构，教育，医疗，环境，军事等。处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决建立层次分析结构
18、模型是关键一步，要有主要决策层参与。策层参与。构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。断力强的专家给出。国家综合实力国家综合实力国民国民收入收入军事军事力量力量科技科技水平水平社会社会稳定稳定对外对外贸易贸易美、俄、中、日、德等大国美、俄、中、日、德等大国工作选择工作选择贡贡献献收收入入发发展展声声誉誉关关系系位位置置供选择的岗位供选择的岗位例例1 国家国家实力分析实力分析例例2 工作选择工作选择过河的效益过河的效益 A经济效益经济效益B1社会效益社会效益B2环境效益环境效益B3节节省省时时间间C1收收入入C2岸岸间间商商业业C3当
19、当地地商商业业C4建建筑筑就就业业C5安安全全可可靠靠C6交交往往沟沟通通C7自自豪豪感感C8舒舒适适C9进进出出方方便便C10美美化化C11桥梁桥梁D1隧道隧道D2渡船渡船D3（1）过河效益层次结构）过河效益层次结构例例3 横渡横渡江河、海峡江河、海峡方案的抉择方案的抉择过河的代价过河的代价 A经济代价经济代价 B1环境代价环境代价B3社会代价社会代价B2投投入入资资金金C1操操作作维维护护C2冲冲击击渡渡船船业业C3冲冲击击生生活活方方式式C4交交通通拥拥挤挤C5居居民民搬搬迁迁C6汽汽车车排排放放物物C7对对水水的的污污染染C8对对生生态态的的破破坏坏C9桥梁桥梁D1隧道隧道D2渡船渡船
20、D2（2）过河代价层次结构）过河代价层次结构例例3 横渡横渡江河、海峡江河、海峡方案的抉择方案的抉择待评价的科技成果待评价的科技成果直接直接经济经济效益效益 C11间接间接经济经济效益效益 C12社会社会效益效益 C13学识学识水平水平 C21学术学术创新创新 C22技术技术水平水平 C23技术技术创新创新 C24效益效益C1水平水平C2规模规模C3科技成果评价科技成果评价例例4 科技成果科技成果的综合评价的综合评价六六.层次分析法的若干问题层次分析法的若干问题 为什么用特征向量作为权向量？为什么用特征向量作为权向量？当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用当层次结构不完全或成对比较阵有空缺
21、时怎样用层次分析法？层次分析法？1.特征向量作为权向量特征向量作为权向量成对比较的多步累积效应成对比较的多步累积效应问题问题一致阵一致阵A,权向量权向量w=(w1,wn)T,aij=wi/wjA不一致不一致,应选权向量应选权向量w使使wi/wj与与 aij相差相差尽量小（对所有尽量小（对所有i,j)。211),1(min ninjjiijniwwwai用拟合方法确定用拟合方法确定w非线性非线性最小二乘最小二乘211),1(lnlnmin ninjjiijniwwwai线性化线性化对数最小二乘对数最小二乘结果与根法相同结果与根法相同 按不同准则确定的权向量不按不同准则确定的权向量不同，特征向量有
22、什么优点。同，特征向量有什么优点。成对比较成对比较Ci:Cj(直接比较）直接比较）aij 1 1步强度步强度)()2(2ijaA sjnsisijaaa1)2(aisasj Ci通过通过Cs 与与Cj的比较的比较aij(2)2步强度步强度更能反映更能反映Ci对对Cj 的强度的强度步强度kaaAkijkijk),()()(多步累积效应多步累积效应体现体现多步累积效应多步累积效应),1,)()()()(00nsaaaakkkjikjskiskjskis（或定理定理1 1weAeeAkTkklim特征向量体现特征向量体现多步累积效应多步累积效应当当k足够大足够大,Ak第第i行元素反映行元素反映Ci的
23、权重的权重求求Ak的行和的行和2.不完全层次结构中组合权向量的计算不完全层次结构中组合权向量的计算完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联不完全层次结构不完全层次结构设第设第2层对第层对第1层权向量层权向量w(2)=(w1(2),w2(2)T已定已定第第3层对第层对第2层权向量层权向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得已得讨论由讨论由w(2),W(3)=(w1(3),w2(3)计算计算第第3层对第层对第1层权向量层权向量w(3）的方法的方法贡献贡献O教学教学C1
24、科研科研C2P2 P1P3P4例例:评价教师贡献的层次结构评价教师贡献的层次结构P1,P2只作教学只作教学,P4只作科研只作科研,P3兼作教学、科研。兼作教学、科研。C1,C2支配元素的数目不等支配元素的数目不等 不考虑支配元素数目不等的影响不考虑支配元素数目不等的影响)2()3()3(wWw 仍用仍用 计算计算需要对需要对w(2)加权修正加权修正 若若C1,C2重要性相同重要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T,P1P4能力相同能力相同,w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正的评价应为：公正的评价应为：P1:P2:P3:P4=1:1:2:
25、1w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)T这是不合理的这是不合理的考察一个特例：考察一个特例：)/(),()2(22)2(11)2(22)2(11)2(wnwnwnwnwT用支配元素数目用支配元素数目n1,n2对对w(2)加权修正加权修正 支配元素越多权重越大支配元素越多权重越大 再用再用 计算计算)2()3()3(wWww(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)TTwnn)5/2,5/3(,2,3)2(21 支配元素越多权重越小支配元素越多权重越小适用于教师的教学、科研任适用于教师的教学、科研任务由上级安排务由上级安排适用于教师的教学、科研靠适用于教师的教学、科研靠个人积极性个人积
26、极性用支配元素数目用支配元素数目n1,n2 的倒数对的倒数对w(2)加权修正加权修正(2)(2)(2)(2)(2)12121212(,)/()Twwwwwnnnn3.残缺成对比较阵的处理残缺成对比较阵的处理12/1/212/1/211331wwwwCwCw22/10212/1022AwwAjimajiajiaaiijijijij,1,0,miA第第i 行行中中 的个数的个数12/1212/121A例 为残缺元素为残缺元素辅助矩阵辅助矩阵Tw)1429.0,2857.0,5714.0(,34.更复杂的层次结构更复杂的层次结构 递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和递阶层次结构：层内各元素独立
27、，无相互影响和支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。更复杂的层次结构：更复杂的层次结构：层内各元素间存在相互影响层内各元素间存在相互影响或支配；层间存在反馈或循环。或支配；层间存在反馈或循环。制动制动底盘底盘车轮车轮方向盘方向盘发动机发动机减震装置减震装置刹车刹车转向转向运行运行加速性能加速性能汽车行驶性能汽车行驶性能汽车汽车1汽车汽车2汽车汽车n例例 层次分析法的优点层次分析法的优点 系统性系统性将对象视作系统，按照分解、比较、判断、将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策综合的思维方式进行决策系统分析（与机理分析、系统分析（与机理分析、测试分析并列）；测试分析并列）；实用性实用性定性与定量相结合，能处理传统的优化方定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；法不能解决的问题；简洁性简洁性计算简便，结果明确，便于决策者计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。直接了解和掌握。层次分析法的局限层次分析法的局限 囿旧囿旧只能从原方案中选优，不能产生新方案；只能从原方案中选优，不能产生新方案；粗略粗略定性化为定量，结果粗糙；定性化为定量，结果粗糙；主观主观主观因素作用大，结果可能难以服人。主观因素作用大，结果可能难以服人。
