1、微专题12-与圆有关的定点、定值、最值、范围问题真 题 感 悟(2019全国卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，AB4，M过点A，B且与直线x20相切.(1)若A在直线xy0上，求M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，MAMP为定值？并说明理由.解(1)因为M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线xy0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设M(a，a).因为M与直线x20相切，所以M的半径为r|a2|.连接MA，由已知得AO2.又MOAO，故可得2a24(a2)2，解得a0或a4.故M的半径r2或r6.(2)存在定点P(1，0)，使得MAMP为
2、定值.理由如下：设M(x，y)，由已知得M的半径为r|x2|，AO2.由于MOAO，故可得x2y24(x2)2,化简得M的轨迹方程为y24x.因为曲线C：y24x是以点P(1，0)为焦点，以直线x1为准线的抛物线，所以MPx1.因为MAMPrMPx2(x1)1，所以存在满足条件的定点P.考 点 整 合1.最值与范围问题(3)对于圆的方程也可以利用三角代换，转化为三角函数问题：对于圆(xa)2(yb)2r2，可设xarcos，ybrsin.2.定点问题的求解步骤(1)选参变量：需要证明过定点的动直线(曲线)往往随着某一个量的变化而变化，可以选择这个量为参变量.(2)求动直线(曲线)方程：求出含上
3、述参变量的动直线(曲线)方程，通过消元或整体思想，使得方程只含有一个参量(当根据几何条件建立的等式中含有多个参量时，要注意区别对待，与动点、动直线、动圆有关的参量是主要参量，其他参量可看作系数).(3)定点：求出定点坐标.利用方程axb0恒成立来处理定点问题.在处理时也可以用从特殊到一般的思想，先求出一个特殊点，再代入进行验证.3.定值问题的处理(1)可以直接求出相关等式，再论证该等式与参数无关，类似于三角化简求值.(2)也可以用从特殊到一般的思想，先让参数取特殊值来论证性质，再将性质推广至一般情形.热点一最值与范围问题又M(a，0)在l的下方，8a30，8a35，a1.故圆M的方程为(x1)
4、2y21.(2)由已知可设AC的斜率为k1，BC的斜率为k2(k1k2)，则直线AC的方程为yk1xt，直线BC的方程为yk2xt6.ABt6t6，5t2，2t31，8t26t14，探究提高直线与圆中的最值问题主要包含两个方面(1)参量的取值范围：由直线和圆的位置关系或几何特征，引起的参量如k，b，r的值变化.此类问题主要是根据几何特征建立关于参量的不等式或函数.(2)长度和面积的最值：由于直线或圆的运动，引起的长度或面积的值变化.此类问题主要是建立关于与参数如k或(x，y)的函数，运用函数或基本不等式求最值.【训练1】已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2
5、)求x2y2的最大值和最小值.解由x2y24x10得(x2)2y23，(2)x2y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，过原点和圆心的直线与圆有两个交点，在这两个交点处x2y2取得最值.热点二与圆有关的定点问题【例2】(2019北京卷)已知抛物线C：x22py(p0)经过点(2，1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.(1)解由抛物线C：x22py经过点(2，1)得p2.所以抛物线C的方程为x24y，其准线方程为y1.
6、(2)证明抛物线C的焦点为F(0，1).设直线l的方程为ykx1(k0).设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则解方程得从而x1x24.故以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，3).探究提高圆锥曲线中的定值与定点问题是高考的常考题型，运算量较大，题目逻辑性较强.解决这类问题一般有两种方法：一是根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程组，消去参数，求出定值或定点坐标；二是先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证.【训练2】已知圆x2y29的圆心为P，点Q(a，b)在圆P外，以PQ为直径作圆M与圆P相交于A，B两点.(1)试判断直线QA与圆P的位置关系；(2)若
7、QAQB4，试问点Q在什么曲线上运动？(3)若点Q在直线xy90上运动，问：直线AB是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.解(1)因为以PQ为直径的圆M与圆P相交于A，B，所以PAQA，又AP为圆P的半径，所以AQ为圆P的切线，从而直线QA与圆P相切.故点Q在以P为圆心，5为半径的圆上运动.(3)因为点Q(a，b)在直线xy90上，所以点Q(a，9a)，所以，以PQ为直径的圆M的方程为x2y2ax(9a)y0，又AB为圆P与圆M的公共弦，所以直线AB的方程为ax(9a)y90，即a(xy)9y90，从而此直线过xy0与9y90的交点，即过定点(1，1).热点三与圆有关的
8、定值问题解(1)连接OP，OA，OB，因为PA，PB为过点P的圆O的切线，切点为A，B，所以OAPA，OBPB.因为APB60，APO30，在RtAPO中，OA1，所以OP2.(2)假设存在符合条件的定点R.上式对任意x，yR，且x2y21恒成立，探究提高本题考查直线与圆相切问题以及定值问题.相切问题的基本处理方法是将切点与圆心连接，从而它与切线相互垂直，利用这一直角来进行转化研究问题；第(2)问是探索性问题，在研究探索性问题时，先假设存在是一般性的处理方法，其次将所要研究的问题转化为关于点M的坐标为元的方程问题，利用该方程的解与点M的坐标无关来研究问题.【训练3】(2019泰州中学检测)已知
9、圆O：x2y24与坐标轴交于点A1，A2，B1，B2(如图).(1)点Q是圆O上除A1，A2外的任意点(如图1)，A2Q，A1Q与直线y30交于不同的两点M，N，求MN的最小值；(2)点P是圆O上除A1，A2，B1，B2外的任意点(如图2)，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E.设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2mk为定值.故线段MN长度的最小值是2.直线A1Q与直线y30的交点为N(3k2，3)，(2)证明由题意可知点A1(2，0)，A2(2，0)，B1(0，2)，B2(0，2)，A2P的斜率为k，所以直线A2P的方程为yk(x2)，因为直线A1B2的方程为xy20，【新题感悟】(2019苏北七市高三一模)在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2y21，圆C：(x4)2y24.若存在过点P(m，0)的直线l，l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围是_.
