1、6数列数列（含解析）（含解析） 一、选择题一、选择题 【2017，4】记 n S为等差数列 n a的前n项和若 45 24aa， 6 48S ，则 n a的公差为（ ） A1 B2 C4 D8 【2017，12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们 推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2， 1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，21，再接下来的三 项是 20，21，22，依此类推求满足如下条件的最小整数 N：N100 且该数列的前 N 项和
2、为 2 的整数幂那 么该款软件的激活码是（ ） A440 B330 C220 D110 【2016，3】已知等差数列 n a前9项的和为27，8 10 a，则 100 a（ ） A100 B99 C98 D97 【2013，7】设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sm12，Sm0，Sm13，则 m( ) A3 B4 C5 D6 【2013，12】设AnBnCn的三边长分别为 an，bn，cn，AnBnCn的面积为 Sn，n1,2,3，.若 b1c1，b1 c12a1，an1an，bn1 2 nn ca ，cn1 2 nn ba ，则( ) ASn为递减数列 BSn为递增数列 CS2n1为
3、递增数列，S2n为递减数列 DS2n1为递减数列，S2n为递增数列 【2013，14】若数列an的前 n 项和 21 33 nn Sa，则an的通项公式是 an_ 【2012，5】已知 n a为等比数列， 47 2aa， 56 8a a ，则 110 aa（ ） A7 B5 C5 D7 二、填空题二、填空题 【2016，15】设等比数列 n a满足10 31 aa，5 42 aa，则 12n a aaL的最大值为 【2012，16】数列 n a满足 1 ( 1)21 n nn aan ，则 n a的前 60 项和为_ 三、解答题三、解答题 【2015，17】 n S为数列 n a的前n项和已知
4、 n a0， 2 243 nnn aaS （）求 n a的通项公式； （）设 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 【2014，17】已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 a=1，0 n a ， 1 1 nnn a aS ，其中为常数 ()证明： 2nn aa ； （）是否存在，使得 n a为等差数列？并说明理由 【2011，17】等比数列 n a的各项均为正数，且 2 12326 231,9.aaaa a （)求数列 n a的通项公式； （）设 31323 logloglog, nn baaa求数列 1 n b 的前 n 项和 6数列数列（解析版）（解析版） 一、选
5、择题一、选择题 【2017，4】记 n S为等差数列 n a的前n项和若 45 24aa， 6 48S ，则 n a的公差为（ ） A1 B2 C4 D8 （4）【解析】 4511 3424aaadad， 61 65 648 2 Sad ，联立求得 1 1 2724 61548 ad ad 3 得21 1524d，624d ，4d ，选 C； 【2017，12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们 推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2， 1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，其中
6、第一项是 20，接下来的两项是 20，21，再接下来的三 项是 20，21，22，依此类推求满足如下条件的最小整数 N：N100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂那 么该款软件的激活码是（ ） A440 B330 C220 D110 【解析】设首项为第 1 组，接下来两项为第 2 组，再接下来三项为第 3 组，以此类推 设第n组的项数为n，则n组的项数和为 1 2 nn ，由题，100N ，令 1 100 2 nn 14n且 * nN， 即N出现在第 13 组之后，第n组的和为 12 21 12 n n ，n组总共的和为 2 12 22 12 n n nn ， 若要使前N项和为 2 的整
7、数幂，则 1 2 nn N 项的和2 1 k 应与2n 互为相反数， 即 * 21214 k n kn N ， ， 2 log3kn，295nk，则 29129 5440 2 N ， 故选 A； 【2016，3】已知等差数列 n a前9项的和为27，8 10 a，则 100 a（ ） A100 B99 C98 D97 【解析】由等差数列性质可知： 19 5 95 992 927 22 aaa Sa ，故 5 3a ，而 10 8a，因此公差 105 1 105 aa d 10010 9098aad故选 C 【2013，7】设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sm12，Sm0，Sm13，则
8、 m( ) A3 B4 C5 D6 解析：解析：Sm12，Sm0，Sm13，amSmSm10(2)2，am1Sm1Sm303. dam1am321. Smma1 1 2 m m 10， 1 1 2 m a . 又am1a1m 13， 1 3 2 m m . m5.故选 C. 【2013，12】设AnBnCn的三边长分别为 an，bn，cn，AnBnCn的面积为 Sn，n1,2,3，.若 b1c1，b1 c12a1，an1an，bn1 2 nn ca ，cn1 2 nn ba ，则( ) ASn为递减数列 BSn为递增数列 CS2n1为递增数列，S2n为递减数列 DS2n1为递减数列，S2n为递
9、增数列 答案：答案：B 【2013，14】若数列an的前 n 项和 21 33 nn Sa，则an的通项公式是 an_. 解析：解析： 21 33 nn Sa， 当 n2 时， 11 21 33 nn Sa . ，得 1 22 33 nnn aaa ，即 1 n n a a 2，a1S1 1 21 33 a ，a11. an是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，an(2)n 1. 【2012，5】已知 n a为等比数列， 47 2aa， 56 8a a ，则 110 aa（ ） A7 B5 C5 D7 【解析】因为 n a为等比数列，所以由已知得 47 4756 2 8 aa a aa a
10、，解得 4 7 2 4 a a 或 4 7 4 2 a a ， 所以 1 3 1 2 a q 或 1 3 8 1 2 a q ，因此 110 aa 9 1(1 )7aq ，故选择 D 二、填空题二、填空题 【2016，15】设等比数列 n a满足10 31 aa，5 42 aa，则 12n a aaL的最大值为 【解析】由于 n a是等比数列，设 1 1 n n aa q ，其中 1 a是首项，q是公比 2 1311 3 24 11 1010 5 5 aaaa q aa a qa q ，解得： 1 8 1 2 a q 故 4 1 2 n n a ， 32.4 12 1 . 2 n n aaa
11、2 11749 7 2224 11 22 n nn ， 当3n 或4时， 2 1749 224 n 取到最小值6，此时 2 1749 224 1 2 n 取 到最大值 6 2所以 12 . n aaa的最大值为 64 【2012，16】数列 n a满足 1 ( 1)21 n nn aan ，则 n a的前 60 项和为_ 【解析】 因为 1 ( 1)21 n nn aan ， 所以 21 1aa， 32 3aa， 43 5aa， 54 7aa， 65 9aa， 76 11aa， 5857 113aa， 5958 115aa， 6059 117aa 由 21 1aa， 32 3aa可得 13 2
12、aa； 由 65 9aa， 76 11aa可得 57 2aa； 由 5857 113aa， 5958 115aa可得 5759 2aa； 从而 1357575913575759 ()()()2 1530aaaaaaaaaaaa 又 21 1aa， 43 5aa， 65 9aa， 5857 113aa， 6059 117aa， 所以 2466013559 ()()aaaaaaaa 2143656059 ()()()()aaaaaaaa1 5 9117 30 118 1770 2 从而 24660 aaaa 13559 1770aaaa30 1770 1800 因此 6012345960 Saaa
13、aaa 13592460 ()()aaaaaa 30 18001830 三、解答题三、解答题 【2015，17】 n S为数列 n a的前n项和.已知 n a0， 2 243 nnn aaS. （）求 n a的通项公式； （）设 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和. 解： （）当1n 时， 2 1111 2434+3aaSa，因为0 n a ，所以 1 a=3， 当2n时， 22 11nnnn aaaa = 1 4343 nn SS =4 n a，即 111 ()()2() nnnnnn aaaaaa ， 因为0 n a ，所以 1 2 nn aa ， 所以数列 n a是
14、首项为3，公差为2的等差数列，且 n a=21n. （）由（）知， n b= 1111 () (21)(23)2 2123nnnn ，则数列 n b前n项和为 12n bbb= 1111111 ()()() 235572123nn = 11 646n . 【2014，17】已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 a=1，0 n a ， 1 1 nnn a aS ，其中为常数. ()证明： 2nn aa ； （）是否存在，使得 n a为等差数列？并说明理由. 【解析】 ：()由题设 1 1 nnn a aS ， 121 1 nnn aaS ，两式相减 121nnnn aaaa ，由于0 n
15、a ，所以 2nn aa 6 分 （）由题设 1 a=1， 121 1a aS，可得 21 1a，由()知 3 1a 假设 n a为等差数列，则 123 ,a a a成等差数列， 132 2aaa，解得4； 证明4时， n a为等差数列：由 2 4 nn aa 知 数列奇数项构成的数列 21m a 是首项为 1，公差为 4 的等差数列 21 43 m am 令21,nm则 1 2 n m ，21 n an(21)nm 数列偶数项构成的数列 2m a是首项为 3，公差为 4 的等差数列 2 41 m am 令2 ,nm则 2 n m ，21 n an(2 )nm 21 n an（ * nN） ，
16、 1 2 nn aa 因此，存在存在4，使得 n a为等差数列. 12 分 【2011，17】等比数列 n a的各项均为正数，且 2 12326 231,9.aaaa a （)求数列 n a的通项公式； （）设 31323 logloglog, nn baaa求数列 1 n b 的前 n 项和. 解： （I）设数列 n a的公比为q. 由 2 326 9aa a得 22 34 9aa，所以 2 1 9 q . 由条件可知0q ，故 1 3 q . 由 12 231aa得 11 231aa q，所以 1 1 3 a . 故数列 n a的通项公式为 1 3 n n a . （II） 31323 logloglog nn baaa 1 12 2 n n n . 故 1211 2 11 n bn nnn ， 12 111111112 21 22311 n n bbbnnn 所以数列 1 n b 的前n项和为 2 1 n n .
