1、二次函数的解析式二次函数的解析式【例1】已知函数f(x)ax2a2x2ba3，当x(2,6)时，f(x)0，当x(，2)(6，)时，f(x)0，且f(0)48，求f(x)22320260(2)(6)41244.821241648.f xaxxf xf xa xxaxaxaaaabbaaf xxx 依题意知函数的图象是抛物线，且开口向下，故，且 和 是 的两个根，则设函数，比较得，解得所以【解析】二次函数的表示方法有三种：一般式：yax2bxc(a0)；顶点式：ya(xb)2c(a0)；交点式ya(xx1)(xx2)(a0)根据条件可任选一种来表示二次函数本题采用了交点式根据题目条件，也可以采用
2、顶点式，因为x2或6是f(x)0的两个根，所以x2是其对称轴方程，22(2)0(2).(0)4816044486441648.ff xa xcfacaaccf xxx 于是设 由，即，得，所以【变式练习1】已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)在区间1,1上，函数f(x)的图象恒在直线y2xm的上方，求实数m的取值范围 2222222min1(0)(1)(1)112221.1111.1,11231.1(3)2121.)12(1f xaxbxaa xb xaxbxxabbaabbf xxxxxxxmxxmxxxmmm 设函数，则 ，整理得，
3、解得所以 当时，由 ，得 当 时，所以 ，则 故【解析】实数 的取值范围是 ，二次函数的零点分布二次函数的零点分布【例2】已知函数f(x)x22mx2m1的零点都在区间(0,1)上，求实数m的取值范围 222210,12210,1012120110(0)01(1)02112,21(,122f xxmxmf xxmxmxmmmmfmfmm 函数 的零点都在区间上，即函数 的图象与 轴的交点都在上，根据图象列出不等或式组，解得，所以所以实数 的取值范围是【】解析 二次函数的零点分布也即二次方程实根分布，若两个零点分布在同一区间，则其充要条件包含三个方面，即判别式大于等于0、对称轴在该区间上、区间端
4、点的函数值的符号(根据图象判断)；若两个零点分布在两个不同区间，则其充要条件包含一个方面，即区间端点的函数值的符号(根据图象判断)【变式练习2】已知函数f(x)x22mx2m1的在区间(1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数m的取值范围 22221(1,0)1,2221(1,0)1,2120102102514206265051,6251()62f xxmxmf xxmxmxfmfmfmmfmmm 函数 的零点分别在区间和上，即函数 的图象与 轴的交点一个在 上，一个在上，根据图象列出不等式组,解得，所以所以实数 的取值范围是 ，【解析】定二次函数在动区定二次函数在动区间上的最值间上的最值【
5、例3】函数f(x)x24x1在区间t，t1(tR)上的最大值记为g(t)(1)求g(t)的解析式；(2)求g(t)的最大值【解析】(1)对区间t，t1(tR)与对称轴x2的位置关系进行讨论：当t12，即t1时，函数f(x)在区间t，t1上递增，此时g(t)f(t1)t22t2；当t2t1，即1t2时，函数f(x)在区间t，t1上先增后减，此时g(t)f(2)3；222214122(1)3(12)241(2)3.tf xttg tf ttttttg tttttg t 当时，函数在区间，上递减，此时 ，综上，利用图象解得的最大值是 定二次函数在动区间上的最值，一般是对区间与对称轴的位置关系进行讨论
6、，讨论要按照顺序，不重复，不遗漏【变式练习3】已知函数f(x)x26x8，x1，a的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是_【解析】利用函数f(x)x26x8，x1，a的图象，知实数a的取值范围是(1,3(1,3 动二次函数在定区动二次函数在定区间上的最值间上的最值【例4】已知f(x)(43a)x22xa(aR)，求f(x)在0,1上的最大值 maxmax4430342.30,140.34430341()43003430,10.12aaf xxf xf xfaaaaxaf xf xfa若 ，则 ，所以 由于在上是减函数，所以若，即，分两种情况讨论：若，即，因为对称轴，所以在上是减函数，所以【】
7、解析 maxmax41()4300343112043231221124 0.243330,1222()32()3aaxaaaf xfaaf xfaaf xa aag aa a若，即，因为对称轴，故又分两种情况讨论：当，即时，；当，即时，综上所述，在上的最大值是关于 的函数 二次函数在闭区间上一定存在最大值和最小值，此类问题与区间和对称轴有关，一般分为三类：定区间，定轴；定区间，动轴，本题是这一类；动区间，动轴要认真分析对称轴与区间的关系，合理地进行分类讨论，特别要注意二次项系数是否为0.【变式练习4】已知二次函数f(x)x22ax1a在区间0,1上有最大值为2，求实数a的值【解析】根据对称轴x
8、a与区间0,1的关系讨论：当a1时，f(x)maxf(1)a2，所以实数a的值是1或2.二次函数综合应用二次函数综合应用【例5】二次函数f(x)4x22(p2)xp5在区间1,1上至少存在实数c，使f(c)0，求实数p的取值范围【解析】只需函数f(x)的图象从1,1上穿过(或f(x)0(1x1)恒成立)，等价条件是f(1)0或f(1)0.因为f(1)42(p2)p5p50，或f(1)42p4p533p0，所以p(，1)(5，)本题考查二次函数及其图象的综合分析能力，解答中，表面上看，只研究了函数图象从1,1上穿过，并没有讨论图象与x轴无交点的情况事实上，函数图象若与x轴无交点，由于图象开口向上
9、，所以在1,1上每一点c都有f(c)0.本题可用间接法求解，若在1,1上不存在c使f(c)0，则在1,1上所有的点x，使f(x)0，(1)0330(1)05015.(1)(5)0 1,1fpfpppf x于是只需考察，即，得故满足条件的 的取值范围是，本题容易出现分析上的偏差，认为方程 在上有一根或两根，再根据根的分布去做，注意理解清楚这两种不同的问题【变式练习5】若函数f(x)(m2)x24mx2m6的图象与x轴的负半轴有交点，求实数m的取值范围 1,2,121222821(0)4200402260,2164(2)(26)012mf xxxmf xxxxxmxxmmx xmmmm【解若 ，则
10、 ，它的图象与 轴的交点是 ，符合要求若，用间接法：当的图象与 轴的非负半轴有两个交点、或与 轴无交时析点，有】236164(2)(26)061.13.1,3mmmmmmf xxmmm解得或；或，得综上，得的图象与 轴的负半轴无交点，则或于是符合条件的实数 的取值范围是1.已知二次函数yf(x)满足f(3x)f(3x)，且方程f(x)0有两个实数解x1，x2，则x1x2_12326.bxabxxa由已知可知对称轴 ，所以】【解析6 2.函数f(x)x22x3在区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 _1,2 3.设x1，x2是关于x的方程x22axa60的两个实数解，则xx的最小值
11、是 _8 22222121212222212(2)4(6)4(6)023.()214922(6)4()4428.aaaaaaxxxxx xaaaaxx因为 ，解得 或所以 ，所以当 时，的最小【】值为解析4.已知函数f(x)x22(m1)x2m6，若f(x)0有两个实根，且一个根比2大，一个根比2小，则m的范围为_【解析】f(2)224(m1)2m66m60，解得m0，a0”是真命题，所以44m1，则实数a的值是1.答案：1选题感悟：将二次函数与简易逻辑结合起来，是常考知识点，要将问题等价转化为熟悉问题，再利用二次函数知识求解 23 12 sin122163 12220,23f xxxxf xf xx已知函数 ，当 时，求的最大值和最小值；若在，上是单调增函数，且，求 的应取值范围(2010徐州市考前适卷)222151()6243 115222411.242 sin1sin3 12233sinsin222,.3312f xxxxxxf xxf xf xxxxf xx时，由，当 时，有最小值为，当 时，有最大值为 的图象的对称轴为，由于在，上是单调增函数，所以，即，所求 的取值范围是【解析】选题感悟：二次函数是一种重要工具，在二次函数知识的基础上，对其它知识进行考查，是常考题型，对二次函数的理解要达到一定深度
