1、第一节数列的概念与简单表第一节数列的概念与简单表示法示法1.数列的定义2.数列的分类3.数列与函数的关系4.数列的通项公式教教材材研研读读考点一 由an与Sn的关系求通项公式考点二 由数列的递推公式求通项公式考考点点突突破破考点三 数列的性质1.数列的定义数列的定义按照一定顺序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.教材研读2.数列的分类数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an+1an其中nN*递减数列an+1an,nN*恒成立,即(n+1)2+b(n+1)n2+bn,则b(-2n-1)max=-3,则实数b的
2、取值范围是(-3,+).6.(2018南京师大附中高三模拟)在数列an中,若a4=1,a12=5,且任意连续三项的和都是15,则a2018=.答案答案9解析解析由任意连续三项的和都是15,得an+an+1+an+2=an+1+an+2+an+3,则an=an+3,则a12=a3=5,a2+a3+a4=15,则a2=9,a2018=a3672+2=a2=9.考点一考点一 由由a an n与与S Sn n的关系求通项公式的关系求通项公式典例典例1已知数列an的前n项和为Sn.(1)若Sn=(-1)n+1n,求a5+a6及an;(2)若Sn=3n+2n+1,求an.考点突破解析解析(1)a5+a6=
3、S6-S4=(-6)-(-4)=-2.当n=1时,a1=S1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=(-1)n+1n-(-1)n(n-1)=(-1)n+1n+(n-1)=(-1)n+1(2n-1),因为a1也适合此式,所以an=(-1)n+1(2n-1)(nN*).(2)当n=1时,a1=S1=6;当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-3n-1+2(n-1)+1=23n-1+2,由于a1不适合此式,所以an=方法技巧Sn与an的关系问题的求解思路n 1*6,1,2 32,2,N.nnn根据所求结果的不同要求,将问题向不同的方向转化.(1)利用an=Sn-Sn-1(n2)转化为只含S
4、n,Sn-1的关系式,再求解.(2)利用Sn-Sn-1=an(n2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.易错警示易错警示注意检验n=1时的表达式是否可以与n2时的表达式合并.同类练同类练已知数列an的前n项和Sn=3+2n,则数列an的通项公式为.答案答案an=n 1*5,12,2,Nnnn解析解析当n=1时,a1=S1=3+2=5;当n2时,an=Sn-Sn-1=3+2n-(3+2n-1)=2n-2n-1=2n-1.因为当n=1时,不符合an=2n-1,所以数列an的通项公式为an=n 1*5,1,2,2,N.nnn变式练变式练已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,
5、则Sn=.答案答案132n解析解析Sn=2an+1,当n2时,Sn-1=2an,an=Sn-Sn-1=2an+1-2an(n2),3an=2an+1(n2),又易知a2=,an0(n2),=(n2).an=(n2).当n=1时,a1=1=,121nnaa3212232n1213213an=Sn=2an+1=2=.21,1,13,2,22nnn12132n132n深化练深化练1设数列an满足a1+3a2+(2n-1)an=2n,则an=.答案答案(nN*)221n解析解析因为a1+3a2+(2n-1)an=2n,抽以当n2时,a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1).两式相减得(2n-1
6、)an=2.所以an=(n2).又由题设可得a1=2,满足上式,从而an的通项公式为an=(nN*).221n221n深化练深化练2若数列an满足a1a2a3an=n2+3n+2,则数列an的通项公式为.答案答案an=*6,1n2,2,Nnnnn解析解析a1a2a3an=(n+1)(n+2),当n=1时,a1=6;当n2时,a1a2a3an-1=n(n+1),两式相除得an=(n2),经检验,a1=6不符合此式,所以an=2nn*6,1,n2,2,N.nnnn考点二考点二 由数列的递推公式求通项公式由数列的递推公式求通项公式典例典例2根据下列条件确定数列an的通项公式.(1)a1=1,an+1
7、=3an+2;(2)a1=1,an=an-1(n2);(3)a1=2,an+1=an+3n+2.1nn解析解析(1)an+1=3an+2,an+1+1=3(an+1),即=3.数列an+1为等比数列,公比q=3.又a1+1=2,an+1=23n-1.111nnaaan=23n-1-1(nN*).(2)由an=an-1(n2),得an-1=an-2(n3),a2=a1.则an=a1=(n2).又a1=1符合上式,an=(nN*).(3)an+1-an=3n+2,1nn21nn1212231nn1an1n1nan-an-1=3n-1(n2),an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2
8、-a1)+a1=(n2).又a1=2符合上式,an=n2+(nN*).(31)2n n322n方法技巧方法技巧由数列的递推关系求通项公式的常用方法由数列的递推关系求通项公式的常用方法已知数列的递推关系,求数列的通项公式时,通常用累加、累乘、构造法求解.当出现an=an-1+m时,构造等差数列;当出现an=xan-1+y时,构造等比数列;当出现an=an-1+f(n)时,用累加法求解;当出现=f(n)时,用累乘法求解.1nnaa2-1(1)在数列an中,a1=2,an+1=an+,求数列an的通项公式.(2)在数列an中,a1=1,an+1=,求数列an的通项公式.1(1)n n 22nnaa
9、解析解析(1)由题意知,an+1-an=-,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=+2=3-(nN*).(2)an+1=,a1=1,an0,=+,1(1)n n 1n11n111nn1121nn11231121n22nnaa 11na1na12即-=.又a1=1,=1,是以1为首项,为公差的等差数列,=+(n-1)=,an=(nN*).11na1na1211a1na121na11a1212n21n考点三考点三 数列的性质数列的性质角度一数列的周期性角度一数列的周期性典例典例3(1)已知数列an的各项均为正整数,对于nN*,有an+1=a1=11,则a65=.(
10、2)已知数列an满足a1=2,an+1=(nN*),则a1a2a3a2017=.135,(),2nnnnnkaaaaka为奇数为偶数 其中 为使为奇数的正整数11nnaa答案答案(1)31(2)2解析解析(1)由题设知,a1=11,a2=311+5=38,a3=19,a4=319+5=62,a5=31,a6=331+5=98,a7=49,a8=349+5=152,a9=19,所以数列an从第3项开始是周期为6的周期数列,所以a65=a3+(610+2)=a5=31.(2)由a1=2,an+1=(nN*)得a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,所以数列an的周期为4,且a1a2a3a4=1,则
11、a1a2a3a2017=a1=2.3826229823152211nnaa1213探究探究1若典例3(2)中的条件不变,则a1+a2+a3+a2017=.答案答案-586解析解析由典例3(2)的解析知数列an的周期为4,且a1+a2+a3+a4=-,则a1+a2+a3+a2017=504(a1+a2+a3+a4)+a1=-504+2=-586.7676探究探究2若典例3(2)中的条件增加a1+a2+a3+ak=-589,kN*,则结论变为k=.答案答案2018解析解析由探究1的解析可知a1+a2+a3+a2018=504(a1+a2+a3+a4)+a1+a2=-504+2-3=-589,所以k
12、=2018.76方法技巧方法技巧解决数列周期性问题的方法:先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.典例典例4已知数列an的前n项和Sn=3n(-n)-6,若数列an单调递减,则的取值范围是.角度二数列的单调性角度二数列的单调性答案答案(-,2)解析解析由题意可得a1=S1=3-9,当n2时,an=Sn-Sn-1=3n-1(2-2n-1),因为an单调递减,所以a2a1,解得2,当n2时,an+1-an=3n-1(4-4n-8)0恒成立,则(n+2)min=4,综上,2.方法技巧方法技巧判断数列的单调性可用以下三种方法:(1)作差比较法:根据an+1-an的符号判断单调
13、性;(2)作商比较法:根据与1的大小关系判断单调性;(3)结合相应函数的图象直观判断.1nnaa典例典例5(1)数列an的通项公式为an=,则数列an的最大项的值是.(2)若数列an的通项公式是an=(n+2),且an,nN*恒成立,则n0=.290nn 78n0na角度三数列的最值角度三数列的最值答案答案(1)(2)5或6119解析解析(1)由题意得an=,运用基本不等式得,当且仅当n2=90,即n=3时等号成立,结合nN*,不难发现a9=a10=最大,故填.(2)因为an+1-an=(n+3)-(n+2)=,所以a1a2a7,则数列an的最大项为a5,a6,即n0=5或6.190nn190
14、nn12 9010119119178n78n78n58n方法技巧方法技巧求解数列最值的方法通常有两种:一是图象法:若相应函数是基本函数,则能够画出图象的可以利用图象法研究最值;二是单调性法:通过比较数列相邻两项的大小关系研究数列的单调性,进而求解数列的最值.3-1数列an满足an+1=a1=,则数列an的第2017项为.12,0,2121,1,2nnnnaaaa35答案答案35解析解析由已知可得a2=,a3=,a4=,a5=,则数列an的周期为4,所以a2017=a1=.15254535353-2(2018江苏苏州高一月考)数列an满足:an=nN*,且an是递增数列,则实数a的取值范围是.6(3)3,7,7,na nnan答案答案(2,3)解析解析an=且数列an是递增数列,2a3,实数a的取值范围是(2,3).6(3)3,7,7,na nnan230,1,(3)73,aaaa3-3已知an=(nN*),设am为数列an的最小项,则m=.75 2nn答案答案7栏目索引
