1、点在圆内 dr 点A在圆外 r d d C B A O 直线与圆相离 dr 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 dR+r 外切（图2）有一个交点 d=R+r 相交（图3）有两个交点 R-rdR+r 内切（图4）有一个交点 d=R-r 内含（图5）无交点 0 dR-r 图1 r R d 图2 r R d 图3 r R d 图4 r R d 图5 r R d垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平
2、分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：AB是直径 ABCD CE=DE 或 或 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 O中，ABCD O E D C B ABCBDACADACBD O C D A B 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论 也即：AOB=DOE AB=DE OC=OF 或 BAED F E D C B A O圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即：AO
3、B和ACB是 所对的圆心角和圆周角 AOB=2ACB圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧即：在 O中，C、D都是所对的圆周角 C=D推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径即：在 O中，AB是直径 或C=90 C=90 AB是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形即：在ABC中，OC=OA=OB ABC是直角三角形或C=90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。AB C B A O D C B A O C B A
4、 O C B A O弦切角定理：弦切角等于所夹弧所对的圆周角 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。即：MN是切线，AB是弦 BAM=BCA O C B N M A圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 O中，四边形ABCD是内接四边形 C+BAD=180 B+D=180 DAE=C E D C B A（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：MNOA且MN过半径OA外端 MN是 O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论2
5、：过切点垂直于切线的直线必过圆心以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心 过切点 垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 MN是切线 MNOA N M A O切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线 PA=PB PO平分BPA P B A O1.如图，如图，ABC中，中，AB=AC，O是是BC的中点，以的中点，以O为圆心的为圆心的圆与圆与AB相切于点相切于点D，求证：求证：AC是圆的切线是圆的切线2.如图如图,AB是圆是圆O的直径的直径,圆圆O过过AC的中点的中点D,DEBC于于E 证明证明:DE是圆是圆O的
6、切线的切线.（图（图1）（图（图2）ABEOCDABCDEO.（距离法）（距离法）（判定定理）（判定定理）412352.如图如图,AB是圆是圆O的直径的直径,圆圆O过过AC的中点的中点D,DEBC于于E 证明证明:DE是圆是圆O的切线的切线.ABCDEO.（判定定理）（判定定理）41235DBACDAC1=A=C=050340，且 是的中点，可证得 2=53=5D OB CD EB CD ED O 又圆内相交弦定理及其推论：（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等即：在 O中，弦AB、CD相交于点P PAPB=PCPA（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径
7、所成的两条线段的比例中项。即：在 O中，直径ABCD （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项即：在 O中，PA是切线，PB是割线 （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）即：在 O中，PB、PE是割线 PC PBPD PE P O D C B A O E D C B A D E C B P A O22CEDEEA EB2PAPC PB圆公共弦定理：连心线垂直平分公共弦 即：O1、O2相交于A、B两点 O1O2垂直平分AB B A O1 O2两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：在
8、RtO1O2C中，（2）外公切线长：CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和 22221122ABCOOOCO C O2 O1 B A圆内接正多边形的计算（1）正三角形 在 O中 ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行，OD:BD:OB=（2）正四边形同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，OE:AE:OA=（3）正六边形同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，AB:OB:OA=1:3:21:1:21:3:2 D C B A O E C B A D O B A O（1）弧长公式：（2）扇形面积公式：180n Rl213602n RSlR S l B A O B1 R r C B
9、 A O 母线长 底面圆周长 C1 D1 D C B A（1）圆柱侧面展开图 =（2）圆锥侧面展开图 =2SSS侧表底2222()rhrr hrSSS侧表底2()rlrr lrOPABrhl 圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积 圆锥的圆锥的侧面积侧面积就是弧长为圆锥底面的周就是弧长为圆锥底面的周 长、半径为圆锥的一条母线的长的长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面扇形面积积.圆锥的圆锥的全面积全面积=圆锥的圆锥的侧面积侧面积+底面积底面积.圆锥圆锥的的侧面积和全面积侧面积和全面积rarala221212360ans侧如图如图:设圆锥的母线长为设圆锥的母线长为a,底面底面 半径为半径为r.则
10、圆锥的侧面积则圆锥的侧面积 公式为：公式为：rL2OPABrhaS侧=S扇形即：360r=naarn360 你会计算展开图中的圆心角的度数吗？思考：思考：180anlaln180例例 根据圆锥的下列条件，根据圆锥的下列条件，求它的侧面积和全面积求它的侧面积和全面积（1 1）r=12cm,r=12cm,l=20cm=20cm （2）h=12cm，r=5cmOPABrhl练习：练习：1、如果圆锥底面积为、如果圆锥底面积为 侧面积是侧面积是 那么它的母线长为那么它的母线长为_216 cm264 cm2 2、若一个圆、若一个圆锥锥的底面半径长和母线长是方的底面半径长和母线长是方程程 的两个根，则该圆柱的的两个根，则该圆柱的侧面展开图的面积是侧面展开图的面积是_。22520 xx3、钟面上的、钟面上的 分针的长是分针的长是5cm，经过，经过20分钟分钟时间，分针在钟面上扫过的面积是多少？时间，分针在钟面上扫过的面积是多少？圆柱侧面展开图圆柱侧面展开图圆圆柱柱的侧面展开图是一个矩的侧面展开图是一个矩形形,它的一边长是它的一边长是圆圆柱柱的高的高;它的另一边长是它的另一边长是圆圆柱柱的底面的底面圆周长圆周长圆圆柱柱的侧面积的侧面积=圆圆柱柱的高的高底面圆周长底面圆周长 圆圆柱柱的全面积的全面积=侧面积侧面积+两个底面积两个底面积
