1、地下水数值模拟地下水数值模拟 课程复习 课程考试题型课程考试题型?一、填空题（110）?二、简答题（65）?三、论述题（103）?四、综合题（152）授课内容授课内容?第一章 绪论?第二章 地下水运动的数学模型?第三章 有限差分法?第四章 有限单元法?第五章 其他数值方法边界元?第六章 反求参数的数值方法 第一章第一章?知识点?求解数学模型的方法?常用的数值方法?数值模拟的一般步骤?重点?解析法与数值法的主要差别?地下水数值模拟的步骤 数学模型的求解方法数学模型的求解方法 数值法 解析法?用数学上的积分方法或积分变换等方法求得数学模型的解析表达式?解的精度高，通常称为解析解或精确解?适用于含水
2、层几何形状规则、性质均匀、厚度固定、边界条件单一的理想情况?把刻画地下水问题的数学模型离散化，解出渗流域有限个结点上的数值解?解是数学模型的近似解或数值解?适用性广、通用性强、可程序化，修改模型方便 常用的数值方法常用的数值方法?有限差分法 （FDM，Finite Difference Method）?有限元法 （FEM，Finite Element Method）?边界元法 （BEM，Boundary Element Method）?离散单元法 （DEM，Discrete Element Method）?地下水数值模拟的基本步骤地下水数值模拟的基本步骤?确定模拟范围，收集有关资料?建立地下水
3、系统的概念模型?建立地下水系统的数学模型?建立数值模拟模型?模型的识别和调参?预报 第二章?知识点?求解地下水问题的数学模型的组成?方程+定解条件（初始条件和边界条件）第三章重点?知识点：?有限差分的基本概念?三种差分格式?差分方程的特点及其求解方法?二维水流问题的差分方法?重点：?有限差分方法的基本思想及其特点?高阶导数的公式推导?显式、隐式、中心式的表达式及其区别?ADI法的主要步骤 有限差分法的基本思想有限差分法的基本思想?从物理现象引出相应微分方程（方程+边界条件）；?用差分网格离散求解域；?用差分公式将基本方程转化为差分方程（代数方程）；?用差分方程的解作为微分方程的近似解。差分公式
4、对比 名称 公式 截断误差 一阶导数 前差 后差 中心差 二阶导数 xxfxxfdxdf?)()(xxxfxfdxdf?)()(xxxfxxfdxdf?2)()(?)(2xO?)(xO?)(xO?222)()()(2)(xxxfxfxxfdxfd?)(2xO?三种有限差分格式的对比三种有限差分格式的对比 显式差分 隐式差分 中心式差分 差分 方程 公式 向前差分 向后差分 中心差分 截断 误差 收敛性 稳定性 无条件收敛和稳定 无条件收敛和稳定 无条件收敛和稳定 求解 直接代入 追赶法 求解代数方程组 追赶法 求解代数方程组 thhTxhhhxhhhkikikikikikikiki?1*211
5、211111)(2)(221?thhTxhhhkikikikiki?1*211111)(2?thhTxhhhkikikikiki?1*211)(2?2/10?)()(2tOxO?)()(2tOxO?)()(22tOxO?ADI法的基本思想法的基本思想 第一步：第二步：对x方向取隐式差分 对y方向取显式差分 对x方向取显式差分 对y方向取隐式差分 每推进一个时间水平，需要求解式（a）（b）各一次，在x、y方向交替使用隐式差分，故称为交替方向隐式差分法。2/)(2)(221,1,*211,1,11,221,121,21,1thhTyhhhxhhhkjikjikjikjikjikjikjikji?从
6、k+1/2时刻到k+1时刻（b）2/)(2)(2,21,*21,1,221,121,21,1thhTyhhhxhhhkjikjikjikjikjikjikjikji?从k时刻到k+1/2时刻（a）每个方程中只含有三个未知数，形成三对角方程组，可用追赶法求解 无条件收敛和稳定 截断误差为：高阶导数的有限差分形式高阶导数的有限差分形式?yxf2?0 1 5 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 02?yxf033?xf0224?yxf第四章重点?知识点：?有限单元法的基本概念?三角形单元的有限单元方程?四边形单元的有限单元方程?重点：?有限单元法的基本思想及其特点?加权余量法及伽辽金法的基
7、本原理?三角形单元基函数的表达形式及其性质?有限单元方程系数矩阵的运算及整体分析?等参有限元的基本概念 有限单元法的基本思想 把连续系统离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体；选定场函数的节点值作为基本未知量并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律；建立用于求解节点未知量的有限元方程组。加权余量法?z)y,(x,0)(fuLfNLfuLnjjj?1)(?对对n个未知数来说只有一个方程无法求解，故引入相互线性独立的权函数个未知数来说只有一个方程无法求解，故引入相互线性独立的权函数 01?dfNLdinjjji?取
8、权函数，使得余量的加权积分为零，从而求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。伽辽金方法将权函数取为基函数。三角形单元的基函数三角形单元的基函数 kkjjiiHNHNHNyxH?),(?ycxbaNycxbaNycxbaNkkkekjjjejiiiei212121基函数 基本性质：?jijiyxNjji 0 1),(1),(),(),(?yxNyxNyxNkji有限单元方程的组成 FdtdHPHD?导水矩阵 给水矩阵 源汇项列阵 边界列阵 基函数的积分运算 12?dxdyNNeji62?dxdyNei3?dxdyNei2ilillldsN?等参有限元 任意四边形单元与典型正方形任意四边形单元与典
9、型正方形单元之间的坐标变换所用的参数与单元之间的坐标变换所用的参数与单元内水头插值所用的参数一致，单元内水头插值所用的参数一致，都是相同的单元基函数，故该方法都是相同的单元基函数，故该方法称为等参有限元法等参有限元法。?mmkkjjiimmkkjjiiNyNyNyNyyNxNxNxNxx坐标变换式：坐标变换式：?1141),(1141),(1141),(1141),(mkjiNNNN其中：其中：mmkkjjiiNxNxNxNxx?水头的近似表达式水头的近似表达式 第五章?边界单元法的基本思想?将微分方程的基本解化为边界积分方程，将边界剖分将微分方程的基本解化为边界积分方程，将边界剖分为有限个单元，在离散的区域边界上将边界积分方程为有限个单元，在离散的区域边界上将边界积分方程化为代数方程求解。化为代数方程求解。?边界单元法的优缺点 优点优点 缺点缺点 1、降低问题求解的空间维数、降低问题求解的空间维数 2、计算精度高 3、适合处理无限域或半无限域问题 4、输入数据少，前处理简单 1、系数矩阵不对称 2、非均质问题、非线性问题处理较难 第六章?反求水文地质参数的适定性条件?存在性?唯一性?稳定性?反求水文地质参数的间接法?基本原理?试估校正法
