1、第九章整式乘法和因式分解复习课因式分解整式乘法单项式乘单项式单项式乘多项式多项式乘多项式乘法公式平方差公式完全平方公式知识框架转化转化计算面积从形到数特殊一般化繁为简将它们的系数相乘；相同字母的幂相乘；只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为 积的一个因式知识回顾（整式乘法）同底数幂的乘法转化单乘单单项式与单项式相乘一、单项式乘单项式一、单项式乘单项式计算：(4 ab2)?(5 b3)解:原式(45)?（b2?b3）?a20 ab5am?an=am+n1.用单项式乘多项式的每一项；2.把所得的积相加。二、单项式乘多项式二、单项式乘多项式单项式与多项式相乘（乘法分配律）a(b+c+d)
2、=ab+ac+ad计算：a2(1-3 a)解:原式=a2?1-a2?3 a=a2-3 a3知识回顾（整式乘法）同底数幂的乘法转化单乘多转化单乘单三、多项式乘多项式三、多项式乘多项式.用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项；.把所得的积相加；计算：(x+2)(2 x-3)解:原式=x(2 x-3)+2(2x-3)=x?2 x+x?(-3)+22 x+2(-3)=2 x2-3 x+4 x-6=2 x2+x-6知识回顾（整式乘法）同底数幂的乘法转化单乘单转化单乘多多乘多转化合并同类项多项式与多项式相乘转化四、乘法公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.知识回顾（整
3、式乘法）(ab)(ab)=a2b2计算：(2 x+3)(2 x-3)解:原式=(2 x)2-32=4 x2-9第一个数为相同数，第二个数为相反数相同数的平方相反数的平方结果为两项四、乘法公式(ab)2=a22 ab+b2(ab)2=a22 ab+b2知识回顾（整式乘法）（2）完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两个数平方和加上（或减去）这两个数 积的两倍.计算:(1)(2 x+3y)2解:原式=(2 x)2+22 x3y+(3y)2结果为三项=4 x2+12 xy+9y2(2)(2 x-3y)2解:原式=(2 x)2-22 x3y+(3y)2=4 x2-12 xy+9y2注意符号要对应
4、(1)(-b+2 a)2 ()(2)(b+2 a)(b-2 a)()(3)(2 a+b)(b+2 a)()(4)(2 a+b)(2 b+a)()(5)(-2 a+b)(2 a-b)()(6)(-2 a+b)(-b-2 a)()(7)(-2 a+b)(a+2 b)()填一填：在下列多项式乘法中，能用 完全平方公式计算的请填 A,能用平方差公式计算的请填 B,不能用乘法公式计算的请填C.ABAC知识回顾（整式乘法）(ab)(ab)=a2b2(ab)2=a2 2 ab+b2(ab)2=a2 2 ab+b2ABC(2 a+b)2-(2 a-b)(2 a-b)=-(2 a-b)2(-2 a+b)(-2
5、a-b)单项式乘单项式因式分解乘法公式整式乘法单项式乘多项式多项式乘多项式平方差公式完全平方公式概念常用方法步骤提公因式法运用公式法完全平方公式平方差公式知识框架转化转化逆向变形互逆变形面积计算从形到数特殊一般逆向变形选择题：下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A.(a+3)(a-3)=a2-9 B.a2-b2=(a+b)(a-b)C.a2-4 a-5=a(a-4)-5 D.a2-4 a-5=(a-2)2-9知识回顾（因式分解）1、因式分解概念把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.B知识回顾（因式分解）2、因式分解的方法（1）提公因式法：（逆用乘法分配律）ab+ac+
6、ad=a(b+c+d)1.系数取各项系数最大公约数；2.字母取各项相同的字母；3.指数取各项最低的.分解因式：12 x2yz-9 x3y解:原式=3 x2y(4 z-3 x)公因式括号内项数不变知识回顾（因式分解）2、因式分解的方法（2）运用公式法：把下列各式分解因式：（1）m2-9 n2解:原式=m2-(3 n)2a2b2=(ab)(ab)a22 ab+b2=(ab)2a22 ab+b2=(ab)2平方差公式：完全平方公式：逆用整式乘法公式(ab)(ab)=a2b2(ab)2=a22 ab+b2(ab)2=a22 ab+b2=(m+3 n)(m-3 n)（2）a2b2-2 ab+1解:原式=
7、(ab)2-2 ab+12=(ab-1)2第一个数为相同数，第二个数为相反数两项三项注意符号对应知识回顾（因式分解）2、因式分解的方法分解因式：x2+6 x+5解:原式=(x+1)(x+5)x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)*（3）十字相乘法151+51.二次项系数是1；3.一次项系数是常数项分解得到的两个因数之和.2.常数项是两个数之积；二次三项式知识回顾（因式分解）2、因式分解的方法*（4）分组分解法：分解因式：x2-y2+ax+ay解:原式=(x+y)(x-y)+a(x+y)分组后可以直接提公因式或运用公式进行因式分解（三项以上）整体=(x+y)(x-y+a)1、提取公因式（
8、三步：系数、字母、指数.）2、用公式（两项用平方差公式；三项用完全平方公式.）3、查（检查每个因式是否还能继续分解）知识回顾（因式分解）3、因式分解的步骤一提 二用 三查注意：分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止分解因式：3ax4-3 ay4解:原式=3 a(x4-y4)一提=3 a(x2+y2)(x+y)(x-y)三查二用=3 a(x2+y2)(x2-y2)整式乘法（计算）：(4 ab2)?(5 b2)20 ab3a2(1-3 a)=a2-3 a3(x+2)(2 x-3)=2 x2+x-6(2 x+3)(2 x-3)=4 x2-9(2 x+3y)2=4 x2+12 xy+9y2知识回
9、顾（整式乘法和因式分解的关系）因式分解：12 xyz-9 x2 y=3 xy(4 z-3 x)m2-9 n2=(m+3 n)(m-3 n)a2b2-2 ab+1=(ab-1)23 ax4-3 ay4=3 a(x2+y2)(x+y)(x-y)x2-y2+ax+ay=(m+3 n)(m-3 n)积（因式）和（多项式）变形积（因式）和（多项式）除单项式乘单项式等于单项式外变形例题解析例1：下列计算中正确的是（）A.(-4 x)?(2 x2-3 x-1)=-8x3-12 x2-4 xB.(x+y)(x2+y2)=x3+y3C.(-4 a-1)(4 a-1)=1-16a2D.(x-2 y)2=x2-2
10、xy+4y2C符号错误应该为-4xy展开四项例题解析例2：计算（1）(2 x-y)(3 x+y)-2 x(3 x-y)（2）(a+3)(-3+a)+a(4 a)解:原式=(6 x2+2 xy-3 xy-y2)-(6 x2-2 xy)=6 x2+2 xy-3 xy-y2-6 x2+2 xy=xy-y2解:原式=(a2-9)+4 a-a2=a2-9+4 a-a2=4 a-9多乘多、单乘多去括号合并同类项平方差公式、单乘多算理去括号合并同类项算理例题解析例2：计算（3）(m+2n)2(m-2 n)2（4）(x-y)2+(x+y)2(x2-y2)(ab)n=anbn解:原式=(m+2 n)(m-2n)
11、2逆用积的乘方公式=(m2-4n2)2平方差公式=m4-8 m2n2+16 n4完全平方公式解:原式=(x2-2 xy+y2)+(x2+2 xy+y2)(x2-y2)完全平方公式=(x2-2 xy+y2+x2+2 xy+y2)(x2-y2)去括号=(2 x2+2 y2)(x2-y2)括号内合并同类项=2(x2+y2)(x2-y2)提公因式=2(x4-y4)平方差公式也可直接用多项式乘多项式运算单乘多=2 x4-2 y4结果为和的形式(单项式或多项式)算理算理例3.把下列各式分解因式知识应用（因式分解）(2)(x-1)(x-3)+1(1)4 x(a-b)-8y(b-a)解:原式=x2-3 x-x
12、+3+1多乘多=x2-4 x+4合并同类项=(x-2)2完全平方公式算理解:原式=4 x(a-b)+8y(a-b)减法法则=4(a-b)(x+2y)提公因式提公因式要提干净算理知识应用（因式分解）例3.把下列各式分解因式(3)x4-2 x2+1解:原式=(x2-1)2完全平方公式*(4)m2+7 m-18=(x+1)(x-1)2平方差公式=(x+1)2(x-1)2积的乘方(ab)n=anbn解:原式=(m-2)(m+9)分解因式的结果为积的形式-2+9-2 9算理知识梳理整式乘法和因式分解是既有联系又有区别的两种变形：整式乘法abac+ada(bc+d)整式乘法a2b2(ab)(ab)整式乘法
13、a2 2ab+b2(ab)2因式分解因式分解因式分解积和类型一：化简求值问题先化简，再求值：(2 x+3)(2 x 3)x(5 x+4)(x 1)2，其中x2+x 2020=0.知识应用解:原式=(4 x2 9)5 x2 4 x(x2 2 x+1)=4 x2 9 5 x2 4 x x2+2 x 1=2 x2 2 x 10原式=2 x2 2 x 10=2(x2+x)10由x2+x 2020=0得：x2+x=2020如何与已知条件x2+x 2020=0产生联系呢？平方差公式单乘多完全平方公式=22020 10=4050一个长方形的面积是60cm2,分别以它的长和宽为边长的两个正方形的面积和是136
14、cm2,求长方形的周长.解：设长方形的长为a cm，宽为b cm则，ab=60,a2+b2=136而(a+b)2=a2+2 ab+b2因此，a+b=16 长方形周长为2(a+b)=32类型二：实际应用问题类型二：实际应用问题知识应用=136+120=256如何求（a+b）呢？长宽=60长2+宽2=136结果取正2.如果|x-y+1|+(x+y-5)2=0,则x2-y2的值是.1.若x2+2 ax+36是完全平方式，则a=.类型三：乘法公式的应用知识应用2 a=12a=66x2-y2=(x+y)(x-y)=-15=-5x-y+1=0 x+y-5=0由题意得:x-y=-1x+y=5得-5类型三：乘
15、法公式的应用类型三：乘法公式的应用知识应用3.已知m、n为有理数,且m2+2 m+n2-6 n+10=0,则m=,n=.原式可化为：m2+2 m+1+n2-6 n+9=0-13(m2+2 m+1)+(n2-6 n+9)=0(m+1)2+(n-3)2=0得：m=-1；n=3分成1和9两个完全平方数4.已知a=2019x+2018，b=2019x+2019，c=2019x+2020，则代数式a2+b2+c2-ab-ac-bc的值为（）A0B1C2D3D类型三：乘法公式的应用知识应用由题意得：a-b=(2019x+2018)-(2019x+2019)=-1b-c=(2019x+2019)-(2019
16、x+2020)=-1a-c=(2019x+2018)-(2019x+2020)=-2a2+a2+b2+b2+c2+c2-2 ab-2 ac-2 bc2=(a2+b2-2 ab)+(a2+c2-2 ac)+(b2+c2-2 bc)2=(a-b)2+(a-c)2+(b-c)22=(-1)2+(-2)2+(-1)22=1+1+42=32(a2+b2+c2-ab-ac-bc)2=原式(a-b)2+(a-c)2+(b-c)22=原式类型四：整体思想类型四：整体思想知识应用1.已知a+b=4，a-b=1,则(a+1)2-(b-1)2的值为.原式=(a+1)+(b-1)(a+1)-(b-1)=(a+b)(a
17、-b+2)=4(1+2)=1212原式=(a2+2 a+1)-(b2-2 b+1)=a2+2 a+1-b2+2 b-1=a2-b2+2 a+2 b=(a+b)(a-b)+2(a+b)=41+28=12解法(一)：先分解因式解法(二)：先用乘法公式展开整体代入先用平方差公式分解因式先用完全平方公式展开整体代入（2）另外一名同学发现第四步因式分解的结果不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果；2、请仔细阅读以下内容，然后回答问题：下面是某同学对多项式(x2-4 x+2)(x2-4 x+6)+4进行因式分解的过程：解：令x2-4 x+2=y，则：原式y(y+4)+4（第一步）y2+4 y+4（第二步）
18、(y+2)2（第三步）(x2-4 x+4)2（第四步）类型四：整体思想类型四：整体思想知识应用C(x-2)4(x2-4 x+4)2(x-2)22=(x-2)4把括号中的相同部分(x2-4 x+2)看做一个整体（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的；A提取公因式B平差公式C两数和的完全平方公式D两数差的完全平方公式用x2-4 x+2整体替换y转化为简单的二次三项式转化后分解因式整体代入（3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2 x)(x2-2 x+2)+1进行因式分解类型四：整体思想类型四：整体思想知识应用(x2-2 x+1)2原式y(y+2)+1解:设x2-2 xy把x2-2 x看做一个
19、整体(y+1)2用x2-2x整体替换y，并检查能否继续分解(x-1)22(x-1)4转化为简单的二次三项式转化后分解因式y2+2 y+1整体代入类型五：数形结合类型五：数形结合知识应用1.通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是.2 a(a+b)=2 a2+2ab如果看成2个正方形和2个长方形的和，则面积为2 a2+2 ab.如果看成一个长方形，则面积为2 a(a+b)；类型五：数形结合知识应用2.两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如下图形，试用不同的方法计算图形的面积，你能发现什么?请写下来.12ab2+c2.12如果看成由
20、3个直角三角形拼合而成，则面积为:12(a+b)?(a+b)=(a+b)2;12解:如果看成一个梯形，则面积为:化简得:a2+b2=c212(a+b)2=ab2+1212c2因此有:a2+b2=c2ccaabb1、计算下列各式，你得到什么结论？试用字母n(n为正整数)表示数说明结论的正确性.88-79;1111-1012;8080-7981.类型六：探索性问题（归纳思想）类型六：探索性问题（归纳思想）知识应用=64-63=1=121-120=1=6400-6399=1左边=n2-(n-1)(n+1)解：结论为n2-(n-1)(n+1)=1右边=1等式成立左边=右边前后数字之间有什么联系？=n2
21、-(n2-1)=n2-n2+1=12、观察下列式子：24+19;46+125;68+149;探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立.类型六：探索性问题（归纳思想）类型六：探索性问题（归纳思想）知识应用解：两个连续偶数的积与1的和等于这两个偶数中间奇数的平方左边：2 n(2 n+2)+1=4n2+4 n+1右边：(2 n+1)2=4 n2+4 n+1左边=右边等式成立=32=52=72即，第n个等式为：2 n(2 n+2)+1=(2n+1)2等式左右的数字有什么联系？偶数奇数的平方偶数+2课堂小结1、学习的知识点：灵活运用整式乘法和因式分解的知识解决相关问题2、学习的数学思想：整体思想，数形结合，归纳思想
