1、第十一章第十一章 库库 存存 论论 第一节第一节 库存论模型的基本概念及分类库存论模型的基本概念及分类 第二节第二节 确定性库存模型确定性库存模型第三节第三节 单周期随机库存模型单周期随机库存模型第四节第四节 ExcelExcel在库存论中的应用在库存论中的应用掌握确定性库存模型，特别是最基本的确定性掌握确定性库存模型，特别是最基本的确定性EOQ模型；模型；掌握单周期随机库存模型的基本原理；掌握单周期随机库存模型的基本原理；了解在库存论经济和管理中的基本应用方法。了解在库存论经济和管理中的基本应用方法。教学要求教学要求：库存论模型的基本概念及库存论模型的基本概念及分类分类 为了销售或生产的需要
2、，企业需要保持一定的库存：为了销售或生产的需要，企业需要保持一定的库存：这是企业管理中的一个很普遍和重要的问题。库存这是企业管理中的一个很普遍和重要的问题。库存论的目的是确定一些管理规则使得维持库存的费用论的目的是确定一些管理规则使得维持库存的费用最低，同时又能满足顾客的需求或生产的需要。库最低，同时又能满足顾客的需求或生产的需要。库存论的基本问题是要确定订货（或生产）的时间和存论的基本问题是要确定订货（或生产）的时间和订货（或生产）的数量。订货（或生产）的数量。供应供应需求需求库存库存订货和启动费用订货和启动费用采购费用（或生产费用）采购费用（或生产费用）存贮费用存贮费用缺货费用缺货费用 每
3、一次订货或机器的启动，开始制造过程需要一每一次订货或机器的启动，开始制造过程需要一定的固定成本，因而产生了定的固定成本，因而产生了订货或启动费用订货或启动费用。l启动费用：当我们考虑产品是从内部生产而启动费用：当我们考虑产品是从内部生产而不是从外部订购时，为了启动和安排生产的不是从外部订购时，为了启动和安排生产的人力和准备工作，需要一定的成本。人力和准备工作，需要一定的成本。l为了简单起见，它只同组织生产的次数有关，为了简单起见，它只同组织生产的次数有关，而和每次生产的数量无关。而和每次生产的数量无关。(包括付款、邮包括付款、邮寄、电话、运输、发票鉴定、接待费等寄、电话、运输、发票鉴定、接待费
4、等)l订货费用包括从外部采购产品的手续费，差订货费用包括从外部采购产品的手续费，差旅费等旅费等l为了简单起见，它只与订货的次数有关，而为了简单起见，它只与订货的次数有关，而和订货的数量无关。和订货的数量无关。为采购（或生产）一个单位的物品（包括原材料，为采购（或生产）一个单位的物品（包括原材料，部件或成品）所需要的费用。其中包括：部件或成品）所需要的费用。其中包括：l变动人力成本变动人力成本l材料成本材料成本l运输成本（产品从外部订购时）运输成本（产品从外部订购时）一个单位的物品存储一个时段所需要的费用。如时一个单位的物品存储一个时段所需要的费用。如时段用一年表示，存储费用就是每年存储单位物品
5、所段用一年表示，存储费用就是每年存储单位物品所花的费用。一般包括：花的费用。一般包括：l存放费用存放费用l保险保险l由于毁损、盗窃或者变质等原因所由于毁损、盗窃或者变质等原因所 造成的损失等。造成的损失等。n当顾客需求不能按时满足，就会当顾客需求不能按时满足，就会发生缺货发生缺货。n如果顾客接受推迟送货，则产品可以如果顾客接受推迟送货，则产品可以重新订货重新订货。n如果顾客不接受推迟送货，则产生如果顾客不接受推迟送货，则产生销售损失销售损失。n缺货所产生的费用包括：缺货所产生的费用包括：l重新处理订货的额外费用重新处理订货的额外费用l失去销售机会的损失失去销售机会的损失一般来说，缺货费用要比其
6、他费用更难测量一般来说，缺货费用要比其他费用更难测量确定性存储模型确定性存储模型，即每一个周期的产，即每一个周期的产品需求是已知的；品需求是已知的；随机存储模型随机存储模型，即需求是一个具有已，即需求是一个具有已知概率分布的随机变量。知概率分布的随机变量。第一种分类方法：第一种分类方法：第二种分类方法：第二种分类方法：p根据是否存在根据是否存在交货时间的延迟交货时间的延迟，这里，这里交货时间定义为发出订单到收到货物交货时间定义为发出订单到收到货物之间的时间长度。之间的时间长度。第三种分类方法是关于第三种分类方法是关于库存盘点库存盘点的方法。的方法。p连续盘点模型连续盘点模型：当库存水平低于某个
7、预先规定的订：当库存水平低于某个预先规定的订货点时就发生订货，即订货随时都可以发生。货点时就发生订货，即订货随时都可以发生。p周期盘点的模型周期盘点的模型：库存水平被周期性的检查，例如：库存水平被周期性的检查，例如每个月一次。每次订货只有在规定的时间里进行，哪每个月一次。每次订货只有在规定的时间里进行，哪怕库存水平已经低于希望的水平。怕库存水平已经低于希望的水平。在库存应用中，必须回答以下两个问题：在库存应用中，必须回答以下两个问题：1 1、当库存在补充后应该有多少订货？、当库存在补充后应该有多少订货？2 2、应该在何时对库存再补充？、应该在何时对库存再补充？订货数量的确定：订货数量的确定：1
8、 1、保持少量库存和经常订单、保持少量库存和经常订单导致高订单费用；导致高订单费用；2 2、保持大量库存和经常订单、保持大量库存和经常订单导致高库存费用；导致高库存费用；要寻找一个订货数目，该数是在要寻找一个订货数目，该数是在1 1和和2 2之间折中。之间折中。第二节第二节 确定性存储模型确定性存储模型 Westinghouse Corporate的的F.W.Harries在在1915年提出的。年提出的。这个模型是关于如何进行这个模型是关于如何进行产品库存管理产品库存管理的。的。假设假设提出提出l需求是确定的，需求速率是个常数。需求是确定的，需求速率是个常数。l交货时间是已知的常数。交货时间是
9、已知的常数。l连续订货：当库存水平低于某个值时，就连续订货：当库存水平低于某个值时，就进行订货或生产。进行订货或生产。最简单最经典的库存模型最简单最经典的库存模型在实践中，真正的库存情况很少与模型的假设吻合。在具在实践中，真正的库存情况很少与模型的假设吻合。在具体应用中，经理必须判断模型的假设是否与现实接近，以体应用中，经理必须判断模型的假设是否与现实接近，以便更好的发挥模型的作用。便更好的发挥模型的作用。K0h 基本假设基本假设 设时间单位为年，每件产品的价格为设时间单位为年，每件产品的价格为p，订货量为，订货量为q。需求速率为常数需求速率为常数D；即每个时期从库存中提取相同数量；即每个时期
10、从库存中提取相同数量的货物，如每天的货物，如每天5件，每月件，每月25件等等。件等等。任一次的订货发生，将产生一个订货或启动费用任一次的订货发生，将产生一个订货或启动费用K。交货时间为交货时间为0。每年每件产品的存储费用为每年每件产品的存储费用为h。在库存水平。在库存水平I 为为0 时，则产生一次订货。两次订货的间隔为一个周期时，则产生一次订货。两次订货的间隔为一个周期。tqq/D=TI(t)02q/D3q/D 根据假设，一年中发生订货的次数为根据假设，一年中发生订货的次数为 。而订货发生的时刻而订货发生的时刻为为 ，。一年中的库存总费用为：一年中的库存总费用为：DqqDDq2年库存总费用年库
11、存总费用=年订货费用年订货费用+年采购费用年采购费用+年存储费用年存储费用其中其中p年订货费用年订货费用=每次的订货费用年订货次数=；p年采购费用年采购费用=单件采购费用年采购的总数量=。DpqDK 由下图可知在每个周期的平均库存水平为由下图可知在每个周期的平均库存水平为 ，整年整年的存储平均费用为的存储平均费用为 2hq2qq2q2qDqDq2Dq3斜率：斜率：k=-DI(t)=q-D(t-iq/D),tiq/D,(i+1)q/D一年的总费用的公式为一年的总费用的公式为 032)(qKDqCT2)(hqpDqKDqTC由于由于 ，所以函数，所以函数 是是 上关于上关于 的严格凸函数。的严格凸
12、函数。0q)(qTCRq 基本的确定性基本的确定性 EOQ 库存问题可表示为一个求最库存问题可表示为一个求最优订货点的优化问题优订货点的优化问题：0)(minqqTC通过求解此优化问题，可以通过求解此优化问题，可以得到基本的确定性得到基本的确定性 EOQ 库库存问题的唯一最优解存问题的唯一最优解：hKDq2*KhDt2*对应的最优周期长对应的最优周期长度：度：年年度度费费用用EOQ每次采购量每次采购量年订货费用年订货费用年库存费用年库存费用年总费用年总费用在最优订货点在最优订货点年库存费用年库存费用=年订货费用年订货费用例例1 1.1 某电子公司采取批量生产的方式生产某电子公司采取批量生产的方
13、式生产MP3。一定数量。一定数量的的MP3在需求产生之前就要生产出来，存储在仓库里，并在需求产生之前就要生产出来，存储在仓库里，并产生相应的费用。因此必须考虑产生相应的费用。因此必须考虑MP3的库存问题。即要决的库存问题。即要决定何时批量生产定何时批量生产MP3以及每批生产的数量。所要考虑的费以及每批生产的数量。所要考虑的费用如下：用如下：(1)每批生产所产生的每批生产所产生的启动费用启动费用为为120,000元。其中包括机器的元。其中包括机器的启动费用、管理费用等；启动费用、管理费用等；(2)每个每个MP3的的生产费用生产费用（不包括启动费用）是（不包括启动费用）是80元；元；(3)存放一个
14、存放一个MP3的的存储费用存储费用估计为每月估计为每月2.4元，其中包括资元，其中包括资金滞压、占有存储空间、保险、税收、保护等所产生的费金滞压、占有存储空间、保险、税收、保护等所产生的费用；用；(4)每个每个MP3的的缺货费用缺货费用为为11（元（元/月）。月）。假设该公司的假设该公司的MP3在市场上的需求为在市场上的需求为6000（台（台/月），并假设不月），并假设不允许缺货产生允许缺货产生。试求：试求：(1)试求该电子公司对试求该电子公司对MP3的最优生产存储策略；的最优生产存储策略；(2)计算在最优的生产存储策略下，每月的启动费计算在最优的生产存储策略下，每月的启动费用、库存费用、生产
15、费用以及总费用；并验证用、库存费用、生产费用以及总费用；并验证图图2；(3)由于市场由于市场MP3市场竞争激烈，预计明年的销售市场竞争激烈，预计明年的销售量将下降三分之一。那么新的最优生产存储策量将下降三分之一。那么新的最优生产存储策略有何变化？略有何变化？在本题中假设时间单位为月。在本题中假设时间单位为月。000,120K2.4h000,6D80p495,242.4(120,000)(2)(6,000)2*hKDq08.4000,624.495*Dqt（1）为了方便生产同时又接近最优解，在实际的生产为了方便生产同时又接近最优解，在实际的生产管理中可以采取每管理中可以采取每 4 4 个月生产个
16、月生产 24,500 24,500 个个MP3 MP3 的的生产策略。生产策略。（2）394,29495,24000,6000,120qDK394,292495,244.22hq788,5382)(hqpDqKDqTC库存费用库存费用=总费用总费用(元元)启动费用启动费用=启动费用启动费用=库存费用库存费用（3）根据题意，明年的需求）根据题意，明年的需求 (个个)。000,4326,000D20,0002.4(120,000)(2)(4,000)2*hKDq5000,420,000*Dqt最优生产存储策略为每最优生产存储策略为每5 5个月生产个月生产20,00020,000个。个。需求减少时，
17、周期长度就会增长而每次生产的数量减少。需求减少时，周期长度就会增长而每次生产的数量减少。K0h 在许多实际情况中，需求可能不能按时满足。这在许多实际情况中，需求可能不能按时满足。这时，就发生了时，就发生了缺货缺货。在很多情况里，缺货会产生相应的在很多情况里，缺货会产生相应的费用费用，例如销，例如销售机会的损失、重新订货的额外费用等等。售机会的损失、重新订货的额外费用等等。在允许缺货的在允许缺货的 EOQ EOQ 模型中，通过重新订货不会模型中，通过重新订货不会产生销售损失。产生销售损失。在这个模型中，除了确定的在这个模型中，除了确定的最优订货量最优订货量q q*之外，之外，还要确定还要确定最大
18、的允许缺货量最大的允许缺货量 x x*。在允许缺货的。在允许缺货的EOQEOQ模型模型中，当库存缺货为中，当库存缺货为 x x*时，就会发生订货。订货量时，就会发生订货。订货量 q q*，货送达后，将缺货部分的量用于满足客户，其，货送达后，将缺货部分的量用于满足客户，其余存入库中，此时最大库存量为余存入库中，此时最大库存量为q q*-x-x*，为方便起见，为方便起见，令令y y*=q=q*-x-x*缺货期缺货期补货阶段补货阶段时间时间最高库存最高库存一一 年年缺货量缺货量M平均库存平均库存2M在这个模型中，仍假设送货时间为在这个模型中，仍假设送货时间为0。库存水平库存水平平均库存平均库存 =t
19、qMdxDxMqD2)(D/12/M0yaq/D=TI(t)x0byy/Dq/DI(x)=y-DxI(x)=0平均库存平均库存 =I(t)tqMdxDxMqD2)(D/12/M0yy/Dq/DI(x)=y-DxI(x)=0平均库存平均库存 =I(t)tqMdxDxMqD2)(D/12/M0yaq/D=TI(t)=y-(y/a)tI(t)=0平均库存平均库存 =I(t)t0aq/D=TI(t)=y-(y/a)tI(t)=0I(t)t每周期内的缺货费用为每周期内的缺货费用为所以，每周期内的缺货费用为：所以，每周期内的缺货费用为：qsyq22)-(年库存总费用年库存总费用=年订货费用年订货费用+年采
20、购费用年采购费用+年存储费用年存储费用一年中总的库存费用：一年中总的库存费用：年存储费用年存储费用=年缺货费用年缺货费用+年库存费用年库存费用假设订货费用为假设订货费用为 。一年中的总费用为：。一年中的总费用为：K),(MqTC),(Mq 是关于是关于 的凸函数，因此允许缺货的的凸函数，因此允许缺货的 EOQ模型可以归结为下列优化问题：模型可以归结为下列优化问题：),(,minMqTCMqDPqKDysqsq)h(y222s通过求解下列方程：通过求解下列方程：可以得到最优解：可以得到最优解：0sq)h(yy)y,q(TCs022222qKDsq)h(yq)y,q(TCshKDshsy*2hKD
21、sshq*2 例例11.2 11.2 继续考虑例继续考虑例11.1 11.1。现在假设。现在假设允许缺货允许缺货产产生且每个生且每个 MP3 MP3 的缺货费用为的缺货费用为s=11s=11（元（元/月）。试月）。试求允许缺货情况下的最优的生产存储策略和最大求允许缺货情况下的最优的生产存储策略和最大允许缺货量。允许缺货量。解：解：27,035495,2411114.22*hKDsshq最大允许缺货量最大允许缺货量 最优周期长度最优周期长度 5.4000,627,035*Dqt19322495241142112,.hKDshsy*84241932203527,yq*在经典的在经典的EOQEOQ模
22、型中订货是在同一时刻整批模型中订货是在同一时刻整批到达，而在连续供货速率的到达，而在连续供货速率的EOQEOQ模型中产品模型中产品以某一速率以某一速率在一个时段里连续到达。在一个时段里连续到达。例如，有些产品是由企业内部生产而不是例如，有些产品是由企业内部生产而不是从外部采购的。这时产品是以某种连续速率从外部采购的。这时产品是以某种连续速率供应。在从外采购的情况下有时候也会发生供应。在从外采购的情况下有时候也会发生这种现象。这种现象。P 单位产品的价格单位产品的价格 q 每次订货的数量每次订货的数量 K 每次的订购费用或者每批生产的启动费用每次的订购费用或者每批生产的启动费用 h 单位产品在一
23、年内的库存费用单位产品在一年内的库存费用 D 顾客的需求速率顾客的需求速率 r 产品的供货速率产品的供货速率设一个供货周期为设一个供货周期为 t 天，则天，则 t=q/r。每天增加库存。每天增加库存 r-D 单位。单位。最大库存量最大库存量=t(r-D)=(r-D)q/r=(1-D/r)q。0q/rq/D=TI(t)=(r-D)tI(t)t(1-D/r)qI(t)=-Dt+q供货时段供货时段非供货时段非供货时段库存水平库存水平最高库存最高库存(1-D/r)qq/rq/D订货量订货量 ，消费量为，消费量为 ，平均库存为平均库存为 周期周期 需求速率为需求速率为 ，平均缺货为，平均缺货为 缺货阶段
24、缺货阶段 供货速率供货速率 ，订货量，订货量 ，消费速率消费速率 ，消费量，消费量 ，库存量，库存量 补货阶段补货阶段,0rq,Dqrq,0DqrqDrqDrDqq DrDqq qq)(21rDqq 一年中的平均库存水平为一年中的平均库存水平为 一年中的库存费用为一年中的库存费用为)(21rDqq rqDrh2)(年订货的费用为年订货的费用为 qKD年总库存费用为：年总库存费用为：qKDrDrhqqTCDp2)()(连续供货速率的连续供货速率的EOQ模型可以归结为下列优化问题模型可以归结为下列优化问题：)(min0qTCq为为 上的严格的凸函数，这个优化问题有唯一最优解：上的严格的凸函数，这个
25、优化问题有唯一最优解：)(qTCREOQDrrhKDDrrDrhDq2)(rK2*当当 时时，rEOQq*例例11.3 继续考虑例继续考虑例11.2。现在假设。现在假设MP3的的供货速率供货速率是平均是平均8,000（个（个/月），且月），且不允许缺货不允许缺货。试求：。试求：(1)试计算此时最优的生产策略及最小的年库存总试计算此时最优的生产策略及最小的年库存总费用；费用；(2)试求在最优的生产策略下，最高的库存水平以试求在最优的生产策略下，最高的库存水平以及该库及该库存水平出现的时刻；存水平出现的时刻；(3)与例题与例题2中的结果进行比较，并考虑变化原因。中的结果进行比较，并考虑变化原因。解
26、：由题意知，解：由题意知，（1）根据公式，可以计算得到：）根据公式，可以计算得到：000,8r 48,990495,24000,6000,8000,8*EOQDrrq8.16000,6990,48*Dqt394,5092)()(qKDDprDrhqqTC（2）最高的库存水平为：最高的库存水平为：5.247,12rDqqI12.68,00048,990rqt此时对应的时刻为：此时对应的时刻为：通过比较可以看出：通过比较可以看出：每次生产的数量增加，周期长度增长，费用减少。每次生产的数量增加，周期长度增长，费用减少。主要原因是平均库存水平降低，从而节省了存储费用。主要原因是平均库存水平降低，从而节
27、省了存储费用。在现实生活中，供应商经常采取数在现实生活中，供应商经常采取数量折扣的价格策略，这时订货采购的量折扣的价格策略，这时订货采购的费用是随着订货量的大小而变化的。费用是随着订货量的大小而变化的。基本的基本的EOQEOQ模型中关于采购费用与订模型中关于采购费用与订货数量无关的货数量无关的假设不再成立假设不再成立。我们要采用新的方法来制定数量折我们要采用新的方法来制定数量折扣的最优订货策略。扣的最优订货策略。令令 为每次订货的数量，每件产品的数量折扣价格为每次订货的数量，每件产品的数量折扣价格为：为：qkkkkkkbqbpbqbpbqbpbqpqp1121212110)(称称121,kbb
28、b是价格变化的折扣点，并假设是价格变化的折扣点，并假设 11pppkk)(qTCiipq：为假设采购价格为：为假设采购价格为订货量为订货量为时候的总费用时候的总费用iEOQip：当采购价格统一使用：当采购价格统一使用 型计算得到最优订货批量型计算得到最优订货批量 时，用经典的时，用经典的 EOQ 模模如果如果 满足：满足：iEOQiiibEOQb1则称则称 是是可行的可行的。iEOQ)(qTC：考虑了价格折扣时的：考虑了价格折扣时的总费用总费用。价格折扣策略的价格折扣策略的EOQ模型可归纳为求解下列优化问题：模型可归纳为求解下列优化问题：)(min0qTCqT CqT C1(q)T C2(q)
29、T C3(q)b1b2E O Q1E O Q2E O Q3TC(q)是分段严格凸函数，因而最优解是分段严格凸函数，因而最优解*qiEOQ一定在折扣点一定在折扣点 或者或者 对于任何的对于任何的 ，由于采取了价格折扣策略，有：，由于采取了价格折扣策略，有：q)()()(11qTCqTCqTCnn 如果如果可行可行，即，即 iEOQiiibEOQb1此时最优订货量必定此时最优订货量必定发生在发生在niippp,1的情况里。这是因为，的情况里。这是因为，)(qTCi是严格凸函数，对于是严格凸函数，对于 和任意的和任意的 ，有：，有：ijpp q)()()()(qTCEOQTCEOQTCEOQTCjj
30、jjiii因此，最优订货量因此，最优订货量 不会发生在价格超过不会发生在价格超过 的情况里。的情况里。*qipb1b2x*b1b2x*b1b2x*当当 时，最优订货点不会发生在价格为时，最优订货点不会发生在价格为 的情况。的情况。iibEOQ ip这是因为，函数这是因为，函数 在在 上是严格单调下降的，上是严格单调下降的，)(qTCiiibb,1对于对于 有下式成立：有下式成立：),1iibbq)()()(1iiiiibTCbTCqTC所以，最优订货量不会发生在价格为所以，最优订货量不会发生在价格为 的情况。的情况。ip 当当 时，时，为优化问题为优化问题 的最优解的最优解。1iibEOQ1i
31、bi1)(minbqbiiqTC这是因为，函数这是因为，函数 在在 上是严格单调上升的。上是严格单调上升的。)(qTCi),1iibb 步骤步骤0 0：；Mki,步骤步骤1 1：转向步骤转向步骤2 2；iiibEOQb1iEOQq*iiMM（1）当）当 时，时，1iibEOQ1*iibqiibEOQ 转向步骤转向步骤2 2；iMM（2）当）当，时，时，转向步骤转向步骤2 2；（3）当）当时时，步骤步骤3 3：计算：计算 ，得到最优订货策略得到最优订货策略 MjjqTC)(min*MjTCq)q(minarg*j*步骤步骤2 2：如果如果i=1，转向步骤转向步骤3 3；否则；否则i=i-1，转向
32、步骤转向步骤1 1；例例11.4 某超市每年销售某超市每年销售5,000只玩具汽车。最只玩具汽车。最近该商品的供应商为超市提供数量折扣的价格近该商品的供应商为超市提供数量折扣的价格优惠策略：玩具汽车的原价格为优惠策略：玩具汽车的原价格为50元元/只；若订只；若订货量在货量在1,000至至1,999只之间，单位价格为只之间，单位价格为48元；元；若订货量为若订货量为2,000只或者只或者2,000只以上，单位价只以上，单位价格为格为47.5元。已知订货费用为元。已知订货费用为490元元/次；每只次；每只玩具汽车的存贮费用为其单位成本的玩具汽车的存贮费用为其单位成本的20%。试。试求最优的订货策略
33、。求最优的订货策略。折扣如表所示：折扣如表所示：iiPhDK2.0,000,5,490首先计算每一个价格对应的最优订货批量首先计算每一个价格对应的最优订货批量 EOQ其中，.,p,PP5474850321700502.0490000,52EOQ1714482.0490000,52EOQ27185.472.0490000,52EOQ3,*1q,*2q*3q 999700EOQ01000,1714EOQ2000,2718EOQ32000*3q700*1q1000*2q0,999 p=501000,1999 p=482000,p=47.5确定确定单位价格（元单位价格（元/只）只）订货批量订货批量(只
34、只)年采购费用年采购费用（元）（元）年订货费用年订货费用（元）（元）年存贮费用年存贮费用（元）（元）年总费用（元）年总费用（元）15070025,000350.0035025,700.002481,00024,000245.0048024,725.00347.52,00023,750122.5095024,822.50由表可知，最优的订货策略为每次以由表可知，最优的订货策略为每次以4848（元（元/只）只）的价格订购的价格订购1,0001,000只玩具汽车。只玩具汽车。决策者面临着要如何在随机环境里确定订货量决策者面临着要如何在随机环境里确定订货量y的问题。的问题。问题的困难在于：订货决策必须
35、发生在需求没问题的困难在于：订货决策必须发生在需求没有发生之前。有发生之前。需要预先知道随机需求变量需要预先知道随机需求变量D 的概率分布函数，的概率分布函数，通过求期望费用最小化的方法，就可以得到最通过求期望费用最小化的方法，就可以得到最优订货决策。优订货决策。单周期报童问题所涉及到的费用和记号如下：单周期报童问题所涉及到的费用和记号如下：（1）采购或生产费用采购或生产费用，采购或生产单位产品的费用用，采购或生产单位产品的费用用 c 表示；表示；（2）滞销费用滞销费用，假设产品的存贮费用在周期末结算，滞，假设产品的存贮费用在周期末结算，滞销一个单位产品的费用用销一个单位产品的费用用 h 表示
36、表示,它可以表示为库存费它可以表示为库存费用和残值之差；用和残值之差；（3）缺货损失费用缺货损失费用，缺货一单位带来的损失用，缺货一单位带来的损失用p 表示。表示。一般的有一般的有pc，否则就没必要考虑进货。，否则就没必要考虑进货。ydydyyddyd如果如果,min(,)max0,max0,TC d ycypdyhyd对于一次订货对于一次订货 和需求的实际发生和需求的实际发生 值值 ，相应的供给函数为相应的供给函数为相应发生的总费用为相应发生的总费用为 如果假定需求如果假定需求 D 是一个连续随机变量，是一个连续随机变量，其密度函数为其密度函数为 ，累积分布为累积分布为 ，那么得到期望总费用
37、为那么得到期望总费用为 dyhypcyyL)(),0max,0max()(0 dyhdypcyyy)()()()(0 daa)()(0 0)(分别计算出分别计算出 的一阶和二阶导数为：的一阶和二阶导数为：是是 上关于上关于 y 的严格的凸函数，最小化问题的严格的凸函数，最小化问题 有唯一解有唯一解 ，满足，满足 ，即，即 所以，最优订货策略所以，最优订货策略 可可通过下式解得通过下式解得 ()LydpdhcyLyy)()()(0 )()()(yhppc()LyR0)(minyyL*y0*)(yL0*)()()(yphpc*yhppy1*)(0,0)()()(yyphyL假定有一个初始库存假定有
38、一个初始库存x。假设决策者通过订货或生产要。假设决策者通过订货或生产要达到的库存水平为达到的库存水平为y。这样，必须订货或生产的产品数。这样，必须订货或生产的产品数为为y-x。期望总费用为。期望总费用为yydyhdypxycyG0)()()()()()(cxyL)(是是 上的一个严格的凸函数。上的一个严格的凸函数。)(yGR定义定义 ，其中其中 满足满足 。由于由于 是严格单调的是严格单调的凸函数，凸函数，S点是唯一定义的点是唯一定义的，并且使并且使 在此点取到最小值。在此点取到最小值。定义定义s 是使是使 成立的成立的 y 的最小值。的最小值。设起动费用设起动费用 和初始库存和初始库存 ，因
39、此期望总费用为，因此期望总费用为 KxxyxGxyyGKyETC),(),()(0yS 0y0)(0 yG)(yG)(yG)()(SGKsG定期检查库存：当库存量定期检查库存：当库存量IS时，不进货。时，不进货。Sx Sxs)()(SGKsG)(min)(yGSGy不订货不订货 不订货不订货 )()()()(,xETCxGyGKyETCxy)()()()()()(,xETCxGsGSGKyGKyETCxysx)()(SGKsG)(min)(yGSGy订货订货 S-x，使库存水平达到，使库存水平达到 S)()()()()(SETCSGKsGxGxETC)()(,SETCyETCxysSxsSx随
40、时检查库存，当库存量降到随时检查库存，当库存量降到r 时，就订货使订货时，就订货使订货量为量为q。需求需求 D 和交货时间和交货时间 L：随机变量。：随机变量。交货时间内的需求量交货时间内的需求量 X 也是随机变量。也是随机变量。决策变量：订货点决策变量：订货点r 和订货量和订货量q。对于给定的订货点对于给定的订货点r，称数量，称数量r-E(X)为安全库存。为安全库存。安全库存的作用是匹配在交货时间内的随机需求，安全库存的作用是匹配在交货时间内的随机需求，较好地满足顾客的需求。较好地满足顾客的需求。当交货时间内的需求量当交货时间内的需求量X 服从正态分布。服从正态分布。在标准正态分布下，订货点
41、在标准正态分布下，订货点r 所对应的缺货点为：所对应的缺货点为：x)(安全库存xXEry给定给定 y，标准正态分布随机变量，标准正态分布随机变量X 的损失函数为：的损失函数为：)()()(ydyyNLyyyy)()(给定订货点给定订货点r r，单周期内平均缺货量可表示为：，单周期内平均缺货量可表示为：)()()()(yNLyErXEBEXXrXXEX)(XXEry)(假设所有的需求必须被满足，允许缺货发生，缺假设所有的需求必须被满足，允许缺货发生，缺货不会引起销售损失。货不会引起销售损失。假设平均缺货成本为假设平均缺货成本为CB，h 为库存维持费用，为库存维持费用，K为订货费用为订货费用。总期
42、望费用总期望费用 期望库存维持费用期望缺货费用期望库存维持费用期望缺货费用期望订货费用期望订货费用qDKEqDEBECXErqhrqTCrB)()()()(2(),(连续性随机的连续性随机的(r,q)模型可归纳为下列优化问题：模型可归纳为下列优化问题：),(min,rqTCrq0*)*,(*)*,(rrqTCqrqTC由下列等式可求得最优订货点由下列等式可求得最优订货点r*：)()(*DEChqrXPBq*近似于近似于hDKE)(2在在(r,q)随机需求随机需求EOQ模型中，平均缺货成本模型中，平均缺货成本CB的确的确立是非常困难的。下面将利用服务水平立是非常困难的。下面将利用服务水平SL来求
43、最优订货来求最优订货点点r。服务水平定义为：服务水平定义为：期望需求量期望缺货量 SL1qXErNLSLXX)(1例例11.9 11.9 一个移动硬盘销售商每年移动硬盘的需一个移动硬盘销售商每年移动硬盘的需求服从正态分布，其中方差为求服从正态分布，其中方差为408408个，均值为个，均值为10,00010,000个。这个销售商向区域分销商订货。每次个。这个销售商向区域分销商订货。每次订货的交货时间服从正态分布，其中均值为两周，订货的交货时间服从正态分布，其中均值为两周，方差为一周（方差为一周（年）。每次订货的费用为年）。每次订货的费用为500500元，元，每年一个移动硬盘的存贮费用为每年一个移
44、动硬盘的存贮费用为1010元，订货都会元，订货都会被满足，根据历史统计知最优订货点为被满足，根据历史统计知最优订货点为900900。问。问移动硬盘销售商的订货量，安全库存水平移动硬盘销售商的订货量，安全库存水平,服务服务水平水平？解解 h=10，K=500，E(D)=10000，r*=900。100010000,10500221EOQ所以，订货量所以，订货量 q=1000个。个。61.384)(261)(DEXE29.208)521000,10()408(26122X39.51561.384900)(*XEr,0022.0)4744.2()(*NLXErNLX000458.010000022.
45、029.208)(1*qXErNLSLXX所以，服务水平所以，服务水平SL 99.95%.例例11.10 继续考虑例继续考虑例11.9，假设订货点未知，缺货成本为，假设订货点未知，缺货成本为200元。问移动硬盘销售商的订货量，订货点，安全库存元。问移动硬盘销售商的订货量，订货点，安全库存水平水平,服务水平？如果已知服务水平为服务水平？如果已知服务水平为95%，那么订货点，那么订货点，安全库存又为多少？安全库存又为多少？解解:由上题知：由上题知：h=10，K=500，E(D)=10000，q=1000，E(X)=384.61，另根据题意，可知：另根据题意，可知：CB=200 元，那么元，那么00
46、5.010000200100010)()(*DEChqrXPB29.208X005.0)29.20861.384(*rP查正态函数表得：查正态函数表得：9949.0)57.2(E92.91957.229.20861.384*rr31.53561.38492.919)(*XEr,0016.0)57.2()(*NLXErNLX000333.010000016.029.208)(1*qXErNLSLXX9997.0000333.01SL如果服务水平为如果服务水平为95%，则，则240002920805010001.)SL(q)X(Er(NLXX*54773723029208.)X(Er*订货点订货点
47、 15462613845477.r*第四节第四节 Excel在库存论中的应用在库存论中的应用一、一、用用Excel求解例题求解例题（一）用（一）用Excel求解例求解例11.1 打开打开Excel调用调用“例题例题11.1.xls”，第一步：在第一步：在B10B15中输入公式，例如在中输入公式，例如在B10中输入中输入“=SQRT(2*D4*D5/D6)”第二步：在第二步：在D4D7中输入中输入“订货费用、月需求量、库存费订货费用、月需求量、库存费用和单位生产成本用和单位生产成本”，例如在，例如在D4中输入月需求量中输入月需求量6000，回，回车，则计算出结果车，则计算出结果（二）用（二）用E
48、xcel求解例求解例11.2打开打开Excel调用调用“例例11.2.xls”。第一步：在第一步：在B11B14中输入公式，例如在中输入公式，例如在B11中输入中输入“=SQRT(D6+D8)/D8)*SQRT(2*D4*D5/D6)”第二步：在第二步：在D4D8中输入中输入“订货费用、月需求量、库存费订货费用、月需求量、库存费用、单位生产成本和单位缺货费用用、单位生产成本和单位缺货费用”，例如在，例如在D4中输入订中输入订货费用货费用120,000，回车，则计算出结果，回车，则计算出结果（三）用（三）用ExcelExcel求解例求解例11.311.3打开打开Excel调用调用“例例11.3.
49、xls”。第一步：在第一步：在B10B19中输入公式，例如在中输入公式，例如在B10中输入中输入“=SQRT(D8/(D8-D5)*SQRT(2*D4*D5/D6)”第二步：在第二步：在D4D8中输入中输入“订货费用、月需求量、库存费用订货费用、月需求量、库存费用、单位生产成本和供货速率、单位生产成本和供货速率”，例如在，例如在D8中输入中输入8000，回车，回车，则计算出结果，则计算出结果（四）用（四）用ExcelExcel求解例求解例11.411.4打开打开Excel调用调用“数量折扣模型数量折扣模型.xls”。第一步：分别在第一步：分别在B11B21、C11C17、D11D17中输入公式
50、中输入公式，例如在，例如在B12中输入中输入“=SQRT(D8/(D8-D5)*SQRT(2*D4*D5/D6)”第二步：分别在第二步：分别在“订货费用订货费用”、D3中输入中输入“年销售量年销售量”、D4中输入中输入“存贮费用存贮费用”，例如在，例如在D2中输入中输入490，回车，则计，回车，则计算出结果算出结果（五）用（五）用ExcelExcel求解例求解例11.811.8打开打开Excel调用调用“例例11.8.xls”。第一步：在第一步：在E1中输入公式中输入公式“=3*E2+100000*EXP(-E2/10000)”第二步：在第二步：在“工具工具”栏中选取栏中选取“单变量求解单变量
