1、EFMANDB12如图如图,AB=AD,BC=DC,求证求证:B=D.BADC连连线线构构造造全全等等3连接连接AC构造全等三角形构造全等三角形连线连线 构造全等构造全等如图如图,AB与与CD交于交于O,且且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求，求OD的长的长.连接连接BD构造全等三角形构造全等三角形DACB45如何利用三角形的中线来构造全等三角形？如何利用三角形的中线来构造全等三角形？可以利用可以利用倍长中线法倍长中线法，即把中线，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。延长一倍，来构造全等三角形。如图，若如图，若AD为为ABC的中线，的中线，延长延长AD到到E，使，使DE=AD，连结连结B
2、E（也可连结（也可连结CE）。）。1A必有结论：必有结论：ABDECD，1=E，B=2，EC=AB，CEAB。BD2CE6已知，如图已知，如图AD是是ABC的中线，的中线，1求证：AD?(AB?AC)2延长延长AD到点到点E，使，使DE=AD，连结连结CE.BACD倍长中线思考：若思考：若AB=3,AC=5求求AD的取值范围？的取值范围？E78截长截长 补短补短已知在已知在ABC中，中，C=2B,1=2A求证求证:AB=AC+CDEB12DCF在在AB上取点上取点E使得使得AE=AC，连接，连接DE在在AC的延长线上取点的延长线上取点F使得使得CF=CD，连接，连接DF9如图所示，已知如图所示
3、，已知ADBC，1=2，3=4，直线，直线DC经过点经过点E交交AD于点于点D，交交BC于点于点C。求证：。求证：AD+BC=ABDE4C3A12FB截截长长补补短短10在在AB上取点上取点F使得使得AF=AD,连接连接EF已知：如图，在四边形 ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：证明：在A+C=180BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在ABD和EBD中 AB=EB（已知）1=2（已证）BD=BD（公共边）ABDEBD（S.A.S）A3（全等三角形的对应角相等）1 12 23 3*例1AD1B（平角定义），A3（已证）
4、23E4C 3+4180AD=DE（全等三角形的对应边相等）AD=CD（已知），AD=DE（已证）DE=DC（等量代换）4=C（等边对等角）A+C180（等量代换）11已知：如图，在四边形 ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：证明:延长A+C=180BA到F，使BF=BC，连结DF。F BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在BFD和BCD中例1A31B24D BF=BC（已知）1=2（已证）BD=BD（公共边）C FC（已证）4=C（等量代换）3+4180（平角定义）A+C180BFDBCD（S.A.S）FC（全等三角形的对应角相等）DF=DC（全等三角形的对
5、应边相等）1 12 23 3*AD=CD（已知），DF=DC（已证）DF=AD（等量代换）4=F（等边对等角）（等量代换）12如图，已知ABC中，AD是是BAC的角平分线，练习练习1 1AB=AC+CD，求证：，求证：C=2B证明证明:在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。A12 AD是BAC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在AED和ACD中EB AE=AC（已知）1=2（已证）AD=AD（公共边）34DCAEDACD（S.A.S）C3（全等三角形的对应角相等)ED=CD（全等三角形的对应边相等）1 12 2*B=4（等边对等角）3=B+4=2B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两
6、个内角和）C=2B（等量代换）13又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）EB=DC=ED（等量代换）如图，已知ABC中，AD是是BAC的角平分线，练习练习1 1AB=AC+CD，求证：，求证：C=2B证明证明:延长AC到F，使CF=CD，连结DF。A12 AD是BAC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）AB=AC+CD，CF=CD（已知）AB=AC+CF=AF（等量代换）在ABD和AFD中 AB=AF（已证）BD3C1=2（已证）AD=AD（公共边）F ACB=2F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）141 12 2*ABDAFD（S.A.S）FB（全等三角形的对应角相等）AC
7、B=2B（等量代换）CF=CD（已知）B=3（等边对等角）如图，已知直线如图，已知直线MNPQ，且，且AE平分平分BAN、BE平分平分QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D，交PQ于点C。求证：AD+AB=BC。证明证明:延长AE，交直线PQ于点F。MDA34NE212122223 30 0*1PB25FC Q1516.“周长问题周长问题”的转化的转化借助借助“角平分线性质角平分线性质”1.如图如图,ABC 中中,C=90o,AC=BC,AD平分平分ACB,DEAB.若若 AB=6cm,则则DBE的周长是多少的周长是多少?CDBE+BD+DEBE+BD+CDABE+BCBE+ACBE+AE
8、ABEB17.“周长问题周长问题”的转化的转化借助借助“垂直平分线性质垂直平分线性质”2.如图如图,ABC中中,D在在AB的垂直平分线上的垂直平分线上,E在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上.若若BC=6cm,求求ADE的周长的周长.AD+AE+DEBD+CE+DEBCBADEC18.“周长问题周长问题”的转化的转化借助借助“等腰三角形性质等腰三角形性质”5.如图如图,ABC中，中，BP、CP是是ABC的角平分线，的角平分线，MN/BC.若若BC=6cm,AMN周长为周长为13cm，求，求ABC的周长的周长.AAB+AC+BCAM+BM+AN+NC+6AM+MP+AN+NP+6AM+AN+MN
9、+613+6BMPNC1920ABC中中,ABAC，A的平分线与的平分线与BC的垂直平分线的垂直平分线DM相交于相交于D，过，过D作作DE AB于于E，作，作DFAC于于F。A求证：求证：BE=CF连接连接DB,DCBDEMCF垂直平分线上点向两端连线段垂直平分线上点向两端连线段21?如图，已知三角形如图，已知三角形ABC中中,BC边上的垂直平边上的垂直平分线分线DE与角与角BAC的平分线交于点的平分线交于点E，EF垂垂直直AB交交AB的延长线于点的延长线于点F，EG垂直垂直AC交交AC于点于点G。求证：。求证：(1)BF=CG?(2)判定判定AB+AC与与AF的关系的关系2223o如图如图,
10、ABC 中中,C=90,BC=10,BD=6,AD平分平分BAC,求点求点D到到AB的距离的距离.A过点过点D作作DEAB于点于点 EEBCD角平分线上的点向角两边做垂线段角平分线上的点向角两边做垂线段24已知：如图，在四边形 ABCD中，BD是例1ABC的角平分线，AD=CD，求证：证明:作DMBC于M，DNBA交BA的延长线于N。A+C=180 BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）DNBA，DMBC（已知）N=DMB=90（垂直的定义）在NBD和MBD中N=DMB（已证）1=2（已证）BD=BD（公共边）NBDMBD（A.A.S）ND=MD（全等三角形的对应边相等）DNBA
11、，DMBC（已知）4=C（全等三角形的对应角相等）3+4180（平角定义），A3（已证）A31B2N4DM C1 12 23 3*NAD和MCD是Rt在RtNAD和RtMCD中ND=MD（已证）AD=CD（已知）RtNADRtMCD（H.L）A+C180（等量代换）25角平分线上点向两边作垂线段如图如图,OC,OC 平分平分AOB,AOB,DOE+DPE=180DOE+DPE=180APD=PEPD=PE求证求证:PD=PE.PD=PE.过点过点P作作PFOA,PG OB垂足为点垂足为点F,点点GOFDPGCEB26线段与角求相等，先找全等试试看。线段与角求相等，先找全等试试看。图中有角平分线，可向两边作垂线。图中有角平分线，可向两边作垂线。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段计算和与差，巧用截长补短法。线段计算和与差，巧用截长补短法。三角形里有中线，延长中线三角形里有中线，延长中线=中线。中线。想作图形辅助线，切莫忘记要双添。想作图形辅助线，切莫忘记要双添。27
