1、第六章第七章第六章第七章 习习 题题 课课一、重点与难点一、重点与难点三、典型例题三、典型例题二、主要内容二、主要内容一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点(3)矩估计矩估计与与最大似然估计最大似然估计.(1)正态总体某些常用统计量的分布正态总体某些常用统计量的分布.(2)分位点的查表计算分位点的查表计算.(4)(4)一个正态总体参数的区间估计一个正态总体参数的区间估计2.难点难点(3)最大似然估计最大似然估计(1)几个常用统计量的构造几个常用统计量的构造.(2)标准正态分布和标准正态分布和F分布分位点的查表计算分布分位点的查表计算.(4)(4)两个正态总体参数的区间估计两个正态总体参数的区
2、间估计总总 体体个个 体体样本样本常用统计量的分布常用统计量的分布分位点分位点概率密度函数概率密度函数二、主要内容二、主要内容统计量统计量常用统计量常用统计量性质性质 t 分布分布 F 分布分布 分布分布2 重要的抽样分布定理重要的抽样分布定理矩估计量矩估计量估计量的评选估计量的评选最大似然估最大似然估计量计量最大似然估计的性质最大似然估计的性质似然函数似然函数无偏性无偏性正态总正态总体均值体均值方差的方差的置信区置信区间与上间与上下限下限有效性有效性置信区间和上下限置信区间和上下限求置信区间的求置信区间的步骤步骤相合性相合性0.01.,),(),(),(2222111211221的概率大约为
3、的概率大约为过过差超差超使得这两个样本均值之使得这两个样本均值之试确定试确定的样本均值的样本均值和和的两样本的两样本为为的容量的容量是来自正态总体是来自正态总体和和设设 nXXXXXXnNXXnn解解,21 nNX ,22 nNX ,2,0 221 nNXX 则则 21 XXP 2/221nnXXP 例例1 2/2121nnXXP 221nn 222n,01.0,995.02 n 有有查标准正态分布表知查标准正态分布表知,58.22 n .14 n于是于是.2)(12)2(;2)(12)1(,),(16 ),(2122212216212 niiniiXXnPXnPXXXnNX求概率求概率的样本
4、的样本量为量为从此总体中取一个容从此总体中取一个容设总体设总体解解 ,(1)1621是来自正态总体的样本是来自正态总体的样本因为因为XXX),()(1 2122nXnii 所以所以例例2 21222)(12 niiXnP于是于是 32)(1816122iiXP 32)16(82 P8)16(32)16(22 PP8)16(132)16(122 PP;94.0),1()(1 (2)2122 nXXnii 因为因为 21222)(12 niiXXnP于是于是 32)(1816122iiXXP 32)15(82 P32)15(8)15(22 PP.98.0 第七章第七章 备用例题备用例题例例3解解.
5、,)0(.,0 ,0,00,e)(,)(0大似然估计大似然估计的最的最试求试求只器件失效只器件失效此时有此时有束束结结试验进行到预定时间试验进行到预定时间投入独立寿命实验投入独立寿命实验在时刻在时刻只只从这批器件中任取从这批器件中任取未知未知其中其中其他其他概率密度概率密度指数分布指数分布服从服从以小时计以小时计设某种电子器件的寿命设某种电子器件的寿命 nkkTtnttfTt ,:0只器件未失效只器件未失效失效失效只器件只器件为止有为止有试验到时间试验到时间设事件设事件knkTA ),(tFT 的分布函数为的分布函数为记记,00,e1)(其他其他ttFt ,0 投入试验投入试验一只器件在一只器
6、件在 t 0以前失效的概率为以前失效的概率为在时间在时间T)(0TF 0TTP,e10T 0未失效的概率为未失效的概率为在时间在时间T)(10TF 0TTP,e0T 根据试验的独立性根据试验的独立性,的概率为的概率为事件事件 A,e e1)(00knTkTknL ),)(e1lnln)(ln00TknkknLT ,0)(e1ed)(lnd 0000 TknkTLTT 令令 ,e 0knnT 得得 的最大似然估计为的最大似然估计为解得解得 .ln10knnT 解解?)05.0(,0025.0,7.12,16,0.01,),(22 问此仪器工作是否稳定问此仪器工作是否稳定算得算得个点个点今抽测今抽
7、测超过超过按仪器规定其方差不得按仪器规定其方差不得现对该区进行磁测现对该区进行磁测从正态分布从正态分布设某异常区磁场强度服设某异常区磁场强度服sxN,05.0,16 n,5.27)15(2025.0 置信区间为置信区间为的的 1 2 ,26.6)15(2975.0 )1()1(,)1()1(22/1222/2nSnnSn ),00599.0,00136.0(.,0.012故此仪器工作稳定故此仪器工作稳定不超过不超过由于方差由于方差 例例4例例5解解.2(2).),;(,05.0)d,;(1),.,),(222122的最大似然估计的最大似然估计求求的概率密度的概率密度是是其中其中估计估计的最大似
8、然的最大似然的点的点求使得求使得的样本的样本是来自是来自未知未知设总体设总体 XPXxfaxxfXXXXNXan ,的最大似然估计分别为的最大似然估计分别为已知已知 ,x .)(121xxnnii axxf)d,;()1(2 ),;(),;(22 aFF ,1 a )(的分布函数的分布函数为为 XF,05.01 a要使要使95.0 a),645.1(,645.1 a.645.1 a由最大似然估计的不变性由最大似然估计的不变性,的最大似然估计是的最大似然估计是a.645.1 a2 (2)XP,21 由最大似然估计的不变性由最大似然估计的不变性,2 的最大似然估计为的最大似然估计为知知 XP.21
9、2 XP例例6?,)3(.,)2(.1 ,)1(,0,e)(2122121)(中哪一个较有效中哪一个较有效问问计量计量的无偏估的无偏估是是并验证并验证的矩估计量的矩估计量求求的无偏估计量的无偏估计量是是并验证并验证的最大似然估计量的最大似然估计量求求的样本的样本是来自是来自为未知参数为未知参数其他其他的概率密度的概率密度设总体设总体 nXXXXxxfXnx 解解,(1)2121的一个样本值的一个样本值是相应于样本是相应于样本设设nnXXXxxx似然函数为似然函数为 .,0,e)(211)(其他其他 nnixxxxLi ,),min(21)1(nxxxx 记记 ,)1(21 xxxxn相当于相当
10、于由于由于 .,0,e)(1)(1)1xxLniinx 因而因而 ,)(1)的增加而递增的增加而递增随随时时当当 Lx 0.)(1)Lx时时当当 ,)(1)时取最大值时取最大值当当xL ,)1(x 的最大似然估计值为的最大似然估计值为,)1(X 的最大似然估计量的最大似然估计量 的分布函数的分布函数因为因为 X xxxfxF)d()(其他其他,0,e)(xxx .,0,e1)(其他其他 xx )1(的分布函数为的分布函数为则则 XnXxFxF)(1 1)()1(.,0,e1)(其他其他 xxn )1(的概率密度为的概率密度为X)()1(xfX .,0,e)(其他其他 xnxn )1(的数学期望
11、为的数学期望为X)()1(XE xnxxnde)(xxxnxndee)()(,1 n .)1(的无偏估计量的无偏估计量不是不是因此因此 X ,11 (1)nXn 因为因为 ,1 nE则则 .11 (1)1的无偏估计量的无偏估计量是是于是于是 nXn xxXExde)(2)(因为因为 xxxxdee)()(,1 ,1)(XE 所以所以.1 2 X 的矩估计量的矩估计量)1()(2 XEE 因为因为,1)(XE .12的无偏估计量的无偏估计量是是所以矩估计量所以矩估计量 X xxXExde)(3)(22 xxxxxde2e)()(2,1)(22 22)()()(XEXEXD ,11)(1)(222
12、 )1()(2 XDD 故故)(XD)(1XDn,1n )(2)1(XE因为因为 xnxxnde)(2 xxxxnxnde2e)()(2,122 nn 2)1(2)1()1()()()(XEXEXD 22112 nnn ,12n nXDD1)(1)1)(1)XD 21n n1),(2 D ,1 时时当当 n),()(21 DD .21有效有效较较故故 的矩估计，求,取一个样。从中抽 0为已知常数，且cc ，10其中参数,0,1);(具有概率密度 设总体2).(),(),()2(;,(1),)(1 21)11(122121nnnxxxcxxcxfSEXDXEXXXXXXXX其它求的联合分布律求的
13、样本为来自总体服从设似然估计的极 求，),(单随机样本的 X总体试是已知常数，0是未知参数，a0 其中0,0,0,);(具有概率密度为X 设总体 3211大简根据来自nxxxxxxexxf 哥色特和哥色特和t分布分布 哥色特，其笔名Student比他的真名更为人所知.奈曼曾指出，许多统计学家在哥色特于1937年去世后，尚不知他就是Student。哥色特1876年出生于坎特伯雷.他曾在温彻斯特大学和牛津大学就读.1899年作为一名酿酒师进入爱尔兰的都柏林一家啤酒厂工作，在那里他涉及到有关酿造过程的数据处理问题.。1906到1907年他有1年的时间去皮尔逊那里学习和研究统计学。他着重关心的是由人为
14、试验下所得的少量数据的统计分析问题，在当时这是一个全新的课题，因为如前面曾指出的，当时统计学中占主导地位的卡尔皮尔逊学派强调的是由自然观察得来的大量数据的统计处理。这一研究的成果，就是那篇使他名垂统计史册的论文均值的或然误差，发表于1908年的生物计量杂志上。而这一思想的中心就是从正态分布的数据中抽取样本，总体标准差未知的情况下，由样本标准差代替，标准化变量并不服从正态分布，而是服从n1自由度的t分布，他首次将小样本理论提到日程。随着小样本理论的进度，其重要意义日益为统计学界所理解，特别是t分布的意义，因为这个分布以后多次出现在一些重要统计量分布的结果中，于是Student这一结果的行情逐日看涨，导致后来统计界将他尊为小样本理论的开创者和鼻祖.从Student的工作意义和对以后数理统计学发展所起的影响来看，应该说他对这一评价是当之无愧的.
