1、天气冷热雨的大小风的强弱人的胖瘦年龄大小个子高低输出层输出层隐藏层隐藏层输入层输入层o1o2omx1x2xn模糊数学的创立及发展模糊数学的创立及发展模糊数学的创立及发展模糊集合和模糊关系一、模糊集合及其表述3、模糊集合常用术语及其表述、模糊集合常用术语及其表述 模糊集合和隶属函数模糊集合和隶属函数精确集合精确集合（非此即彼）：（非此即彼）：A=X|X6精确集合的隶属函数（特征函数）：精确集合的隶属函数（特征函数）：1 A 0 A AX X如果如果模糊集合模糊集合：如果如果X是对象是对象x的集合，则的集合，则X的模糊集合的模糊集合 A：(,()|AAxxxX 称为模糊集称为模糊集A的的隶属函数。
2、隶属函数。()Ax隶属函数的性质：a)定义为有序对；b)隶属函数在0和1之间；c)其值的确定具有主观性和个人的偏好。X称为论域或域。构造模糊集就是要：确定合适的论域和指定适当的隶属函数。6X 6X6X 1A0A1131 0)(xA精确集合模糊集合()1Ax1136论域的二种形式：1）离散形式：举例：X=上海 北京 天津 西安为城市的集合。模糊集合 C=“对城市的爱好”可以表示为：C=(上海,0.8),(北京,0.9),(天津,0.7),(西安,0.6)又：X=0 1 2 3 4 5 6为一个家庭可拥有自行车数目的集合模糊集合 C=“合适的可拥有的自行车数目”C=(0,0.1),(1,0.3),
3、(2,0.7),(3,1.0),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1)（序偶表示法）2)连续形式:令X=R+为人类年龄的集合,模糊集合 B=“年龄在50岁左右”，则B可表示为:4,()|1 ()501()10BBBxxxXxx式中：图示:模糊集合的公式表示(Zadeh表示法)XiAXxiiAXxxXxxAi轴）为连续空间（通常为实为离散对象集合 /)(/)(注意:和并非求和和积分符号。上述三个例子分别可写为C=0.8/上海+0.9/北京+0.7/天津+0.6/西安C=0.1/0+0.3/1+0.7/2+1.0/4+0.3/5+0.1/641/501()10RBxx/不是除法运算 支集(
4、)|()0AAxx支集支集核交叉点截集交叉点 核 截集|()AAxx截集（）交叉点|()0.5Axx 模糊单点()1Ax年龄隶属函数1.00.54590 凸性满足：，和任何当仅当任何一个模糊集合是凸的，1 0 ,21Xxx()()1AAxx核12122(1)min(),()AAxxxx普通函数凸的定义:1212(1)()(1)()fxxf xf x）它的定义比模糊凸的定义严格不符合凸函数条件1x2x:():,(),:xT xxx T xX G MXGxM变量的名称术语的集合（）论域产生 值名称的句法规则与各值含义有关的语法规则 语言变量 5元组为特征xX()1Ax二、模糊集合的运算和隶属函数的
5、参数化二、模糊集合的运算和隶属函数的参数化包含或子集：并（析取）交（合取）补（负）)()(xxBABA)()()(),(max(xxxxBACBABACBABACxxBAC)(),(min()(1)(,xxAAAAA或非隶属函数参数化1.三角形隶属函数xccxbbxaaxcbaxtrigbcxcabax 0 0),;(;,)max(min(,),0)xa cxtrig x a b cba cb2.梯形隶属函数0 (,)1 0 xabadxdcxaaxbtrap x a b c dbxccxddx(;,)max(min(,1,),0)xadxtrap x a b c dbadc3.高斯形隶属函数
6、的宽度。决定的中心；代表MFMFcecxgcx),;(2)(21u高斯MF完全由c和决定，c代表MF的中心；决定了MF的宽度。4.一般钟形隶属函数bacxcbaxbell211),;(u参数完全由b通常为正；如果b0,钟形将倒置。u钟形MF实际上是概率中柯西分布的推广，因此又称为柯西MF。trig(x;20,60,80)trap(x;10,20,60,90)g(x;50,20)bell(x:20,4,50)cc-ac+a斜率=-b/2a隶属函数的参数化举例：以钟形函数为例，bacxcbaxbell211),;(a,b,c,的几何意义如图所示。改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。三、二维模糊
7、隶属函数及其运算规则三、二维模糊隶属函数及其运算规则1）一维模糊集合的圆柱扩展()()/(,)AX YC Axx y,XAXYC论域中的模糊集合则其在中的圆柱扩展是一个模糊集合：XYRXY在中二维模糊集合 在和 的投影分别定义为：max(,)/XRXyRx yxmax(,)/YRYxRx yy2）模糊集合的投影3)复合二维MF和非复合二维MF22223(,)ex p()(4)234ex p()ex p()21(;3,2)(;4,1)Axxyyxygxgy1(,)134Axyxy复合式非复合式 复合二维MF可由两个一维MF经max(OR)和min(AND)运算集结。梯形trap(x,-6,-2,
8、2,6)和trap(y,-6,-2,2,6)的min和 max运算钟形bell(x,4,3,0)和bell(y,4,3,0)的min和 max运算 是函数T的二元算子，称作T-范式（三角范式）算子，并且满足以下四条性质：4)更一般化的模糊交、并、补运算(1)三角范式运算：二个模糊集合A和B的“交”用如下函数确定:0,1 0,10,1T)()()(),()(xxxxTxBABABA(,)(,)()T a bT b a交换性(,)(,),and()T a bT c d if acbd单调性(0,0)0,(,1)(1,)()TT aTaa有界(,(,)(,),)()T aT b cT T a b c
9、结 合 性4个最常用的T-范式算子：min (,)min(,)(,)(,)max0,1 1 (,)a1 0 ,1apbpdpTa baba bTa bababTa babababTa babba b交（极小）：代数积：有界积：如强积：如如4个T范式算子以a,b为自变量的表面图(2)协三角运算 S范式二个模糊集合A和B的“并”用如下函数确定:0,1 0,10,1S)()()(),()(xxxxSxBABABA 是函数S的二元算子，称作T-协范式（协三角范式）算子或S-范式，并且满足以下四条性质：(,)(,)()S a bS b a交换性(1,1)1,(,0)(0,)()SS aSaa有界(,(,
10、)(,),)()S a S b cS S a b c结 合 性(,)(,),and()S a bS c d if acbd单调性max (,)max(,)(,)(,)min1,0 (,)a0 0 ,1asbsdsSa baba bSa babababSa babababSa babba b并（极大）：代数和：有界和：如强和：如如4个最常用的S-范式算子：4个S-范式算子以a,b为自变量的表面图(3)一般化的模糊补算子可定义为如下函数形式:0,10,1N()(),()N aN bif ab单调性第一种选择模糊补的方法，要求满足以下2条(0)1,(1)0 ()NN有界第二种选择模糊补的方法，要求满
11、足对合条件，即()()N N aa对合显然，满足对合条件的函数N，必然关于连接(0,0)和(1,1)的直线对称。5)模糊隶属函数的修正（Hedges)75.0minus25.1plus5.0dilA2conA)()()()(minus)plus()3)()(Dilation)2)()(ion)Concentrat(1xxxxxxxxAAAA或人为修正扩展压缩）)(xA)(conAx)(dilAx四、模糊关系与复合运算四、模糊关系与复合运算精确关系模糊关系同一空间表示二个或二个以上集合元素之间关联、交互、互连是否存在。表示二个或二个以上集合元素之间关联、交互、互连是否存在或不存在的程度。是二个精
12、确的集合。,|),(),(VUYyXxyxVUR是二个论域。,),(|),(,(),(VUVUyxyxyxVURR其它。当只当（0)(),1VURyxR(,)0,1Rx y举例011000 321yyy21xx8.07.00.19.0008.007.01.00.18.04321yyyy123xxx同一空间模糊关系复合运算：同一空间模糊关系复合运算：取极小运算（三角范式运算）),(),(),(yxyxyxSRSR取极大运算协三角范式运算）(),(),(),(yxyxyxSRSR或举例8.07.019.0008.007.01.018.0),(yxM5.08.003.07.05.04.09.06.0
13、9.004.0),(yxL5.07.003.0004.006.01.004.0),(yxLM8.08.019.07.05.08.09.07.09.018.0),(yxLM非同一空间模糊关系复合运算：非同一空间模糊关系复合运算：精确关系模糊关系 不同乘积空间，但有一个公共集合的二个关系复合定义为：.),(,),(,),(),(),(),(为复合算子使当仅当至少有一个的子集，是QwyPyxVyRwxWURWVQVUPWUR),(),(max),(),(-max )2),(),(min(max),(),(minmax 1wyyxwxwxwyyxwxwxQPyQPQPyQP乘积复合运算复合运算）常用的
14、复合运算：不同乘积空间，但有一个公共集合的二个模糊关系P(U,V)和S(V,Z)定义为：RPS1 max min(,)(,),supmin(,),(,)2)max-(,)(,),sup(,)(,)P SPSy VP SPSy Vx zx zx yy zx zx zx yy z常用的模糊复合运算：）复合运算乘积复合运算当U,V,W是离散论域时，Sup(取上界)变成取极大运算非同一空间模糊关系复合运算举例与图示：非同一空间模糊关系复合运算举例与图示：2.07.06.05.03.02.01.09.0),(2.03.08.06.09.08.02.04.07.05.03.01.0),3,2,1ZYSYX
15、RbaZYX（令举例3.06.06.07.05.07.0minmaxSR 复合：采用24.054.048.063.030.049.0:maxSR 乘积复合采用0.630.63)0.4,0.04,(0.36,max )7.09.0,5.08.0,2.02.0,9.04.0(max),2(0.70.7)0.5,0.2,(0.4,max )7.09.0,5.08.0,2.02.0,9.04.0(max),2(aaSRSR123abXRSZ0.40.20.80.90.90.20.50.7 X中元素2和Z中元素a通过二二连接建立的路径，选择连接强度最大者，其强度由子路径强度乘积或取极小计算而得。图示：Y
16、UxUxUxUx),(yxR),(yxRVyVy),(zyS),(zySWzWzWz),(azT),(azT),(zxSR),(zxSR),(axTSR),(axTSRXaXa),(zyS)(xRRVU),(zxSR模糊关系隶属函数的计算),(zxSR),(axTSR),(),(sup(zyyxSR),(),(),(sup(azzyyxTSR为离散域时：当WVU,),(),(),(max),(-max )2),(),(),(min(max),(minmax 1azzyyxaxazzyyxaxTSRVyTSRTSRVyTSR乘积复合运算复合运算）),(zxSR),(),(maxmin(zyxSR),(zxSR),()(max(zyxSR或
