1、10:22:33MCM1第一章、数学建模概论第一章、数学建模概论 前言前言1.1 1.1 数学模型与数学建模数学模型与数学建模1.2 1.2 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤1.3 1.3 数学模型的分类数学模型的分类1.4 1.4 数学建模与能力的培养数学建模与能力的培养10:22:34MCM2 随着电子计算机的出现和科学技术的迅猛发展，数学随着电子计算机的出现和科学技术的迅猛发展，数学的应用已不再局限于传统的物理领域，而正以空前的广度的应用已不再局限于传统的物理领域，而正以空前的广度和深度逐步渗透到人类活动的各个领域。和深度逐步渗透到人类活动的各个领域。前言：前言：利用数学知识研究和解
2、决实际问题，遇到的第一项工利用数学知识研究和解决实际问题，遇到的第一项工作就是要建立恰当的数学模型（简称数学建模），数学建作就是要建立恰当的数学模型（简称数学建模），数学建模正在越来越广泛地受到人们的重视。模正在越来越广泛地受到人们的重视。10:22:34MCM31.1 1.1 数学模型与数学建模数学模型与数学建模模型模型是客观实体有关属性的模拟。1.陈列在橱窗中展览的飞机模型 2.参加航模比赛的飞机模型 模型并非一定要是实体的一种仿照，也可以是对实体的某些基本属性的抽象。例如，电路图/地图10:22:34MCM4 数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它们的建数学模型一般并非现实问题的直接翻版
3、，它们的建立常常既需要人们对现实问题有比较深入细微的观察和立常常既需要人们对现实问题有比较深入细微的观察和分析，又需要人们能灵活巧妙地利用各种数学知识。这分析，又需要人们能灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用各种知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的种应用各种知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程被称为过程被称为数学建模数学建模（Mathematical ModelingMathematical Modeling）。）。为为了更清楚地说明什么是数学建模，让我们来看一个具体了更清楚地说明什么是数学建模，让我们来看一个具体实例。实例。数学模型数学模型（Mathematical ModelMat
4、hematical Model）作为模型的一）作为模型的一类，也是一种模拟，是以数学符号、数学表达式、程序、类，也是一种模拟，是以数学符号、数学表达式、程序、图形等为工具对现实问题或实际课题的本质属性的抽象而图形等为工具对现实问题或实际课题的本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略等。的最优策略或较好策略等。10:22:34MCM5例例1.1 1.1 （万有引力定律的发现）（万有引力定律的发现）那是那
5、是16661666年夏末的一个傍晚，在英格兰林年夏末的一个傍晚，在英格兰林肯郡乌尔斯索普，一个腋下夹着一本书的年轻肯郡乌尔斯索普，一个腋下夹着一本书的年轻人走进了他母亲家的花园里，坐在一棵树下，人走进了他母亲家的花园里，坐在一棵树下，开始埋头读他的书。正在他翻动书页时，他头开始埋头读他的书。正在他翻动书页时，他头顶上的树枝被风吹得晃动了起来。突然，顶上的树枝被风吹得晃动了起来。突然，“啪啪”的一声，一只历史上最著名的苹果落了下来，的一声，一只历史上最著名的苹果落了下来，恰好打在了这位青年的头上。这位青年不是别恰好打在了这位青年的头上。这位青年不是别人，正是时年人，正是时年2323岁的岁的 牛顿
6、牛顿(1642(16421727):1727):英国著名的物理学家、数学家和英国著名的物理学家、数学家和天文学家，是十七世纪最伟大的科学巨匠。天文学家，是十七世纪最伟大的科学巨匠。10:22:34MCM6 据说，牛顿当时正在苦苦思索着一个问题：是什么力据说，牛顿当时正在苦苦思索着一个问题：是什么力量使月球保持在环绕地球运行的轨道上，又是什么力量使量使月球保持在环绕地球运行的轨道上，又是什么力量使行星保持在其环绕太阳运行的轨道上？掉下的苹果打断了行星保持在其环绕太阳运行的轨道上？掉下的苹果打断了他的思索，他的思索，“为什么这只苹果会坠落到地上呢？为什么这只苹果会坠落到地上呢？”牛顿转牛顿转而考虑
7、起这个使他感到困惑不解的问题。有人说正是从这而考虑起这个使他感到困惑不解的问题。有人说正是从这一问题的思考中，他找到了答案，并提出了一问题的思考中，他找到了答案，并提出了 这一故事讲得有声有色，我们暂且不去管这一故事这一故事讲得有声有色，我们暂且不去管这一故事的真伪。树上掉下的苹果也许的确给过牛顿某种启示，的真伪。树上掉下的苹果也许的确给过牛顿某种启示，但万有引力定律的诞生却决非如此简单，事实上，它是但万有引力定律的诞生却决非如此简单，事实上，它是几代人努力的结果。几代人努力的结果。10:22:34MCM7 十五世纪中叶，十五世纪中叶，哥白尼哥白尼（1473-15431473-1543）冲破）
8、冲破宗教努力的束缚，向长期统治人们头脑的地心说宗教努力的束缚，向长期统治人们头脑的地心说发起挑战，提出了震惊世界的日心说。按照哥白发起挑战，提出了震惊世界的日心说。按照哥白尼的理论，地球在一个以太阳为圆心的圆形轨道尼的理论，地球在一个以太阳为圆心的圆形轨道上作匀速圆周运动，绕太阳一周的时间叫一年。上作匀速圆周运动，绕太阳一周的时间叫一年。哥白尼的理论是科学史上的一次重大革命，不仅哥白尼的理论是科学史上的一次重大革命，不仅改变了那个时代人类对宇宙的认识，而且根本动改变了那个时代人类对宇宙的认识，而且根本动摇了欧洲中世纪宗教神学的理论基础。恩格斯称摇了欧洲中世纪宗教神学的理论基础。恩格斯称“从此自
9、然科学便开始从神学中解放出来从此自然科学便开始从神学中解放出来”，“科学的发展从此便大踏步前进科学的发展从此便大踏步前进”。10:22:34MCM8 由于受到历史和科学水平的限制，哥白尼的学说也免由于受到历史和科学水平的限制，哥白尼的学说也免不了包含着一些不尽人意的缺陷。不了包含着一些不尽人意的缺陷。此后，丹麦著名的实验天文学家此后，丹麦著名的实验天文学家第谷第谷（1546-16011546-1601）花了二十多年的时间观察）花了二十多年的时间观察当时已被发现的五大行星的运动情况当时已被发现的五大行星的运动情况,获获得了十分丰富而又精确的第一手资料，他得了十分丰富而又精确的第一手资料，他一生的
10、奋斗目标就是提高观测的精确性，一生的奋斗目标就是提高观测的精确性，终身坚持准确细致的实地观测，并在去世终身坚持准确细致的实地观测，并在去世前，把这些毕生精心观测的资料（包括前，把这些毕生精心观测的资料（包括700700多颗恒星运行资料）都赠给了他晚年多颗恒星运行资料）都赠给了他晚年最大的发现最大的发现他的学生和助手他的学生和助手开普勒开普勒（1571-16301571-1630），并且告诫开普勒：一定），并且告诫开普勒：一定要尊重事实、尊重观察数据。要尊重事实、尊重观察数据。10:22:34MCM9 第谷遗留下来的资料浩如烟海，第谷遗留下来的资料浩如烟海，需要长期、耐心、细致地去研究。开需要长
11、期、耐心、细致地去研究。开普勒在对这些资料经过了长达九年的普勒在对这些资料经过了长达九年的分析计算后发现，第谷的观察结果与分析计算后发现，第谷的观察结果与哥白尼的理论并不完全一致。例如，哥白尼的理论并不完全一致。例如，他在分析火星的公转时发现，火星的他在分析火星的公转时发现，火星的运行周期与运用哥白尼理论计算出来运行周期与运用哥白尼理论计算出来的结果大约要相差的结果大约要相差1/81/8度（一个周期为度（一个周期为360360度），开普勒十分了解第谷的习性，度），开普勒十分了解第谷的习性，深信第谷的观察结果是精确无误的，深信第谷的观察结果是精确无误的，不可能有这样大的误差，于是他认为不可能有这
12、样大的误差，于是他认为产生这一误差的唯一原因就是火星有产生这一误差的唯一原因就是火星有可能不是作当时人们普遍认为的匀速可能不是作当时人们普遍认为的匀速圆周运动。圆周运动。10:22:34MCM10 他以观察数据为依据，改用各种不同的几何曲线他以观察数据为依据，改用各种不同的几何曲线来表示火星的运动轨迹，发现火星应当是沿椭圆轨道来表示火星的运动轨迹，发现火星应当是沿椭圆轨道绕太阳运行的，太阳在此椭圆的一个焦点上，而且其绕太阳运行的，太阳在此椭圆的一个焦点上，而且其它行星的运行也是如此。接着他又发现，虽然行星运它行星的运行也是如此。接着他又发现，虽然行星运行的速度是不均匀的，在近日点时较快，在远日
13、点时行的速度是不均匀的，在近日点时较快，在远日点时较慢，但是，从任何一点开始，在单位时间内，向径较慢，但是，从任何一点开始，在单位时间内，向径扫过的面积却是不变的。开普勒在计算出当时已知的扫过的面积却是不变的。开普勒在计算出当时已知的五大行星的运行周期五大行星的运行周期 ,轨道长半轴轨道长半轴 后，又发现了后，又发现了行星运行的某些规律（见表行星运行的某些规律（见表1-11-1）T10:22:34MCM11T2T310:22:35MCM12 当时，对数表已经出现了，开普勒在把上述数据的当时，对数表已经出现了，开普勒在把上述数据的对数查出来以后，又得一新表：对数查出来以后，又得一新表：lgalg
14、T由表由表1-21-2可以看出可以看出 lg:lg2:3aT，故，故32aT 据此，开普勒提出了至今仍十分著名的三大假设据此，开普勒提出了至今仍十分著名的三大假设（即（即KeplerKepler三定律三定律）10:22:35MCM13 （3 3）行星运行周期的平方正比于椭圆长半）行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次方，比例系数不随行星而改变（即为轴的三次方，比例系数不随行星而改变（即为绝对常数）。绝对常数）。（1 1）行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭）行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点上。圆的一个焦点上。（2 2）行星与太阳的连线（矢径）在相同时）行星与太阳的连线（矢径）在相同时
15、间内扫过的面积相等。间内扫过的面积相等。10:22:35MCM14 牛顿认为，行星运动之所以会具有上述特征，必定牛顿认为，行星运动之所以会具有上述特征，必定是某一力学规律的反映，他决心找出这一规律。根据开是某一力学规律的反映，他决心找出这一规律。根据开普勒提出的（普勒提出的（1 1）和（）和（2 2），行星运行的速度显然是不断），行星运行的速度显然是不断变化的，这种变化的速度在当时还无法计算，所需要的变化的，这种变化的速度在当时还无法计算，所需要的数学工具远远超越了当时传统数学的范围。为了研究这数学工具远远超越了当时传统数学的范围。为了研究这种变化的速度，牛顿不得不自己创造一套崭新的数学方种变
16、化的速度，牛顿不得不自己创造一套崭新的数学方法，并最终建立了微积分，这一过程也花费了他整整九法，并最终建立了微积分，这一过程也花费了他整整九年的时间。下面我们来看看，如何根据开普勒三定律和年的时间。下面我们来看看，如何根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即万有引力定律。万有引力定律。10:22:35MCM15 如图如图1-11-1所示，以太阳（设椭圆的左焦点）为极点，椭所示，以太阳（设椭圆的左焦点）为极点，椭圆的长轴方向为极轴建立极坐标系，则椭圆方程可表为：圆的长轴方向为极轴建立极坐标系，则椭圆方程可表为：cos1ep
17、r其中其中 2(1)pae222(1)baeba，e10:22:35MCM16应用微积分知识，不难求得，在极坐标下，矢径应用微积分知识，不难求得，在极坐标下，矢径dt在时间内扫过的面积的微元为在时间内扫过的面积的微元为:221122dAr drdt即即 221rdtdA 由开普勒的假设（由开普勒的假设（2 2），矢径在相同的间内扫过的面），矢径在相同的间内扫过的面积相等，故面积的变化率为常数，因此在任意时刻积相等，故面积的变化率为常数，因此在任意时刻 t212r221()12(2)02drrrrdt所以所以20rr 即即 10:22:35MCM17假设行星的运行周期为假设行星的运行周期为T，则
18、椭圆的面积恰为矢径，则椭圆的面积恰为矢径在一个周期内扫过的面积，即在一个周期内扫过的面积，即 TrdtdtdAabT2021，故，故 Tabr22太阳指向行星的矢径太阳指向行星的矢径 rr其长度其长度 与与x x轴的夹角轴的夹角 ),(r点处建立移动的直角坐标系，如图点处建立移动的直角坐标系，如图1-21-2所示所示 在在rurururuu其中其中与与同向，同向，垂直于垂直于和和均为单位矢量。均为单位矢量。10:22:35MCM18显然移动坐标系与固定坐标系之间有如下的坐标变换公式：显然移动坐标系与固定坐标系之间有如下的坐标变换公式：jiujiur)(cos)sin()(sin)(cosij其
19、中其中与与分别为长轴方向和短轴方向上的单位向量。分别为长轴方向和短轴方向上的单位向量。此外有此外有rurrruu对（对（1.31.3）式中的）式中的和和求导并和（求导并和（1.31.3）比较得：）比较得：rrujiuujiu)sin()cos()(cos)sin(10:22:35MCM19对（对（1.41.4）式求导并结合（）式求导并结合（1.51.5）式得：）式得：ururrr继续求导得：继续求导得：urururururrr 结合（结合（1.51.5）式和（）式和（1.11.1）式我们可得）式我们可得)(2.rrr 以下，我们设法来求以下，我们设法来求 2rr，为了计算方便，我们采用，为了计
20、算方便，我们采用椭圆的参数方程。椭圆的参数方程。10:22:35MCM20cos1eprAr2.2对椭圆方程对椭圆方程求导并注意到求导并注意到 可得：可得：sin2sincos1)cos1(sin.2.2.pAepeepeper)(22cos12cos2.rpprApApeApAer将将 2.2rA 代入上式可得：代入上式可得：32)()2(prrpAr 10:22:35MCM21由于由于TabA ，故，故222222.2342224()()4()4abpraba br rrpT rr TpT r 由开普勒假设（由开普勒假设（3 3），），32KaT，此外，由椭圆方程可知，此外，由椭圆方程可知
21、 2bpa，故，故 KpTba1222再由牛顿第二定律再由牛顿第二定律rurmKrmamF 221410:22:35MCM22KMG24GM记记，为绝对常数（其中为绝对常数（其中为太阳质量），于是为太阳质量），于是2rMmFGur 此即我们要推导的万有引力定理：万有引力的方向指此即我们要推导的万有引力定理：万有引力的方向指向太阳（即作用力为吸引力），大小与距离的平方成反比，向太阳（即作用力为吸引力），大小与距离的平方成反比，与太阳、行星质量的乘积成正比，而且比例系数为绝对常与太阳、行星质量的乘积成正比，而且比例系数为绝对常数。数。10:22:35MCM231.2 1.2 数学建模的一般步骤数学
22、建模的一般步骤 从前例可以看出，万有引力的导出并不像有些人想象从前例可以看出，万有引力的导出并不像有些人想象的那么简单。即使不把哥白尼的工作计算在内，也包含了的那么简单。即使不把哥白尼的工作计算在内，也包含了几代人的辛勤努力。没有第谷的观察数据就不会有开普勒几代人的辛勤努力。没有第谷的观察数据就不会有开普勒的三大定律，而没有开普勒的三大定律，牛顿也无从着手，的三大定律，而没有开普勒的三大定律，牛顿也无从着手，不可能得出万有引力定律。分析万有引力定律的导出过程，不可能得出万有引力定律。分析万有引力定律的导出过程，可以看出建立数学模型的过程大致可以分为以下几个步骤：可以看出建立数学模型的过程大致可
23、以分为以下几个步骤：10:22:35MCM24 了解问题的实际背景，明确建模目的，收集了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料，这一步骤可以看成是为建掌握必要的数据资料，这一步骤可以看成是为建立数学模型而做的前期准备工作。如果对实际问立数学模型而做的前期准备工作。如果对实际问题没有较为深入的了解，就无从下手建模。而对题没有较为深入的了解，就无从下手建模。而对实际问题的了解，有时还需要建模者对实际问题实际问题的了解，有时还需要建模者对实际问题作一番深入细致的调查研究，就像第谷观察行星作一番深入细致的调查研究，就像第谷观察行星的运动那样，去搜集掌握第一手资料。的运动那样，去搜集掌握
24、第一手资料。（1 1）了解问题的实际背景，明确建模目的了解问题的实际背景，明确建模目的10:22:35MCM25 在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计算，找出起主要作用的因素，经必要对资料的分析计算，找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。开普的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。开普勒通过长达九年的分析计算，才将第谷的观测数据浓勒通过长达九年的分析计算，才将第谷的观测数据浓缩总结为三大假设（即开普勒的三大定律），这三大缩总结为三大假设（即开普勒的三大定律），这三大假设是牛顿发现万有引力定律的重要基
25、础。本步骤实假设是牛顿发现万有引力定律的重要基础。本步骤实为建模的关键所在，因为其后的所有工作和结果都是为建模的关键所在，因为其后的所有工作和结果都是建立在这些假设的基础之上的，也就是说，科学研究建立在这些假设的基础之上的，也就是说，科学研究揭示的并非绝对真理，它揭示的只是：假如这些提出揭示的并非绝对真理，它揭示的只是：假如这些提出的假设是正确的，那么，我们可以推导出一些什么样的假设是正确的，那么，我们可以推导出一些什么样的结果。的结果。（2 2）提出假设提出假设10:22:35MCM26 在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻画在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻画各变量之间的关系
26、，建立相应的数学结构，即建立数学各变量之间的关系，建立相应的数学结构，即建立数学模型。采用什么数学结构、数学工具要看实际问题的特模型。采用什么数学结构、数学工具要看实际问题的特征，并无固定的模式。可以这样讲，几乎数学的所有分征，并无固定的模式。可以这样讲，几乎数学的所有分支在建模中都有可能被用到，而对同一个实际问题也可支在建模中都有可能被用到，而对同一个实际问题也可用不同的数学方法建立起不同的数学模型。一般地讲，用不同的数学方法建立起不同的数学模型。一般地讲，在能够达到预期目的的前提下，所用的数学工具越简单在能够达到预期目的的前提下，所用的数学工具越简单越好。越好。（3 3）建立数学模型建立数
27、学模型10:22:36MCM27 为了得到结果，不言而喻，建模者还应当对模型为了得到结果，不言而喻，建模者还应当对模型进行求解，根据模型类型的不同特点，求解可能包括进行求解，根据模型类型的不同特点，求解可能包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明等不同的方面，解方程、图解、逻辑推理、定理证明等不同的方面，在难以得出解析解时，还应当借助计算机来求出数值在难以得出解析解时，还应当借助计算机来求出数值解。解。（4 4）模型求解模型求解（5 5）模型的分析与检验模型的分析与检验 正如前面所讲，用建立数学模型的方法来研究实际正如前面所讲，用建立数学模型的方法来研究实际课题，得到的只是：假如给出的假设正确，就
28、会有什么课题，得到的只是：假如给出的假设正确，就会有什么样的结果。那么，假设正确与否或者是否基本可靠呢，样的结果。那么，假设正确与否或者是否基本可靠呢，建模者还应当反过来用求解得到的结果来检验它。建模者还应当反过来用求解得到的结果来检验它。10:22:36MCM28 建立数学模型的目的是为了认识世界、改造世建立数学模型的目的是为了认识世界、改造世界，建模的结果应当能解释已知现象，预测未来的界，建模的结果应当能解释已知现象，预测未来的结果，提供处理研究对象的最优决策或控制方案。结果，提供处理研究对象的最优决策或控制方案。实践是检验真理的唯一标准，只有经得起实践检验实践是检验真理的唯一标准，只有经
29、得起实践检验的结果才能被人们广泛地接受。的结果才能被人们广泛地接受。牛顿的万有引力定律不仅成功地解释了大量自牛顿的万有引力定律不仅成功地解释了大量自然现象，并然现象，并精确地预报了哈雷彗星的回归精确地预报了哈雷彗星的回归并预言了并预言了海王星、冥王星等当时尚未被发现的其他行星的存海王星、冥王星等当时尚未被发现的其他行星的存在，才奠定了其作为经典力学基本定理之一的稳固在，才奠定了其作为经典力学基本定理之一的稳固地位。由此可见，模型求解并非建模的终结，模型地位。由此可见，模型求解并非建模的终结，模型的检验也应当是建模的重要步骤之一。的检验也应当是建模的重要步骤之一。只有在证明了只有在证明了建模结果
30、是经得起实践检验建模结果是经得起实践检验的以的以后，建模者才能认为大功基本告成，完成了自己预后，建模者才能认为大功基本告成，完成了自己预定的研究任务。定的研究任务。10:22:36MCM29 如果检验结果与事实如果检验结果与事实不符，只要不是在求解中不符，只要不是在求解中存在推导或计算上的错误，存在推导或计算上的错误，那就应当检查分析在假设那就应当检查分析在假设中是否有不合理或不够精中是否有不合理或不够精确之处，发现后应确之处，发现后应修改假修改假设重新进行建模设重新进行建模，直到结，直到结果满意为止。综合起来讲，果满意为止。综合起来讲，数学建模的过程大致可以数学建模的过程大致可以概括为图概括
31、为图1-31-3所示的流程。所示的流程。10:22:36MCM30 1.3 1.3 数学模型的分类数学模型的分类 基于不同角度或不同目的，数学模型可以有多基于不同角度或不同目的，数学模型可以有多种不同的分类法。根据人们对种不同的分类法。根据人们对实际问题了解的实际问题了解的深入程度不同深入程度不同，其数学模型可以归结为白箱模，其数学模型可以归结为白箱模型、灰箱模型或黑箱模型。假如我们把建立数学模型、灰箱模型或黑箱模型。假如我们把建立数学模型研究实际问题比喻成一只箱子，通过输入数据型研究实际问题比喻成一只箱子，通过输入数据（信息），建立数学模型来获取我们原先并不清楚（信息），建立数学模型来获取我
32、们原先并不清楚的结果，（见图的结果，（见图1-41-4所示）所示）10:22:36MCM31 如果问题的机理比较清楚，内在的关系较为简单，如果问题的机理比较清楚，内在的关系较为简单，这样的模型就被称为这样的模型就被称为白箱白箱模型。如果问题的机理极为繁模型。如果问题的机理极为繁杂，人们对它的了解极其肤浅，几乎无法加以精确的定杂，人们对它的了解极其肤浅，几乎无法加以精确的定量分析，这样的模型就被称为量分析，这样的模型就被称为黑箱黑箱模型。而介于两者之模型。而介于两者之间的模型，则被称为间的模型，则被称为灰箱灰箱模型。当然，这种分类方法是模型。当然，这种分类方法是较为模糊的，是相对而言的，况且，随
33、着科学技术的不较为模糊的，是相对而言的，况且，随着科学技术的不断进步，今天的黑箱模型明天也许会成为灰箱模型，而断进步，今天的黑箱模型明天也许会成为灰箱模型，而今天的灰箱模型不久也可能成为白箱模型，因此，对这今天的灰箱模型不久也可能成为白箱模型，因此，对这样的分类我们不必过于认真。样的分类我们不必过于认真。10:22:36MCM32 根据模型中变量的特征分类根据模型中变量的特征分类，模型又可，模型又可分为连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型分为连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等。模型等。数学方法分类数学方法分类，又可分为初等模型、微分方程模，又可分为初等模型、微分方程模型、差
34、分方程模型、优化模型等等。型、差分方程模型、优化模型等等。此外，对一些人们较为重视或对人类活动影响较此外，对一些人们较为重视或对人类活动影响较大的实际问题的数学模型，常常也可以大的实际问题的数学模型，常常也可以按研究课按研究课题的实际范畴来分类题的实际范畴来分类，例如人口模型、生态模，例如人口模型、生态模型、交通流模型、经济模型、社会模型、军事模型等型、交通流模型、经济模型、社会模型、军事模型等等。等。10:22:36MCM33 1.4 1.4 数学建模与能力的培养数学建模与能力的培养 在高等院校开设数学建模课的主要目的并非简单在高等院校开设数学建模课的主要目的并非简单地传授数学知识而是为了提
35、高学生的综合素质，增强地传授数学知识而是为了提高学生的综合素质，增强他们应用数学知识解决实际问题的本领。因此，在学他们应用数学知识解决实际问题的本领。因此，在学习数学建模时，学生应当特别注意自身能力的培养与习数学建模时，学生应当特别注意自身能力的培养与锻炼。锻炼。要想知道梨子的滋味是酸的还是甜要想知道梨子的滋味是酸的还是甜的，你必须亲口去尝一下；的，你必须亲口去尝一下；要想知道如何建要想知道如何建模，除了学习基本技能与基本技巧之外，更重要的是模，除了学习基本技能与基本技巧之外，更重要的是应当参与进来，在建模实践中获得真知。应当参与进来，在建模实践中获得真知。10:22:36MCM34 数学建模
36、实践的每一步中都蕴含着对能力的锻炼。数学建模实践的每一步中都蕴含着对能力的锻炼。假设条件通常是围绕着两个目的提出的，一类假设假设条件通常是围绕着两个目的提出的，一类假设的提出是为了简化问题、突出主要因素，而另一类则是的提出是为了简化问题、突出主要因素，而另一类则是为了应用某些数学知识或其他学科的知识。但不管哪一为了应用某些数学知识或其他学科的知识。但不管哪一类假设，都必需尽可能符合实际，即类假设，都必需尽可能符合实际，即既要求做到不既要求做到不失真或少失真又要能便于使用数学方法处失真或少失真又要能便于使用数学方法处理理，两者还应尽可能兼顾。，两者还应尽可能兼顾。10:22:36MCM35 此外
37、，我们的研究应当是前人工作的继续，在真正开始此外，我们的研究应当是前人工作的继续，在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工作真正成为别人研究工作的继续而不是别人作，使自己的工作真正成为别人研究工作的继续而不是别人工作的重复，这就需要你具有很强的查阅文献资料的能力。工作的重复，这就需要你具有很强的查阅文献资料的能力。你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，即你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，即“站在前站在前人的肩膀上人的肩膀上”，去探索新的奥秘。，去探索新的奥秘。10:22:36MCM36 建模求解阶段
38、是考验你数学功底和应变能力的阶段，你的建模求解阶段是考验你数学功底和应变能力的阶段，你的数学基础越好，应用就越自如。但学无止境，任何人都不是全数学基础越好，应用就越自如。但学无止境，任何人都不是全才，想学好了再做，其结果必然是什么也不做。因此，我们还才，想学好了再做，其结果必然是什么也不做。因此，我们还应当学会在尽可能短的时间内查到并学会我想要应用的知识的应当学会在尽可能短的时间内查到并学会我想要应用的知识的本领。在我们指导学生参加国内外数学建模竞赛时，常常遇到本领。在我们指导学生参加国内外数学建模竞赛时，常常遇到这样的情况，参赛的理工科学生感到模拟实际问题的特征似乎这样的情况，参赛的理工科学
39、生感到模拟实际问题的特征似乎需要建立一个偏微分议程或控制论模型等，他们并没有学过这需要建立一个偏微分议程或控制论模型等，他们并没有学过这些课程，竞赛时间又仅有三、四天（允许查资料和使用一切工些课程，竞赛时间又仅有三、四天（允许查资料和使用一切工具），为了获得较好的结果，他们只用了二、三个小时就基本具），为了获得较好的结果，他们只用了二、三个小时就基本搞懂了他们所要使用的相关知识并用进了他们的研究工作中，搞懂了他们所要使用的相关知识并用进了他们的研究工作中，并最终夺得了优异成绩。这些同学在建模实践中学会了快速汲并最终夺得了优异成绩。这些同学在建模实践中学会了快速汲取想用的数学知识的本领（即取想用
40、的数学知识的本领（即“现学现用现学现用”的本领），这的本领），这种能力在实际工作中也是不可缺少的。应变能力包括灵活性和种能力在实际工作中也是不可缺少的。应变能力包括灵活性和创造性。创造性。10:22:36MCM37 2002 2002年，作为浙江大学独立二级学院的年，作为浙江大学独立二级学院的浙江大浙江大学城市学院学城市学院首次组织学生参加全国大学生数学建模竞首次组织学生参加全国大学生数学建模竞赛，参赛学生同样只参加了半年左右的数学建模学习和实赛，参赛学生同样只参加了半年左右的数学建模学习和实践，就在竞赛中交出了出色的研究论文，获得了践，就在竞赛中交出了出色的研究论文，获得了全国一全国一等奖等
41、奖，并在，并在20042004年国际竞赛中获得年国际竞赛中获得3 3项项国际竞赛二国际竞赛二等奖等奖。当然，要出色地完成建模任务还需要用到许多其他当然，要出色地完成建模任务还需要用到许多其他的能力，譬如设计算法、编写程序、熟练使用计算机等能的能力，譬如设计算法、编写程序、熟练使用计算机等能力，撰写研究报告或研究论文的能力，熟练应用外语的能力，撰写研究报告或研究论文的能力，熟练应用外语的能力等等，所以，学习数学建模和参加建模实践，实际上是力等等，所以，学习数学建模和参加建模实践，实际上是一个综合能力、综合素质的培养和提高的过程。一个综合能力、综合素质的培养和提高的过程。10:22:36MCM38
42、 参赛获奖并不是我们的目的，提高自己的素质和能参赛获奖并不是我们的目的，提高自己的素质和能力才是我们宗旨，从这一意义上讲，只要你真正努力了，力才是我们宗旨，从这一意义上讲，只要你真正努力了，你就必定是一个成功的参与者。你就必定是一个成功的参与者。“昨夜西风凋碧昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路；衣带渐宽终树，独上高楼，望尽天涯路；衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴；众里寻她千百度，不悔，为伊消得人憔悴；众里寻她千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。”这也正这也正是数学建模的真实写照。是数学建模的真实写照。10:22:36MCM39一一、想象力的应用、想象力的应用10
43、:22:36MCM4010:22:37MCM4110:22:38MCM42这是常规的计算方法，事实上，我们也可以换一这是常规的计算方法，事实上，我们也可以换一种方法来思考这一问题。由于淘汰赛的特殊性，进行种方法来思考这一问题。由于淘汰赛的特殊性，进行一场淘汰赛必然淘汰一人，反过来，淘汰一人也必须一场淘汰赛必然淘汰一人，反过来，淘汰一人也必须举行一场淘汰赛，这就是我们数学中的举行一场淘汰赛，这就是我们数学中的一一对应关系一一对应关系。现在我们要从现在我们要从100100位同学中产生一位冠军，众所周知，位同学中产生一位冠军，众所周知，要淘汰要淘汰9999位同学才能产生最后的冠军，因此比赛总场位同学
44、才能产生最后的冠军，因此比赛总场次应为次应为9999。l mg 12 10:22:38MCM43(1)()2nnlnmgZmgZ10:22:39MCM44nlZn2nkk121 1111122nnnn11nn10:22:39MCM45二、发散性思维、创新能力的培养二、发散性思维、创新能力的培养 数学建模中经常需要用到创新思维或发散性思数学建模中经常需要用到创新思维或发散性思维。这里的发散性思维是相对于维。这里的发散性思维是相对于“一条道跑到黑一条道跑到黑”的收敛性思维方式而言的，并非是贬义词。所谓的收敛性思维方式而言的，并非是贬义词。所谓发发散性思维散性思维，是指针对同一个问题，沿着不同的方向
45、，是指针对同一个问题，沿着不同的方向去思考，不同角度、不同侧面地对所给信息或条件去思考，不同角度、不同侧面地对所给信息或条件加以重新组合，横向拓展思路、纵向深入探索研究、加以重新组合，横向拓展思路、纵向深入探索研究、逆向反复比较，从而找出多种合乎条件的可能答案、逆向反复比较，从而找出多种合乎条件的可能答案、结论或假说的思维过程和方法，这就是我们通常所结论或假说的思维过程和方法，这就是我们通常所说的说的“条条大路通罗马条条大路通罗马”。10:22:39MCM4610:22:39MCM47221gts 10:22:40MCM4810:22:41MCM49他这种不被传统固有知识所限制，他这种不被传统
46、固有知识所限制，举一反三举一反三，努力提，努力提出新方案的思维方式，就是我们所提倡的发散性思维。出新方案的思维方式，就是我们所提倡的发散性思维。10:22:41MCM5010:22:41MCM51 我们又我们又“证明证明”了另一个几何定理：三角形的三外角了另一个几何定理：三角形的三外角之和等于之和等于360360。10:22:41MCM52 10:22:42MCM5310:22:42MCM54四、严密的逻辑推理四、严密的逻辑推理 古希腊学者亚里士多德所创立的逻辑推理体系，已古希腊学者亚里士多德所创立的逻辑推理体系，已经成为人类揭开客观世界的本质及规律的极其重要的思经成为人类揭开客观世界的本质及
47、规律的极其重要的思维活动形式，它几乎渗透到人类获取所有新理论和新知维活动形式，它几乎渗透到人类获取所有新理论和新知识的每一个过程中。近代科学家伽利略正是用这套逻辑识的每一个过程中。近代科学家伽利略正是用这套逻辑推理方法，推翻了亚里士多德提出的关于推理方法，推翻了亚里士多德提出的关于“物体落下的物体落下的速度与重量成比例速度与重量成比例”的错误推断。伽利略巧妙地提出：的错误推断。伽利略巧妙地提出：如果把一个重物与一个轻物绑在一起，结果将怎样呢？如果把一个重物与一个轻物绑在一起，结果将怎样呢？10:22:42MCM55 根据亚里士多德的根据亚里士多德的“逻辑逻辑”，“重物下落快，轻物重物下落快，轻
48、物下落慢下落慢”，那么轻重两物绑在一起后，原先下落快的要，那么轻重两物绑在一起后，原先下落快的要被拖着变得慢一些，而下落慢的将被拉着变得快一些。被拖着变得慢一些，而下落慢的将被拉着变得快一些。这样，轻重两物绑在一起后，其下落速度应当比原先单这样，轻重两物绑在一起后，其下落速度应当比原先单个重物下落得慢而比原先单个轻物下落得快。但是，另个重物下落得慢而比原先单个轻物下落得快。但是，另一方面，按亚里士多德的重物下落快的一方面，按亚里士多德的重物下落快的“逻辑逻辑”，那么，那么将轻物与重物绑在一起，捆绑物应比原先单个重物还要将轻物与重物绑在一起，捆绑物应比原先单个重物还要重，下落速度应该更快才对。这
49、样，亚里士多德原来的重，下落速度应该更快才对。这样，亚里士多德原来的论断就自相矛盾、漏洞百出了。论断就自相矛盾、漏洞百出了。科学家尚会由于种种原因出现一些差错，对于普通科学家尚会由于种种原因出现一些差错，对于普通人，出现这样那样的错误更是不可避免的了。下面就是人，出现这样那样的错误更是不可避免的了。下面就是一个因推导过程不严密而得出荒谬结论的例子。一个因推导过程不严密而得出荒谬结论的例子。10:22:42MCM5610:22:42MCM57这个结果很明显是错误的。论证过程肯定有问这个结果很明显是错误的。论证过程肯定有问题！让我们来检查一下上述推理过程。可以看出题！让我们来检查一下上述推理过程。
50、可以看出BE=FCBE=FC毫无疑问是正确的，毫无疑问是正确的，AE=AFAE=AF也肯定不错。两个也肯定不错。两个正确的等式相加，所得结果正确的等式相加，所得结果AB=ACAB=AC也应该是对的。也应该是对的。但但AB=ACAB=AC显然错误，为何错呢？什么地方错了呢？显然错误，为何错呢？什么地方错了呢？人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情
