1、烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部概率论与数理统计 01 P A ABPBPAPBAP BPAPBAP 0 P 1 P S 1 P AP A A B A B 2022-12-151概率论与数理统计烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量及其分布函数第二节 离散型随机变量第三节 连续型随机变量第四节 随机变量函数的分布习题课2022-12-152概率论与数理统计烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部第1节 随机变量及其分布函数一、随机变量概念的产生三、随机变量的分类五、分布函数的性质
2、二、引入随机变量的意义四、随机变量的分布函数2022-12-153概率论与数理统计六、小结与作业烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部一、随机变量概念的产生一、随机变量概念的产生 在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念表示，由此就产生了随机变量的概念.烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部 1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）个数）.例如，掷一颗骰子面上出现的点数；例如，掷一颗骰子面上出现的点数；四月份哈尔滨的最高温度；四
3、月份哈尔滨的最高温度；每天进入一号楼的人数；每天进入一号楼的人数；昆虫的产卵数；昆虫的产卵数；烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就也就是说，是说，把试验结果数值化把试验结果数值化.正如裁判员在运正如裁判员在运动场上不叫运动动场上不叫运动员的名字而叫号员的名字而叫号码一样，二者建码一样，二者建立了一种对应关立了一种对应关系系.烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部这种对应关系在数学
4、上理解为定义了一种实值这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数单值函数.e.X(e)R这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数不一样！数不一样！烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值是这种实值函数取每个
5、值和每个确定范围内的值也有一定的概率也有一定的概率.称这种定义在称这种定义在样本空间样本空间上上的实值单值函数的实值单值函数X=X(e)为为随随量量机机变变简记为简记为 r.v.烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部 而表示随机变量所取的值时而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母一般采用小写字母 x,y,z,w,n等等.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z,W,N 等表示等表示烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部 有了随机变量有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来以
6、通过随机变量的关系式表达出来.二、引入随机变量的意义二、引入随机变量的意义 如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量.事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫没有收到呼叫没有收到呼叫 X 1X=0 烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部 随机变量概念的产生是概率论发展史上的随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件重大事件.引入随机变量后，对随机现象统计引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量
7、及其取值规律的研究为对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件及事件概率事件概率随机变量及其随机变量及其取值规律取值规律烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部我们将研究两类随机变量：我们将研究两类随机变量：如如“取到次品的个数取到次品的个数”，“收到的呼叫数收到的呼叫数”等等.随随机机变变量量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量例如，例如，“电视机的寿命电视机的寿命”，实际中，实际中常遇到的常遇到的“测量误差测量误差”等等.三、随机变量的分类三、随机变量的分类烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部 这两种类型的随机变量因为都是随
8、机变量，这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点同，又有其各自的特点.随随机机变变量量连续型随机变量连续型随机变量离散型随机变量离散型随机变量学习时请注意它们各自的特点和描述方法学习时请注意它们各自的特点和描述方法.烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部 解：分析解：分析例例1 一报童卖报，每份一报童卖报，每份0.15元，其成本为元，其成本为0.10元元.报馆每天给报童报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回出的报纸退回.设设X
9、为报童每天卖出的报纸份数，为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.当当 0.15 X1000 0.1时，报童赔钱时，报童赔钱 故故报童赔钱报童赔钱 X 666报童赔钱报童赔钱 卖出的报纸钱不够成本卖出的报纸钱不够成本烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部四、分布函数的定义四、分布函数的定义 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x)的值就表示 X落在区间 内的,(x概率.xoxXX 设 X 是一个 r.v，称)()(xXPxF)(x为 X 的分布函数的分布函数,记作 F(x).烟 台
10、 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部(1)在分布函数的定义中,X是随机变量,x是参变量.(2)F(x)是r.v X取值不大于 x 的概率.(3)对任意实数 x1x2，随机点落在区间(x1,x2 内的概率为：P x1X x2 因此，只要知道了随机变量因此，只要知道了随机变量X的分布函数，的分布函数，它它的统计特性就可以得到全面的描述的统计特性就可以得到全面的描述.=P X x2 -P X x1=F(x2)-F(x1)1x2xox XXXX烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部 分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量
11、.xxXPxF),()(xoxXX烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部当 x0 时，X x =，故 F(x)=0例1 设 随机变量 X 的分布律为当 0 x 1 时，F(x)=PX x=P(X=0)=31F(x)=P(X x)解0 x12x x XXXkp0121 31 61 2求 X 的分布函数 F(x).烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部当 1 x 2 时，F(x)=PX=0+PX=1=+=316121当 x 2 时，F(x)=PX=0+PX=1+PX=2=10 x12 XxxX烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育
12、 部故注意右连续下面我们从图形上来看一下.2,121,2110,310,0)(xxxxxF烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部31211202161OOO1)(xF的分布函数图xy烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部设离散型 r.v X 的分布律是P X=xk =pk ,k=1,2,3,F(x)=P(X x)=xxkkp即F(x)是 X 取 的诸值 xk 的概率之和.x则其分布函数烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部五、分布函数的性质 ,上是一个不减函数上是一个不减函数在在 xF(1);,212121xFxFxxxx
13、 都有都有且且即对即对 21F xF x1x2xox XX 120P xXxXX烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数.也就是说，性质(1)-(3)是鉴别一个函数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件.(3)F(x)右连续，即)()(lim00 xFxFxx(2)xoXxx x()F limxF x limxF x()F 0 1 烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数.例2 设有函数 F(x)其它00sin)(xxxF 解 注意到函数 F(
14、x)在 上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.,2不满足性质(2)，可见F(x)也不能是r.v 的分布函数.或者0)(lim)(xFFx烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部 解 设 F(x)为 X 的分布函数，当 x a 时，F(x)=1 例3 在区间 0，a 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标.设这个质点落在 0,a中意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.当 0 x a 时，P(0 X x)=kx (k为常数)由于 P(0 X a)=1 ka=1，k=1/a F(x)=P(X x)=P(X0)+P(0 X x)=x
15、/a烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部0,0(),01,xxF xxaaxa 故 这就是在区间 0，a上服从均匀分布的连续型随机变量的分布函数.烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部练习题一一.设在设在 15 只同类型零件中有只同类型零件中有 3 只是次只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以回抽样，以 X 表示取出次品的只数，表示取出次品的只数，（1）求求 X 的分布函数，的分布函数，（2）画出分布函数的图）画出分布函数的图形。形。二二.一袋中有一袋中有 6 只乒乓球，编号为只乒乓球，编号
16、为 1、2、3、4、5、6，在其中同时取三只，以，在其中同时取三只，以 X 表表示取出的三只球中的最小号码，写出随机示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量变量 X 的分布律及分布函数。的分布律及分布函数。烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部解：解：2,1,0 XX的所有可能取值为：的所有可能取值为：0 XP315313CC 3522 1 XP31512213CCC 3512 2 XP31522113CCC 351 一一.设在设在 15 只同类型零件中有只同类型零件中有 2 只是次只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样
17、，以回抽样，以 X 表示取出次品的只数，表示取出次品的只数，（1）求求 X 的分布函数，的分布函数，（2）画出分布函数的图）画出分布函数的图形。形。烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部F(x)=P(X x)0 XP3522 1 XP3512 2 XP351,0时时当当 x)(xXPxF 0,10时时当当 x)(xXPxF 0 XP3522,21时时当当 x)(xXPxF 0 XP1 XP3534,2时时当当 x1)(xF烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部故 2,121,353410,35220,0)(xxxxxF烟 台 大 学 文 经 学
18、院 科 研 与 素 质 教 育 部二二.一袋中有一袋中有 6 只乒乓球，编号为只乒乓球，编号为 1、2、3、4、5、6，在其中同时取三只，以，在其中同时取三只，以 X 表表示取出的三只球中的最小号码，写出随机示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量变量 X 的分布律及分布函数。的分布律及分布函数。解：解：4,3,2,1 XX的所有可能取值为：的所有可能取值为：1 XP3625CC 21 2 XP3624CC 103 3 XP3623CC 203 4 XP3622CC 201 烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部,1时时当当 x)(xXPxF 0,21时时当当 x)(xXPxF 1 XP21,32时时当当 x)(xXPxF 1 XP2 XP54 1 XP2 XP103 3 XP203 4 XP201 21)(xXPxF 烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部 在这一节中，我们学习了随机变量的定义、随机变量的分布函数,以及分布函数的性质.烟 台 大 学 文 经 学 院 科 研 与 素 质 教 育 部习题
