电磁场与电磁波第二章课件.ppt

1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波第二章第二章 静电场静电场回顾回顾n梯度、散度、旋度梯度、散度、旋度n惟一性定理惟一性定理n亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理n无旋场无旋场与与无散场无散场 rArrF 14VF rrdVrr 41dVrrrFrAV静电场静电场主要内容：主要内容：n电场强度与电通电场强度与电通n场方程（真空）场方程（真空）n电位电位n电偶极子与介质极化电偶极子与介质极化与电通密度与电通密度n静电场的边界条件静电场的边界条件n电容电容n电场能量电场能量n电场力电场力静电场静电场n静电场：当静电场：当静止静止电荷的电荷的电荷量不随时间变电荷量不随时间变化时化时，其产生的电场也不随时间变化。，其产

2、生的电场也不随时间变化。n电荷周围场的特性与观察者和电荷之间的电荷周围场的特性与观察者和电荷之间的相对运动状态有关。相对运动状态有关。电场强度、电通及电场线电场强度、电通及电场线n电场强度：电场强度：电场对某点单位正电荷的作用力称为电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度该点的电场强度，以以 表示：表示：式中式中q 为试验电荷的电量，为试验电荷的电量，为电荷为电荷q 受到的作用受到的作用力。力。n电通：电通：电场强度通过任一曲面的通量称为电通，电场强度通过任一曲面的通量称为电通，以以 表示表示,即即)V/m(FEq SSEdEF电场强度、电通及电场线电场强度、电通及电场线n电场线：电场线

3、：为形象描述电场强度的分布特性，为形象描述电场强度的分布特性，引入一组曲线，令曲线上各点的切线方向表引入一组曲线，令曲线上各点的切线方向表示该点的电场强度方向，该曲线称为示该点的电场强度方向，该曲线称为电场线电场线。n电场线方程：电场线方程：0d lE带电平行板带电平行板 负电荷负电荷 正电荷正电荷 几种典型的电场线分布几种典型的电场线分布电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。电场强度、电通及电场线电场强度、电通及电场线真空中静电场方程真空中静电场方程n积分方程：积分方程：物理实验物理实验表明，真空中静电场的电场表明，真空中静电场的电场强度强度 满足满

4、足 （高斯定律）（高斯定律）左式表明真空中静电场的电场强度通过左式表明真空中静电场的电场强度通过任一任一封闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与封闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数之比。真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度沿右式表明，真空中静电场的电场强度沿任一任一条闭合曲线的环量为零（保守性）。条闭合曲线的环量为零（保守性）。SSE 0d qllE 0d F/m)(10361m)/F(10854187817.89120E真空中静电场方程真空中静电场方程n微分方程：微分方程：利用高斯散度定理和斯托克斯旋度利用高斯散度定理和斯托克斯旋度定理，可得定理，可得 左式

5、表明，真空中静电场的电场强度在某左式表明，真空中静电场的电场强度在某点点的散度等于该点的电荷体密度与真空介电常的散度等于该点的电荷体密度与真空介电常数之比。数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度的旋右式表明，真空中静电场的电场强度的旋度度处处处处为零。为零。n真空中静电场是真空中静电场是有散无旋有散无旋场。场。0 E0 E电位电位n已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据亥姆霍兹定理，有：据亥姆霍兹定理，有：式中式中因此因此A E 1()()d41()()d4VVVV AE rr|rr|E rr|rr|xPzy0Vd)(rrrrr VV|rr|rr

6、0d)(41)(0)(rA E标量函数标量函数 称为称为电位电位，写为，写为 Ev 真空中静电场在某点的电场强度等于真空中静电场在某点的电场强度等于该点电位梯度的该点电位梯度的负负值。值。取取B B点作为参考零点（无穷远处），则点作为参考零点（无穷远处），则A A点电点电位可表为位可表为v 静电场中某点电位的静电场中某点电位的物理意义物理意义：单位正单位正电荷在电荷在电场力的作用下，自该点沿电场力的作用下，自该点沿任一任一条路径移至无限条路径移至无限远处过程中电场力作的功。远处过程中电场力作的功。v 静电场中任意两点间电场强度的线积分（电位静电场中任意两点间电场强度的线积分（电位差）等于电场力

7、作的功，与路径无关。差）等于电场力作的功，与路径无关。电位电位qWlqFlEllBABABABAddddlBAelqWA Ev等位面：电位相等的点组成的曲面。等位面：电位相等的点组成的曲面。v由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而电位梯度方向总是垂直于等位面，因此，电位梯度方向总是垂直于等位面，因此，电场线电场线与等位面一定处处保持垂直与等位面一定处处保持垂直。若规定相邻的等位。若规定相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面密集处表面之间的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明电位变化较快，因而场强较强。这样，等位面明电位变化较快，因而场强较强。这样

8、，等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强弱。分布的疏密程度也可表示电场强度的强弱。电场线电场线等位面等位面E电位电位Czyx),(静电场特性静电场特性n高斯定律中的电量高斯定律中的电量 q q 应理解为封闭面应理解为封闭面 S S 所包所包围的全部正负电荷的总和。围的全部正负电荷的总和。n静电场的电场线是不可能闭合的，而且也不可静电场的电场线是不可能闭合的，而且也不可能相交。能相交。n任意两点之间电场强度的线积分与路径无关。任意两点之间电场强度的线积分与路径无关。真空中的静电场和重力场一样，它是一种保守真空中的静电场和重力场一样，它是一种保守场。场。n静电场求解：高斯定律、分布电荷、微分方程

9、静电场求解：高斯定律、分布电荷、微分方程边值条件边值条件静电场问题的求解方法静电场问题的求解方法n高斯定律：电场分布具有高斯定律：电场分布具有对称性对称性时，可先尝试时，可先尝试用高斯定律求解电场强度。（例用高斯定律求解电场强度。（例2 22 21 1，2 22 23 3）n要点：要点：1 1、“左边左边”电场在空间任意封闭面的总流出通电场在空间任意封闭面的总流出通量量 2 2、“右边右边”封闭面包围的总电荷除以封闭面包围的总电荷除以SSE 0d qn已知已知电荷分布电荷分布，求解电场强度，求解电场强度(例例2 22 24)4)n若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一若电荷分布在一个有限的

10、表面上，或者分布在一个有限的线段内，那么可以类推获知此时电位及个有限的线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的电场强度与电荷的面密度面密度 及及线密度线密度 的关系分的关系分别为别为静电场问题的求解方法静电场问题的求解方法SSS 0d|)(41)(|rrrr3 0()()1()d4|SSrrSErrrr|lll|rr|rrd)(41)(0 3 0()()1()d4|llrrlErrrr|30()()()d4VrrrrVrrESl电偶极子电偶极子n电偶极子电偶极子：由间距由间距“很小很小”的的2 2个个等量等量正负正负“点点”电荷组成电荷组成。间距：间距：l l “点点”电荷：电荷：q

11、 q1=q=q、q q2=-q=-q 解决问题的入手点解决问题的入手点矢量叠加原理！矢量叠加原理！n电矩矢量电矩矢量 式中式中 的方向规定由负电荷指向正电荷。的方向规定由负电荷指向正电荷。qpl-q+ql ll电偶极子电偶极子n电偶极子产生的电偶极子产生的电位电位为为n利用关系式利用关系式 ，求得电偶极子的，求得电偶极子的电场电场强度强度为为n电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的大小与距离的三次方成反比。而且两者度的大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角均与方位角 有关。有关。2200cos44eprrr p sin1e1eerrrEr3030

12、4sine2coserprpr E介质极化介质极化n自由电荷自由电荷：导体中的电子通常称为自由电子，：导体中的电子通常称为自由电子，它们所携带的电荷称为自由电荷。它们所携带的电荷称为自由电荷。n束缚电荷束缚电荷：低于击穿场强的电场作用下，介：低于击穿场强的电场作用下，介质中的电荷是不会自由运动的，这些电荷称质中的电荷是不会自由运动的，这些电荷称为束缚电荷。为束缚电荷。n介质击穿介质击穿：如果外加电场很强，介质中的电：如果外加电场很强，介质中的电子也可能脱离原子核而运动，即形成自由电子也可能脱离原子核而运动，即形成自由电子，从而使介质能够导电，这种现象称为介子，从而使介质能够导电，这种现象称为介

13、质击穿。质击穿。有极分子有极分子无极分子无极分子无极分子无极分子有极分子有极分子Ea介质极化介质极化n极化极化：在电场作用下，介质中束缚电荷发生：在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移的现象。位移的现象。n无极分子的极化称为无极分子的极化称为位移极化位移极化，有极分子的，有极分子的极化称为极化称为取向极化取向极化。因极化产生的面分布及。因极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为体分布的束缚电荷又称为极化电荷极化电荷。介质的极化介质的极化n介质中介质中“束缚电荷束缚电荷”n受电场影响感应出的电偶极子受电场影响感应出的电偶极子极化极化n研究感应出的电偶极子研究感应出的电偶极子n电场电场 =原原 +偶

14、极子电场偶极子电场0EepEnewE介质极化介质极化n电极化强度电极化强度：单位体积中电矩的矢量和。：单位体积中电矩的矢量和。n极化率极化率：实验结果表明，：实验结果表明，大多数大多数介质在电场的作用介质在电场的作用下发生极化时，其电极化强度与下发生极化时，其电极化强度与合成合成的电场强度成的电场强度成正比，即正比，即n其中其中 称为电极化率，为正实数。称为电极化率，为正实数。EPe0VpPNii1VpPV0lime介质极化介质极化n更一般的情况更一般的情况n各向同性介质各向同性介质 各向异性介质（电场强度的方向）各向异性介质（电场强度的方向）均匀介质均匀介质 非均匀介质非均匀介质 （空间坐标

15、）（空间坐标）线性介质线性介质 非线性介质非线性介质 （电场强度的大小）（电场强度的大小）静止介质静止介质 运动介质运动介质 （时间）（时间）zyxeeeeeeeeezyxEEEPPP3332312322211312110介质极化介质极化n 为正实常数，表明为正实常数，表明。方向相同？方向相同？EPe0e0EP、介质极化介质极化n束缚电荷束缚电荷面分布面分布:介质表面上介质表面上一定有一定有“束缚电束缚电荷荷”分布。分布。n束缚电荷束缚电荷体分布体分布:如果介质内部是不均匀的，如果介质内部是不均匀的，则极化产生的电偶极子的分布也是不均匀的，则极化产生的电偶极子的分布也是不均匀的，这样，在介质内

16、部出现束缚电荷的体分布。这样，在介质内部出现束缚电荷的体分布。n介质内部体分布的束缚电荷总量与介质块的表介质内部体分布的束缚电荷总量与介质块的表面束缚电荷总量是面束缚电荷总量是等值异性等值异性的。的。)()(rPrnSerPr)()(SrPVrPqsVd)(d)(SrPqssd)(介质中的静电场介质中的静电场n介质电场介质电场 束缚电荷束缚电荷n束缚电荷束缚电荷 束缚电荷产生电场束缚电荷产生电场n束缚电荷电场原有电场束缚电荷电场原有电场 新电场新电场 令令 （电通密度、电位移电通密度、电位移），有），有n介质中穿过任一闭合面的介质中穿过任一闭合面的电通密度的通量电通密度的通量等于该闭等于该闭合

17、面包围的合面包围的自由电荷自由电荷，与束缚电荷无关。，与束缚电荷无关。PED0qSdDSqSPEsd0介质中的静电场方程介质中的静电场方程n介质中介质中束缚电荷产生的仍为静电场，其场强束缚电荷产生的仍为静电场，其场强旋度仍处处为零，因此场方程可写为旋度仍处处为零，因此场方程可写为n积分形式积分形式n微分形式微分形式D0ESqSD d llE 0d 介质中的静电场介质中的静电场n由由各向同性各向同性介质的电极化强度定义介质的电极化强度定义 可知可知 令令 则则 称为介质的称为介质的介电常数介电常数。n已知极化率已知极化率 e e为为正实数正实数，因此，一切介质的介电常，因此，一切介质的介电常数均

18、大于真空的介电常数。数均大于真空的介电常数。n相对介电常数：相对介电常数：n任何介质的相对介电常数大于任何介质的相对介电常数大于1 1。EPe 0 EEEDee)1(000 )1(0e ED er10介质中的静电场介质中的静电场n对于对于均匀线性各向同性均匀线性各向同性介质，介电常数与空介质，介电常数与空间坐标及场强无关，因此场方程可写为间坐标及场强无关，因此场方程可写为n积分形式积分形式n微分形式微分形式E0ESqSE d llE 0d 介质中的静电场介质中的静电场n束缚电荷的分布特性束缚电荷的分布特性n均匀均匀介质内自由电荷为零的区域中，束缚介质内自由电荷为零的区域中，束缚电荷体密度为零。

19、电荷体密度为零。)1(1)(0eeeeeDEP静电场的边界条件静电场的边界条件n边界条件边界条件：当讨论的空间存在：当讨论的空间存在多种多种介质时，由于介质时，由于介质特性不同，场量在两种介质的交界面上发生介质特性不同，场量在两种介质的交界面上发生突变突变，其变化规律即为静电场的边界条件。，其变化规律即为静电场的边界条件。n边界条件的讨论：场量突变时，函数的连续性无边界条件的讨论：场量突变时，函数的连续性无法保证，因而描述法保证，因而描述点特性点特性的散度和旋度在边界上的散度和旋度在边界上不存在不存在。因此边界条件的讨论归结为。因此边界条件的讨论归结为积分形式积分形式下下的静电场方程在分界面上

20、的静电场方程在分界面上任一点处极限任一点处极限情况的表情况的表述。述。n两种边界条件：两种介质、介质与导体两种边界条件：两种介质、介质与导体两种介质的边界条件两种介质的边界条件n切向分量切向分量：将方程：将方程 应用于跨越分界面的应用于跨越分界面的一狭小矩形回路，其长度为一狭小矩形回路，其长度为l，高度为，高度为h，则电，则电场强度沿该矩形曲线的环量为场强度沿该矩形曲线的环量为 llE 0d 1 4 4 3 3 2 2 1 d d d d d lElElElElEl令令 h h 0 0，则线积分则线积分 0d d 1 4 3 2 lElE 令令 l l 足够短，以致于在足够短，以致于在 l l

21、 内可以认为场量是相等的，内可以认为场量是相等的，则上述环量为则上述环量为 lElEd d dt21t4 3 22 1 1 lElElE两种介质的边界条件两种介质的边界条件n已知静电场中电场强度的环量处处为零，因此已知静电场中电场强度的环量处处为零，因此 在两种介质形成的边界上，两侧的电场强度在两种介质形成的边界上，两侧的电场强度的切向分量相等，即电场强度的的切向分量相等，即电场强度的切向分量连续切向分量连续。（无条件无条件）n对于各向同性的线性介质对于各向同性的线性介质 在两种在两种各向同性的线性各向同性的线性介质形成的边界上，介质形成的边界上，电通密度的切向分量不连续。电通密度的切向分量不

22、连续。2t1tEE 22t1t 1DD两种介质的边界条件两种介质的边界条件n法向分量法向分量：将方程：将方程 应用于跨分界面的一应用于跨分界面的一个扁平圆柱面，其高度为个扁平圆柱面，其高度为 h h，端面为，端面为 S S。令。令h 0 ，则通过侧面的通量为零，又考虑到，则通过侧面的通量为零，又考虑到S必须足必须足够小，则上述通量应为够小，则上述通量应为Sq dSDhS 1 2enD2D1 D1n及及 D2n分别代表对应介质中分别代表对应介质中电通密度与边界垂直的法向分量。电通密度与边界垂直的法向分量。边界法线的正方向规定为由介质边界法线的正方向规定为由介质1 1指向介质指向介质2 2，有，有

23、SSDSD 1n2ndSDsSqDD1n2n两种介质的边界条件两种介质的边界条件n考虑到在两种介质形成的边界上通常不可能存在表考虑到在两种介质形成的边界上通常不可能存在表面自由电荷，因此面自由电荷，因此 在分界面在分界面无自由电荷面分布无自由电荷面分布的条件下，两种的条件下，两种介质边界介质边界上电通密度的法向分量相等，即上电通密度的法向分量相等，即电通密度电通密度的法向分量连续的法向分量连续。n对于各向同性的线性介质对于各向同性的线性介质 在两种在两种各向同性的线性各向同性的线性介质形成的边界上，介质形成的边界上，电场强度的法向分量不连续电场强度的法向分量不连续。2n1nDD 11n22nE

24、E两种介质的边界条件两种介质的边界条件n边界上束缚电荷与法向分量的关系边界上束缚电荷与法向分量的关系 因因 故故 分界面两侧分界面两侧电场强度法向分量不连电场强度法向分量不连续续是由分界面上的束缚电荷引起的。是由分界面上的束缚电荷引起的。hS 1 2enD2D10nnnDEPqSdPSnnPP12nnEE120介质和导体的边界条件介质和导体的边界条件n静电平衡静电平衡：导体内部和表面都没有电荷定向：导体内部和表面都没有电荷定向移动的状态。移动的状态。n过程过程：当孤立导体放入静电场中以后，导体：当孤立导体放入静电场中以后，导体中自由电子发生运动，这一运动将改变导体中自由电子发生运动，这一运动将

25、改变导体上的电荷分布，这电荷的分布反过来又改变上的电荷分布，这电荷的分布反过来又改变导体内部和周围的电场分布。这种电荷和电导体内部和周围的电场分布。这种电荷和电场的分布将一直改变到导体内部场强处处为场的分布将一直改变到导体内部场强处处为零方才停止。零方才停止。介质和导体的边界条件介质和导体的边界条件n静电平衡静电平衡时导体内部场强处处为零：时导体内部场强处处为零：1 1、导体内部不可能存在自由电荷的体分布、导体内部不可能存在自由电荷的体分布（高斯定律）。（高斯定律）。自由电荷只能分布在导体的自由电荷只能分布在导体的表面表面上。上。2 2、导体中的电位梯度为零。、导体中的电位梯度为零。导体中电位

26、不随空间变化。导体中电位不随空间变化。处于静电平衡状态的导体是一个处于静电平衡状态的导体是一个等位等位体体，导体表面是一个，导体表面是一个等位面等位面。介质和导体的边界条件介质和导体的边界条件3 3、切向分量连续切向分量连续电场强度电场强度垂直垂直于导体的于导体的表面，即表面，即4 4、导体表面可以存在、导体表面可以存在表面自由电荷表面自由电荷，因此，因此 对对各向同性的线性各向同性的线性介质，有介质，有 由由 知知0en E介质E,D导体enSE nSnSnnDeDD210SnP2nnPED2202nSnSE0导体围成的封闭空腔导体围成的封闭空腔n静电屏蔽：静电屏蔽：当封闭的导体空腔中没有自

27、由电荷时，即当封闭的导体空腔中没有自由电荷时，即使腔外存在电荷，腔中静电场仍然为零。这就意味着使腔外存在电荷，腔中静电场仍然为零。这就意味着封闭的导体腔可以屏蔽外部静电场，这种封闭的导体腔可以屏蔽外部静电场，这种效应效应称为称为静静电屏蔽电屏蔽。当金属空壳处于静电平衡时，当金属空壳处于静电平衡时，壳体壳体内的场强为零内的场强为零。这时如果在壳体内作一。这时如果在壳体内作一个封闭面包围空腔，由高斯定律可知空个封闭面包围空腔，由高斯定律可知空腔内表面上的腔内表面上的净电荷为零净电荷为零。这有两种情。这有两种情况。一种情况是空腔内表面上没有电荷，况。一种情况是空腔内表面上没有电荷，则此时腔中不可能存

28、在电场；另一种情则此时腔中不可能存在电场；另一种情况是内表面有等量的正负电荷，此时若况是内表面有等量的正负电荷，此时若以正负电荷间任一根电场线和腔壁中任以正负电荷间任一根电场线和腔壁中任一根曲线组成闭合曲线，则沿该曲线的一根曲线组成闭合曲线，则沿该曲线的电场强度的环量不为零，这就违背了静电场强度的环量不为零，这就违背了静电场的基本特性，因此这种情况是不存电场的基本特性，因此这种情况是不存在的。在的。010dUn求极板间电场。1E00dU21EE 假定两种介质中只存在垂直与极板的电场 2E 边界条件 唯一性定理 0dU111E2E电容电容n电容电容：由物理学得知，：由物理学得知，平板电容器平板电

29、容器正极板上携带正极板上携带的电量的电量 q q 与极板间的电位差与极板间的电位差 U U 的比值是一个常的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的电容，即电容为数，此常数称为平板电容器的电容，即电容为 事实上，事实上，任意两个导体间的电容任意两个导体间的电容都可以用上式都可以用上式来表示。来表示。n电容的单位电容的单位F F（法拉）太大。例如半径大如地球（法拉）太大。例如半径大如地球的弧立导体的电容只有的弧立导体的电容只有 F F。实际中，通。实际中，通常取常取 F F（微法）及（微法）及 pFpF（皮法）作为电容单位。（皮法）作为电容单位。UqC 310708.0电容电容n孤立孤立导体的电容

30、：和无限远处的另一个导导体的电容：和无限远处的另一个导体组成一个电容器。体组成一个电容器。n对于多导体之间的电容计算，需要引入对于多导体之间的电容计算，需要引入部部分电容分电容概念。多导体系统中，每个导体的概念。多导体系统中，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，同时还与电位不仅与导体本身电荷有关，同时还与其他导体上的电荷有关，因为周围导体上其他导体上的电荷有关，因为周围导体上电荷的存在必然影响周围空间静电场的分电荷的存在必然影响周围空间静电场的分布，而多导体的电场是由它们布，而多导体的电场是由它们共同共同产生的。产生的。n半径为半径为a的孤立导体球电容：的孤立导体球电容：aC4br t2S例

31、例 一平行板电容器，两极板间距为一平行板电容器，两极板间距为b b、面积为、面积为S S，在其，在其间平行地插入一厚度为间平行地插入一厚度为t t，相对介电常数为，相对介电常数为 r r，面积为面积为S/2S/2的的均匀介质板。设极板带电均匀介质板。设极板带电Q Q，忽略边缘效应。，忽略边缘效应。求求(1)(1)该电容器的电容该电容器的电容C C，(2)(2)两极板间的电位差两极板间的电位差 U U。(3)Q(3)Q在极板上均匀分布吗？在极板上均匀分布吗？b2SCo 右右tbSCrro 12 左左U 1R12R2例例 同轴电缆内外导体半径分别为R1和R2，中间为两种介质，介电常数分别为1和2，

32、分界面过直径，电压为U。试求该电缆单位长度电容。边界上电场强切线分量 E1t=E2t因此，根据唯一性定理，因此，根据唯一性定理，可知可知 E1=E221dRRrEUSDqdqDDr)(212121rqEE1221lnRRqU11R2RUSDUqCdrEUd小结小结n介质中的静电场方程（电通密度、介电常数介质中的静电场方程（电通密度、介电常数的引入、特殊形式）的引入、特殊形式）介质中：介质中：均匀线性各向同性介质均匀线性各向同性介质中：中：D0ESqSD d llE 0d E0ESqSE d llE 0d 小结小结SqSE d llE 0d SqqSE 0d SqSD d sDD1n2n2t1t

33、EE 22t1t 1DD2n1nDD11n22nEE)(n1n20EES无自由电荷无自由电荷sEE1n12n2sSEE)(n1n20有自由电荷有自由电荷hS 1 2enE2E1小结小结n两种介质形成的边界条件（注意条件）两种介质形成的边界条件（注意条件）切向分量：切向分量：无条件无条件：有条件（有条件（各向同性线性各向同性线性介质中）：介质中）：法向分量：法向分量：无自由电荷面密度无自由电荷面密度：无自由电荷面密度无自由电荷面密度且且各向同性线性各向同性线性介质中：介质中：无自由电荷无自由电荷,束缚电荷与电场强度法向分量的关系：束缚电荷与电场强度法向分量的关系：sDD1n2n2t1tEE 22

34、t1t 1DD2n1nDD11n22nEE)(n1n20EES小结小结n介质和导体形成的边界条件介质和导体形成的边界条件 静电平衡静电平衡时导体内部场强处处为零。时导体内部场强处处为零。切向分量切向分量,无条件满足无条件满足：法向分量：法向分量：有自由电荷面密度有自由电荷面密度：有自由电荷面密度有自由电荷面密度且且各向同性线性各向同性线性介质中：介质中：束缚电荷、自由电荷与电场强度法向分量的关系：束缚电荷、自由电荷与电场强度法向分量的关系：sDD1n2n0ne ESnSE0snsDeD2nSE nORd 一体电荷密度为一体电荷密度为的带电的带电球体中，现已挖去一球形空腔，球体中，现已挖去一球形

35、空腔，求空腔内任意一点的场强。求空腔内任意一点的场强。1rn假定该球由半径为假定该球由半径为R R电荷电荷密度为密度为的带电球体的带电球体1 1和和半径为半径为r r电荷密度为电荷密度为-的的带电球带电球2 2体体组合而成。组合而成。n利用矢量叠加原理利用矢量叠加原理drrrrqrrqEE02010232201311021p3334141E2rOPr13110141rrqE23220241rrqE电场能量电场能量n静电场具有能量：根据静电场具有能量：根据电场力作功电场力作功或或外力作功外力作功与静电场能量之间的转换关系，可以计算静电与静电场能量之间的转换关系，可以计算静电场能量。场能量。n孤立

36、带电体能量：孤立带电体能量：n电位为电位为，电荷量为，电荷量为Q Q的带电体电场能为的带电体电场能为QCQdqCqdqqWdqdWqWQQe2121)(200Q21电场能量电场能量n多个带电体的静电场具有的总能量多个带电体的静电场具有的总能量 线性媒质线性媒质中，设各个带电体的电量增加一倍中，设各个带电体的电量增加一倍时，各个带电体的电位也升高一倍。第时，各个带电体的电位也升高一倍。第 i 个带电个带电体的电位最终值为体的电位最终值为 i，电量的最终值为，电量的最终值为Q i，若，若某一时刻第某一时刻第 i 个带电体的电量为个带电体的电量为 q i=Q i，1，则此时刻该带电体的电位为则此时刻

37、该带电体的电位为 i =i 。那么当各个带电体的电量均以同一比例那么当各个带电体的电量均以同一比例 增长，增长，且同时分别增至最终值且同时分别增至最终值 时，该系统的时，该系统的总电场能为总电场能为 niiiQ1211 0 1eeddniiiQWWnQQQ,21平板电容电场的能量：平板电容电场的能量：CQCUUQWe22212121电场能量电场能量n能量守恒：虽然上述推导中假定电荷同时增长，能量守恒：虽然上述推导中假定电荷同时增长，但外力所作的功全部转化为静电场的能量，但外力所作的功全部转化为静电场的能量，与过与过程无关程无关。n带电体电荷连续分布时，静电场具有的总能量带电体电荷连续分布时，静

38、电场具有的总能量dVdqWVVe2121dSWSe21dlWle21电场能量电场能量n静电场的能量分布在电场所占据的整个空间静电场的能量分布在电场所占据的整个空间区域特性区域特性n静电场的能量分布密度静电场的能量分布密度点特性点特性由由 得得:21d 21d 21eSSSSSSW 两个导体携带的电量为两个导体携带的电量为Q1和和 Q2，其表面积分别为其表面积分别为 S1和和 S2，电荷分，电荷分布在导体的表面上，因此，该系布在导体的表面上，因此，该系统的总能量为统的总能量为 S2Q2Q1S1VenennenenneeDDs21d 21d 21eSSWSSDD电场能量电场能量n在无限远处再作一个

39、无限大的球面在无限远处再作一个无限大的球面 S，由于电荷，由于电荷分布在有限区域，无限远处的电位及场强均趋于零。分布在有限区域，无限远处的电位及场强均趋于零。因此，积分因此，积分0d SDSSS2Q2Q1S1VenenneneSDSDSDSDd 21d 21d 21d 2121eSSSSW式中式中 。闭合面。闭合面 S 包围了包围了静电场所占据的整个空间。那么，静电场所占据的整个空间。那么，利用利用高斯定理高斯定理，上式可写，上式可写区域区域V 中没有自由电荷，中没有自由电荷，又又 因此因此SSSS21VWVd )(21eDVVd )(21DD0DEVWVd 21eED电场能量电场能量n能量分

40、布密度能量分布密度：各向同性的线性介质中各向同性的线性介质中n静电场能量与电场强度平方成正比。因此，静电场能量与电场强度平方成正比。因此，能量能量不符合叠加原理不符合叠加原理。这是因为在多电荷系统中，当。这是因为在多电荷系统中，当一个带电体引入系统中时，外力必须反抗已有其一个带电体引入系统中时，外力必须反抗已有其它带电体对该带电体产生的电场力而作功，此功它带电体对该带电体产生的电场力而作功，此功也转变为电场能量，这份能量通常称为也转变为电场能量，这份能量通常称为互有能互有能，而带电体单独存在时具有的能量称为而带电体单独存在时具有的能量称为固有能固有能。n静电场能量的两种求解思路静电场能量的两种

41、求解思路EDwe21221Ewe课堂作业课堂作业n求半径为求半径为R R0 0，体电荷密度体电荷密度为为 的电荷球的电荷球(如：如：电子云电子云)所具有的电场能量。所具有的电场能量。分析：分析：n什么物理概念？什么物理概念？n球的对称性有没有用途？球的对称性有没有用途？n用什么解法？用什么解法？题解题解解法解法1 1：直接利用能量密度公式：直接利用能量密度公式 需要求解：需要求解：eedwW2021Ewe0330002030RRRRRRRE05020154.00RdVWWRRee题解题解解法解法2 2：按照物理过程：按照物理过程“糊泥糊泥”外力做功外力做功n“糊到糊到”距离球心距离球心R R处

42、时，处时，这个半径为这个半径为R R的的“半成品半成品”球的电位：球的电位：n糊上厚度为糊上厚度为dRdR的球壳（的球壳（“泥泥”）：）：n糊上厚度为糊上厚度为dRdR的球壳（的球壳（“泥泥”）外力需要做的功：）外力需要做的功：n总的功（能量）：总的功（能量）：RRRQRR0304344dRRdQR24dRRdQdWRRe4203405020154.0RdRdWWReeR2dE 例例 两半径为两半径为R的平行长直导的平行长直导线，中心间距为线，中心间距为d，且，且dR,求求沿导线方向，单位长度的电场沿导线方向，单位长度的电场能量能量.xxd)(2200 xdxEEE设两金属线的电荷线密设两金属

43、线的电荷线密度为度为解解oxPRdRxEUdRdRRdlnln00RdUCln0RdRxxdxd)11(20R2dExxdoxPRdCQWln210例例 一球形电容器由两个同心导体球壳组成，其间充满一球形电容器由两个同心导体球壳组成，其间充满相对介电常数为相对介电常数为 r r的各向同性均匀电介质，外球壳以的各向同性均匀电介质，外球壳以外为真空。内球壳半径为外为真空。内球壳半径为R R1 1，带电量为，带电量为q q1 1；外球壳内、；外球壳内、外半径分别为外半径分别为R R2 2和和R R3 3，带电量为，带电量为q q2 2。求：求：(1)(1)空间的电场分布；空间的电场分布；(2)(2)

44、该电容器的电容；该电容器的电容；(3)(3)电电介质中的电场能量。介质中的电场能量。解解 (1)(1)由高斯定理有：由高斯定理有：;0:011ERr;4:21221rqERrRro;0:332ERrR221434:rqqERrooR1R2R3 roq1-q1q1+q2 (2)两球的电势差为：两球的电势差为：电容为电容为VC q112214RRRRro(3)(3)电介质中的电场能量：电介质中的电场能量：2221Ero)11(82121RRqro电场能量也可用下式求得：电场能量也可用下式求得：CqWe2121:21RrR2124rqEro212RRdrEV)11(4211RRqroeWdrr242

45、1RRrdrR1R2R3 roq1-q1q1+q2电场力电场力n库仑定律：库仑定律：静电学基础，适用于电荷分布简单的系统。静电学基础，适用于电荷分布简单的系统。n虚位移法虚位移法：电荷分布复杂的系统，为了计算分：电荷分布复杂的系统，为了计算分布电荷的带电体之间的电场力，通常采用布电荷的带电体之间的电场力，通常采用虚位虚位移法移法假定假定带电体在电场作用下发生一定的带电体在电场作用下发生一定的位移位移，根据位移过程中，根据位移过程中电场能量的变化电场能量的变化与外力与外力及电场力所作的功之间的关系计算电场力。及电场力所作的功之间的关系计算电场力。rrqqe204F电场力电场力n平板电容器两极板上

46、的电量分别为平板电容器两极板上的电量分别为+q及及-q，板间距离为，板间距离为 l。为了计算。为了计算方便，假定在电场力作用下，极板方便，假定在电场力作用下，极板之间的距离增量为之间的距离增量为dl。而两极板间。而两极板间的相互作用力实际上导致板间距离的相互作用力实际上导致板间距离减小。因此，求出的作用力应为负减小。因此，求出的作用力应为负值。值。dll-q+q电场力电场力n若认为作用力若认为作用力F F 导致位移增加，因此，作用力导致位移增加，因此，作用力F F 的方向为位移的增加方向。这样，为了产生的方向为位移的增加方向。这样，为了产生 dl l 位移增量，电场力作的功为位移增量，电场力作

47、的功为 根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即的减小值，即 由此求得由此求得 常电荷系统常电荷系统lFdd lFeddWlF常数qlWFdde电场力电场力n已知平板电容器的能量为已知平板电容器的能量为 。对于。对于常电常电荷系统荷系统，发生位移时电量，发生位移时电量 q 未变，只有电容未变，只有电容 C 改变了。改变了。平板电容器的电容平板电容器的电容 平板电容器两极板之间的作用力为平板电容器两极板之间的作用力为 负号表明作用力的负号表明作用力的实际方向实际方向是指向位移减小的是指向位移减小的方向。方向。CqW2e21lSC 22SqF电场

48、力电场力n假定发生位移时，电容器始终与电源相连，这样，假定发生位移时，电容器始终与电源相连，这样，在虚位移过程中，两极板的电位保持不变，这种系在虚位移过程中，两极板的电位保持不变，这种系统称为统称为常电位系统常电位系统。n设在电场力作用下，极板间距的增量为设在电场力作用下，极板间距的增量为dl l。由于电。由于电容改变，为了保持电位不变，正极板的电荷增量为容改变，为了保持电位不变，正极板的电荷增量为dq，负极板的电荷增量为，负极板的电荷增量为-dq 。设正负极板的电位。设正负极板的电位分别为分别为 1 及及 2 ，则电场能量的增量为，则电场能量的增量为 式中式中U U为两极板之间的电压。为两极

49、板之间的电压。qUqqWd21d21d21d21e电场力电场力n为了将为了将 dq 电荷移至电位为电荷移至电位为1的正极板，将电荷的正极板，将电荷-dq移至电位为移至电位为 2的负极板，外源必须作的功为的负极板，外源必须作的功为 根据能量守恒原理，外源作功的一部分供给电根据能量守恒原理，外源作功的一部分供给电场力作功，另一部分转变为电场能的增量，因此场力作功，另一部分转变为电场能的增量，因此 e21d2d)d(dWqUqqeeddd2WlFW常数lWFdde2221lsUF故故平板电容平板电容对比对比 22SqF电场力电场力n由带有固定电荷的导体组成的孤立系统由带有固定电荷的导体组成的孤立系统

50、n由具有固定电位的导体组成的系统由具有固定电位的导体组成的系统n解题注意事项：解题注意事项：电位固定还是电荷固定？电位固定还是电荷固定？必须首先设定虚位移的正方向！必须首先设定虚位移的正方向！对结果的符号进行判断！对结果的符号进行判断！常数lWFe常数qlWFe电场力电场力n广义坐标广义坐标：确定系统中的一组独立几何量，如距：确定系统中的一组独立几何量，如距离、面积、体积、角度等。离、面积、体积、角度等。n广义力广义力：企图改变广义坐标的作用力。：企图改变广义坐标的作用力。n广义力与它引起的广义坐标的改变之积等于广义力与它引起的广义坐标的改变之积等于功功。UbaadkUbaa2/dk例题例题