1、1第第14章章 线性动态电路的复频域分析线性动态电路的复频域分析2直流激励直流激励电阻电路电阻电路直流激励低直流激励低阶动态电路阶动态电路正弦激励正弦激励动态电路动态电路稳态响应稳态响应经典法经典法(时时域分析法域分析法)经典法经典法(时时域分析法域分析法)列解线性列解线性代数方程代数方程列解线性列解线性微分方程微分方程变量时域形式的变量时域形式的KVL、KCL和和VCR相量法相量法(频频域分析法域分析法)列解相量为列解相量为变量的线性变量的线性代数方程代数方程回顾：回顾：变量初始条件的确定变量初始条件的确定非正弦周非正弦周期激励动期激励动态电路态电路谐波分析谐波分析法法(频域分频域分析法析法
2、)相量变换相量变换变量频域形式的变量频域形式的KVL、KCL和和VCR激励的傅立叶级数激励的傅立叶级数展开展开任意任意激励激励动态电路动态电路列解相量为列解相量为变量的线性变量的线性代数方程代数方程电路特征电路特征分析方法分析方法方程形式方程形式出发点出发点？314.1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义14.2拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质14.3拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开14.4运算电路运算电路14.5用拉普拉斯变换法分析线性电路用拉普拉斯变换法分析线性电路14.6网络函数的定义网络函数的定义14.7网络函数的极点和零点网络函数的极点和零点14.
3、8极点、零点与冲激响应极点、零点与冲激响应14.9极点、零点与频率响应极点、零点与频率响应4前前 言言 一一.积分变换法积分变换法 采用经典法列解微分方程去分析动态电路时，必须知道变量采用经典法列解微分方程去分析动态电路时，必须知道变量及其各阶导数及其各阶导数(直至直至n-1n-1阶阶)在在t=0t=0+时刻的值，即变量的初始条件时刻的值，即变量的初始条件。而电路中给定的初始状态是各电感电流和电容电压在。而电路中给定的初始状态是各电感电流和电容电压在t=0t=0+时时刻的值，从这些值求得所需变量的初始条件工作量很大，也很刻的值，从这些值求得所需变量的初始条件工作量很大，也很困难，高阶动态电路中
4、尤为突出。困难，高阶动态电路中尤为突出。积分变换法是通过积分变化，把已知的时域函数变换为频域函积分变换法是通过积分变化，把已知的时域函数变换为频域函数，从而把时域的微分方程化为频域函数的代数方程。求出函数数，从而把时域的微分方程化为频域函数的代数方程。求出函数的频域解后，再做反变换，返回时域，求出满足电路初始条件的的频域解后，再做反变换，返回时域，求出满足电路初始条件的原微分方程的时域解，而不原微分方程的时域解，而不需要确定变量的初始条件需要确定变量的初始条件，即积分常，即积分常数。拉普拉斯变换和傅立叶变换都是积分变换，但拉普拉斯变换数。拉普拉斯变换和傅立叶变换都是积分变换，但拉普拉斯变换比傅
5、立叶变换有更广泛的适用性，所以拉普拉斯变换法是求解任比傅立叶变换有更广泛的适用性，所以拉普拉斯变换法是求解任意激励下高阶线性动态电路的有效而重要的方法之一。意激励下高阶线性动态电路的有效而重要的方法之一。5二二.傅立叶级数的指数形式傅立叶级数的指数形式0111()(cossin)kkkf taaktbkt三角形式傅立叶级数 111111cossin22jktjktjktjkteeeektktj根据欧拉公式 1101()()22jktjktkkkkkajbajbf taee 022kkkkajbajbak-k0 若令：c c c=1101()jktjktkkkf tcc ec 则：（1()jkt
6、kf tek 简写为：c 即傅立叶级数的指数形式 6 不重复的单个波形即非周期函数不能直接用傅氏级数表示，不重复的单个波形即非周期函数不能直接用傅氏级数表示，但如把该非周期函数仍看成一种周期函数，但如把该非周期函数仍看成一种周期函数，一种周期趋于无一种周期趋于无限大的函数限大的函数，在周期趋于无限大的条件下，求出，在周期趋于无限大的条件下，求出极限形式极限形式下下的傅氏级数展开式，就得到该周期函数的傅立叶积分。的傅氏级数展开式，就得到该周期函数的傅立叶积分。从傅立叶级数到傅立叶从傅立叶级数到傅立叶(积分积分)变换变换1120211()()TTjktjktTkcf t edtf t edtTT
7、kkkkcccc 12 T时，相邻谱线的间隔()趋于0，即的T谱线变成连续的。但的幅度也趋于无限小；1212()()TjktTkcF jkf t edt 定义新函数 T 1()()j tkF jf t edt 当T，把看作连续变量 得：，即傅立叶变换。傅立叶变换：非周期函数可用正弦函数的加权积分表示。傅立叶变换：非周期函数可用正弦函数的加权积分表示。它把一个时间函数变成了一个频率函数。它把一个时间函数变成了一个频率函数。7三三.拉普拉斯变换拉普拉斯变换从傅立叶变换到拉普拉斯变换从傅立叶变换到拉普拉斯变换 单边傅立叶变换：考虑到实际问题中遇到的总是因果信号，单边傅立叶变换：考虑到实际问题中遇到的
8、总是因果信号，令信令信号的起始时刻为号的起始时刻为0 0，将傅立叶变换表示为积分下限从零开始。，将傅立叶变换表示为积分下限从零开始。0()()jtFjf t edt即 00()()(0),()()()()tttj tjtf tf tf tF jf tedtf tdt-（）为了保证绝对可积，将乘以一个收敛因子e再将函数e取单边傅立叶变换有：ee0()()()()tf tF sF sf tdt-s 一个定义在 0,区间的函数，它的拉普拉斯变换式定义为：e 其中复频率s=+j，为一复数()()()()()F sf tf tFF sL f t 称为的象函数，称为(s)的原函数，8()()()stf t
9、ettsf tssttf t-从拉氏变换的定义可以看出：把原函数与的乘积从=0 到对t积分，则此积分的结果不再是 的函数，而是复变量 的函数。所以拉氏变换是把一个时间域的函数变换到 域内的复变函数F()。应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的复频域分析方法，又称运算法。定义中拉氏变换的积分从=0 开始，可以计及=0时包含的冲激，即拉氏变换以考虑了初始条件，从而给计算存在冲激函数电压和电流的电路带来方便。0000()()()()tttF sf tdtf tdtf tdt+-s-s-seee()cossinstjttteetjet复指数函数:e 914.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义一一.
10、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义时域时域 f(t)称为称为 原函数原函数 复频域复频域 F(s)称为称为 象函数象函数js复数复数0 1 0 2stcjstcjF(s)f(t)edtf(t)F(s)e dstj 正正变变换换反反变变换换 f(t)t 0,)10ste称为收敛因子Mc()0,)Ctf tMetf tF s，正的有限常数，使，则，（）的拉氏变换（总存在。0()s tf t edt有限值二二.拉氏变换存在条件拉氏变换存在条件应用拉氏变换法进行电路分析，应用拉氏变换法进行电路分析，称为电路的复频域分析方法运算法称为电路的复频域分析方法运算法js复频率)()()()(1sFLtftf
11、LsF简写11三三.常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换 0(s)()stFf t edt)()(.1ttf 2.()atf te()01s a tesa 0atatstL ee edt 1sa jseLtj 1)()(.3ttf 00)(dtt 0)()(dtettLst =101stes 0)()(dtettLst 0stedts1 1214.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质一一.线性性质线性性质)()(,)()(2211sFtfLsFtfL 若若sin 3tL：例例1112j sjsj)()(21tfbtfaL 则则)()(21sbFsaF 22s)(21tjtjeejL
12、 1AL：例例As)1(2teAL ：例例)11(ssA13二二.微分性质微分性质)0()()(fssFdttdfL)()(sFtfL 设：设：0)d)(0)(tsetftfestst)()0(ssFf00)(ddd)(dtfetettfststttfd)(dL 证证若若足够大足够大0uvuvvudd 利用14sin1022 tss 22 ss)(sin1cos1tdtdLtL ：例例)(2tL：例例)(tdtdL 01s(t)1s 15三三.积分性质积分性质)(1)(0sFsdfLt tL例例21)(sstL )(0 tdL )()(sFtfL 设：设：证证)s(d)(L 0tttf令ttt
13、fttf0d)(dd L)(L应用微分性质应用微分性质00d)()(s)(ttttfssFs)s()s(F016四四.延迟性质延迟性质(时域平移时域平移)f(t)(t)ttf(t-t0)(t-t0)t0)()()(000sFettttfLst )()(sFtfL 设：设：17tettfsttd)(00)(0sFesttettttfttttfstd)()()()(L00000d)(0)(0tsef0 tt令延迟因子 0ste证证d)(00sstefe例：例：1Ttf(t)()()(Ttttf 111()sTsTeF sesss 18五五.拉普拉斯变换的卷积定理拉普拉斯变换的卷积定理1212011
14、221212()()()()()(),()()()()().()f tf tf tfdL f tF sL f tF sL f tf tF s F s若则六六.频移性质频移性质()()()atf tF sf t eF sa 若L=，则 L19常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换原函数原函数 象函数象函数 原函数原函数 象函数象函数AS()AtA0()tt01stes)(0tt0ste()assasin()t22scos()tnt21()saatte22ssAsa1!nsn()AtatAe1ate（s+a）表示频域平移，1/s2对应 t2014.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分
15、分式展开一一.由象函数求原函数由象函数求原函数(1)利用公式利用公式0)(21)(tdsesFjtfstjj (2)经数学处理后查拉普拉斯变换表经数学处理后查拉普拉斯变换表)()()()(21sFsFsFsFn )()()()(21tftftftfn 象函数的一般形式：象函数的一般形式：)()()()(11011021mnbsbsbasasasFsFsFnnnmmm 二二.将将F(s)进行部分分式展开，分解为简单项的组合进行部分分式展开，分解为简单项的组合f(t)=L-1F(s)2110111201()()()()mmmnnna sa saF sF snmF sb sb sb 当当nm时，应将
16、时，应将F(s)化为真分式化为真分式10111201()()A()()nnna sa saF sF snF sb sb sb 部分分式法展开真分式时，根据部分分式法展开真分式时，根据F2(s)0的根存在单根、的根存在单根、共轭复根和重根共轭复根和重根三种不同性质三种不同性质的情况，的情况，F(s)的展开形式也的展开形式也不同。不同。22nsssF，的的根根为为不不等等实实根根120)(.1 nnssksskssksF 2211)(3121231().ins ts ts ts tiif tk ek ek ek e)()()()(11011021mnbsbsbasasasFsFsFnnnmmm 1
17、)()(11sssFssk 2)()(22sssFssk nssnnsFssk )()()(1ss)(1ss)(1ss)(1ss()()iiis skF s ss 23)()()(lim211sFsFsssFissi )()(21iisFsF 12()()iissF skFs ki也可用分解定理分解定理求求1112()()()iinns ts tiiiiiF sf tk eeFs 12()()()()lim()iiiiis sssF s sskF s ssF s 2431212kkksss 5.2)(01 SssFk05.155.2)(2 teetftt)2)(1(52 sssss例例1)23
18、(5)(22 ssssssF5)1)(12 SssFk5.1)2)(23 SssFk25例例252)(2 ssF用用分解定理分解定理求原函数求原函数073)3()3()2()2()(32321221 teeeFFeFFtftttt6554)(2 ssssF)()(21iiisFsFk 3221 ss21122 ss02)(2)(2 teettftt)2)(1(32 sss例例323772)(22 sssssF2622.()Fs 有有 共共 轭轭 复复 根根1,2sj方法方法1：配方法：配方法22 sin stL22sin ()tLt es 22cos sLts22()cos ()tsLtes
19、2752)(2 ssssF例例211js 212js 522 sss122222.21(1)2(1)2sss tetetftt2sin212cos)()()6.262cos(118.1ttet 222)1(11 ss2822.()Fs 有有 共共 轭轭 复复 根根1,2sj12()kkF ssjsjk1,k2也是一对共轭复数也是一对共轭复数j-j12e ekkkkkk ()()()()jjtjjtf tk e ek ee()()tjtjtk eee2cos()tk et 方法212()()iissF skFs 2952)(2 ssssF11212110.55926.62224224sjsjkj
20、sj 21212110.55926.62224224sjsjkjsj )6.262cos(559.02)(tetft)0)6.262cos(12.1 ttet例例211js 212js 30F s2()有有相相等等的的实实根根（重重根根）21211211)()()()(sskssksssFsF 1)()(212SSsFssk 1)()(dd211SSsFsssk 21121)()(kssksssF 3、3112211KK(s)(s)2)1(52)(sssF21(25)3SKs 2)52(dd11 SssK032)(tteetftt例例132322221)2()2()2(sKsKsK32)2(2
21、2)(ssssF例例23223232322(2)2(2)SssKss 122dd21)1()1()22(dd21223322221 SSsssssssK02)(2222 tetteetfttt2)22()2()2(22dd2233222 sSssssssK32)2(2)2(2)2(1)(ssssF331011()()mmmna sa saF sss nnnnsskssksskssksF)()()()(111121211 一般多重根情况一般多重根情况11()()nns skssF s 111d()()dnns skssF ss 122121d()()2!dnns skssF ss 111111d
22、()()(1)!dnns snkssF sns 121112111()()()()nnnnnssF sk ssksskssk 3435拉氏变换与拉氏反变换拉氏变换与拉氏反变换0()()1()()02stcjstcjF sf t edtf tF s e ds tj 正变换反变换时域时域 f f(t)(t)称为称为 原函数原函数 复频域复频域 F F(s)(s)称为称为 象函数象函数小结：小结：36AS()AtAsin()t22scos()t21()sa a tte22ssAsa()AtatAe常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换37一一.线性性质线性性质拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性
23、质12La f(t)b f(t)()(21sbFsaF 二二.时域导数时域导数)0()()(fssFdttdfL三三.时域的积分时域的积分)(1)(0sFsdfLt 四四.时域平移时域平移(延迟定理延迟定理)()()(000sFettttfLst 五五.频域平移频域平移atf(t)eF(sa)L L3814.4 运算电路运算电路类似地类似地相量形式相量形式KCL、KVL元件元件VCR 复阻抗复阻抗相量形式相量形式电路模型电路模型 iIuUuRiUZ I)()()()(sItisUtu元件：元件：运算阻抗运算阻抗运算形式运算形式KCL、KVL运算形式运算形式电路模型电路模型)()()(sIsZs
24、U 39一一.复频域复频域形式的形式的VCR-0()1()()()()()(0)tLRLCCdi tutRi tutLuti t dtudtC 时域形式：1RLCURIUj LIUIj C 频域形式：40电阻电阻VCR-复频域形式复频域形式R：u(t)=R i(t)()(sGUsI)()(sRIsU+u -iR+U(s)-I(s)R41电感电感VCR-复频域形式复频域形式dtdiLuLL)0()()0()()(LLLLLLissLIissILsUsisLsUsILLL)0()()(iL+uL -L+-sL)0(LLiUL(s)IL(s)sL+-UL(s)IL(s)siL/)0(电感的运算电路电
25、感的运算电路421(0)LLsLi s:复频域感抗，：复频域感纳，：电感的初始电流(0)(0)Lii ：由电感初始状态确定的附加电压源，其参考方向与电感中初始电流参考方向相反，反映电感初始电流的作用。：由电感初始状态确定的附加电流源，s其参考方向与电感中初始电流参考方向相同。43susIsCsUCCC)0()(1)(dtiCuutCCC 01)0()0()()(CCCCussCUsI 1 1/sCCuC(0-)IC(s)UC(s)IC(s)1 1/sCuC(0(0-)/sUC(s)+uC -iC电容电容VCR-复频域形式复频域形式电容的运算电路电容的运算电路441:(0)sCsCu 复频域容抗
26、，：复频域容纳，：电容的初始电压(0)(0)usCu ：由电容初始状态确定的附加电压源，其参考方向与电容中初始电流参考方向相同，反映电容初始电压的作用。：由电容初始状态确定的附加电流源，其参考方向与电容中初始电流参考方向相反。45 dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu122221111111 1222222 211()()(0)()(0)()()(0)()(0)UssL IsL isMIsMiUssL IsL isMIsMi 互感的互感的VCR.ML1L2i1i2+u1-+u2-L1i1(0-)Mi2(0-)Mi1(0-)L2i2(0-)+U2(s)-+U1(s)-I1(s)I2(s)
27、sL1sL2+-sM+_+_461211uuRiu )()()()(1211sUsURsIsU 受控源：受控源：(s)+-U+1(s)-RI1(s)U2U1(s)+u1-+u2-Ri1 u147二二.复频域形式的基尔霍夫定律复频域形式的基尔霍夫定律i tu t 时域形式：（）=0 （）=000IU 频域形式：()0 ()0I sU s复频域形式：0)0(0)0(LCiu ttiCtiLiRu0d1dd+u-iRLC48)1)(sCsLRsI 运算阻抗运算阻抗)()()(sIsZsU)()()(sUsYsI)(1)(sZsY 运算形式：运算形式：欧姆定律欧姆定律sCsLRsZ1)(+U(s)-I
28、(s)RsL1/sC)(1)()()(sIsCssLIRsIsU 49三三.运算电路模型运算电路模型运算电路运算电路时域电路时域电路0)0(0)0(Lciu1.电压、电流用象函数形式电压、电流用象函数形式2.元件用运算阻抗或运算导纳元件用运算阻抗或运算导纳3.电容电压和电感电流初始值用附加电源表示电容电压和电感电流初始值用附加电源表示RRLLCi1i2E(t)+-RRLsL1/sCI 1(s)E/sI 2(s)+-50时域电路时域电路例例52F2010100.5H50V+-uc c+-iLt=0时打开开关时打开开关uC(0-)=25V iL(0-)=5At 0 运算电路运算电路200.5s-+
29、-1/2s25/s2.55IL(s)UC(s)51 14.5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路应用拉普拉斯变换法分析线性电路52直流激励直流激励电阻电路电阻电路直流激励低直流激励低阶动态电路阶动态电路正弦激励正弦激励动态电路动态电路稳态响应稳态响应经典法经典法(时时域分析法域分析法)经典法经典法(时时域分析法域分析法)列解线性列解线性代数方程代数方程列解线性列解线性微分方程微分方程变量时域形式的变量时域形式的KVL、KCL和和VCR相量法相量法(频频域分析法域分析法)列解相量为列解相量为变量的线性变量的线性代数方程代数方程变量初始条件的确定变量初始条件的确定非正弦周非正弦周期激励动期激励动态电路
30、态电路谐波分析谐波分析法法(频域分频域分析法析法)相量变换相量变换变量频域形式的变量频域形式的KVL、KCL和和VCR激励的傅立叶级数激励的傅立叶级数展开展开任意任意激励激励动态电路动态电路列解相量为列解相量为变量的线性变量的线性代数方程代数方程电路特征电路特征分析方法分析方法方程形式方程形式出发点出发点运算电路法运算电路法(复频域分复频域分析法析法)拉普拉斯变换拉普拉斯变换复频域形式的复频域形式的KVL、KCL和和VCR列解相函数列解相函数为变量的线为变量的线性代数方程性代数方程53 14.5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路应用拉普拉斯变换法分析线性电路步骤：步骤：1.由换路前电路计算由换路
31、前电路计算uC(0-),iL(0-)。2.画运算电路模型画运算电路模型3.应用电路分析方法求象函数。应用电路分析方法求象函数。4.反变换求原函数。反变换求原函数。54VuC100)0(已知：已知：t=0时闭合开关时闭合开关,求求iL，uL。例例1：200V300.1H10-uc c+C iL L+-uL1000F55AiL5)0()1(解解：(2)画运算电路画运算电路ssL1.0 sssC1000101000116 Vuc100)0(200/s 30 0.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)200V300.1H10-uc c+1000FiL L+-uL56 )3(回路法回路
32、法221)200()40000700(5)(sssssI5.0200)(10)1.040)(21 ssIssIssIssI100)()100010()(1021 200/s300.1s0.510101000/s100/sIL L(s)I2(s)(1sI)(2sI572222111)200(200)(sKsKsKsI(4)反变换求原函数反变换求原函数221)200()40000700(5)(sssssI21)200(1500)200(05)(ssssIAtttit)()e15005()(2001 58求求UL(s)UL(S)5.0)()(1 sLsIsUL2)200(30000200150 ss
33、0e30000e150)(200200 tVttuttL200/s 30 0.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)59例例2 已知已知 求冲激响应求冲激响应uc,ic0)0(),(Csuti 1)(sIsRC+uc isicR1/sC+Uc(s)Is(s)Ic(s)60例例2 求冲激响应求冲激响应0)0(),(Csuti)(11)(sIsCRsCRsUSC )/1(RCsRCR 1)()(RsCRsCsCsUsICC111 RsC)0(e1/tCuRCtc)0(e1)(/tRCtiRCtc 1)(sIsRC+uc isicR1/sC+Uc(s)Is(s)Ic(s)61tuc
34、(V)C10ticRC1)(t 62+-UskR1L1L2R2i1i20.3H0.1H10V23t=0时打开开关时打开开关k,求电流求电流 i1,i2。例例36310/s2 20.3s1.530.1sI1(s)sssI4.055.110)(1 sss)4.05(5.110 5.1275.12 ss0e75.125.121 tit)0()0(11 ii)0()0(22 iisss)5.12(75.325 ti523.750显然：显然：0)0(5)0(21 iAi645.1)(3.0)(11 ssIsUL375.05.1256.6)(1 ssULUL1(s)(1.0)(12ssIsUL 5.121
35、9.2375.0)(2 ssUL)(e19.2)(375.05.122ttutL )(e56.6)(375.05.121ttutL 10/s2 20.3s1.530.1sI1(s)65uL1-6.56t-0.375(t)0.375(t)uL2t-2.19ti1523.750Aiii75.31.0375.00)0()0(222 dudtAiii75.33.0375.05)0()0(111 )(e19.2)(375.05.122ttutL )(e56.6)(375.05.121ttutL Li 66小结：小结：1、运算法直接求得全响应、运算法直接求得全响应3、运算法分析动态电路的步骤、运算法分析动
36、态电路的步骤2、用、用0-初始条件，跳变情况自动包含在响应中初始条件，跳变情况自动包含在响应中1).由换路前电路计算由换路前电路计算uC(0-),iL(0-)。2).画运算电路图画运算电路图3).应用电路分析方法求象函数。应用电路分析方法求象函数。4).反变换求原函数。反变换求原函数。磁链守恒：磁链守恒：)0()()0()0(212211 iLLiLiL75.34.0053.0 67练习练习10)0(Li(2)画运算电路画运算电路sL1ss11s11sCV1)0(cu解解(1)计算初值计算初值电路原处于稳态，电路原处于稳态，t=0 时开关闭合，试用运算时开关闭合，试用运算法求电流法求电流 i(t)。1V1H11Fi+-11/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s682)2(1)()(21ssssIsI)j1s(j1)(321KsKsKsI(4)反变换求原函数反变换求原函数j1j10 :30)(D321ppps，个根有21)s(01ssIKj)2(11)j1)(j12sssIKj)2(11)j1)(j13sssIK)j1()j1(21j1)j1(2121)(ssssI)sinecose1(21)()(L1tttisItt69练习练习2：1V 1 1H 1 -uc c 1F iL L+-uL+t=0时闭合时闭合k,求求iL，uL，uck作业：作业：14-5，6，7
