1、直线和平面垂直直线和平面垂直直线与平面所成的角直线与平面所成的角直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义 如果一条直线 l 和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 和平面互相垂直，记作 l 。Pl线线垂直线面垂直线线垂直利用定义利用判定定理 直线和平面垂直的判定定理：直线和平面垂直的判定定理：mml nl nOnmllOnm直线与平面垂直的判定定理可简述为“线线垂直，则线面垂直”前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直线与平面不垂直时情况怎么样呢？问题提出问题提出线面角相关概念线面角相关概念P斜线PA与平面所成的角为PAOl平面的斜线A斜足A斜线PA在平面内的射影垂足OO平面的垂线1
2、.1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的锐角射影所成的锐角2.2.平面的垂线与平面所成的角为直角平面的垂线与平面所成的角为直角3.3.一条直线与平面平行或在平面内，则这一条直线与平面平行或在平面内，则这条直线与平面所成的角是条直线与平面所成的角是 角角一条直线与平面所成的角的取值范围是一条直线与平面所成的角的取值范围是p AOa若a AO，则a PA若a PA，则a AOv三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和这条斜线垂直。v三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也
3、和这个斜线的射影垂直。射影斜线 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直线A1B和平面ABCD所成的角；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.D1 1ABA1 1CB1 1C1 1DO 例2 已知：正方体中，AC是面对角线，BD是与AC 异面的体对角线.求证：ACBDABDCA B CD证明：因为直线BD 在平面ABCD内的射影是直线BD 显然 BD AC根据三垂线定理可知 ACBD 得以证明得以证明证明：连接证明：连接BDBD因为正方体因为正方体ABCD-ABCD所以所以DDDD平面平面ABCDABCD又因为又因为所以所以因为因为ACAC、BD BD 为对角线为对角线所
4、以所以ACACBDBD因为因为DDDDBD=DBD=D所以所以ACAC平面平面DDBDDB所以所以ACACBDBDABCDAC平面ABDCABCDDDAC 例3.如图，AB为平面的一条斜线，B为斜足，AO平面，垂足为O，直线BC在平面内，已知ABC=60，OBC=45，求斜线AB和平面所成的角.ABCOD 如图，BAD为斜线AB与平面所成的角，AC为平面内的一条直线，那么BAD与BAC的大小关系如何？DCABBAD BACE解：作BOAD于O，BEAC于E，则 BDBEsinBADsinBAC思考思考1o 两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何？反之成立吗？一条直线与两个平行平面所成的角的大小关系如何？思考思考2小结小结1.直线与平面的位置关系可以用直线与平面所成的角来度量.线面垂直和线面平行是特殊情况.2.三垂线定理和其逆定理3.求一斜线与平面所成的角的关键是找出该斜线在平面内的射影.4.斜线与平面所成的角是该斜线与平面内任意直线所成角中最小的角.作业P66练习 2P74 B组 2
