1、Liaoning University引言 爱因斯坦的狭义相对论这一划时代的重要理论，是现代物理学的重要支柱之一。但它应有两个问题没有解决：其一，按狭义相对性原理，一切惯性参照系等效，即物理规律在所有的惯性系中都具有完全相同的形式。狭义相对论仅对惯性系适用。那么自然界中哪些参照系是惯性系？为什么惯性系在描述物理规律方面居于优越地位？Liaoning University 其二，按狭义相对论要求，所有的物理规律都应符合洛仑兹（Lorentz）协变性，而且一切相互作用都不能是超距作用。但是，牛顿引力理论却不满足这一要求，它不仅存在着理论上的困难，而且在天文观测上也有不能圆满解释的问题，例如水星近日
2、点的进动问题。Liaoning University 上述两个问题从表面上看似乎没有什么联系，而实质上却深刻地联系在一起。运用等效原理和广义相对性原理就能突破惯性系的局限，克服牛顿引力理论上的困难。对上述两个问题做出统一的解释，由此而建立起来的新理论就是广义相对论。所以，广义相对论既是狭义相对论的发展，也是对牛顿引力理论的深化。Liaoning University3.1广义协变性原理1.相对性原理相对性原理 众所周知，牛顿力学仅限于惯性系中成立，而两个相对作匀速直线运动的惯性系之间的时空关系可有伽利略变换表示：xxvtyyzzttLiaoning University 容易验证，若牛顿力学规
3、律对其中任何一个参照系成立，那么对另一个参照系也成立。这叫做牛顿力学规律对伽利略时空变换的协变性，也称为力学的相对论原理。它告诉我们，虽然惯性系有无限多个，但不同的惯性系对力学问题是完全等价的。Liaoning University 十九世纪末确立的电磁学基本规律，即麦克斯韦（Maxwell）方程组对伽利略时空变换是不协变的，这个事实暗示了两种可能：一、相对性原理对电磁学不适用，空间存在着一 个“真正”的惯性系（即以太）。二、相对性原理对电磁学仍适用，而伽利略时 空变换或麦克斯韦方程组需要改进。迈克尔逊莫雷（MichelsonMorley）实验否定了第一种可能的存在。留下的问题是如何改进伽利略
4、变换或麦克斯韦方程组。Liaoning University 爱因斯坦从光速不变原理导出了一个新的时空关系（Lorentz变换）：2222211xv txvcyyzzx vtctvc 在vc时，它还原为伽利略变换。爱因斯坦证明了电磁规律对于洛仑兹变换是协变的。Liaoning University 此后，他又修正了牛顿力学，使它对洛仑兹变换也协变。修正的结果后来被实验所证实。这说明相对性原理对于力学和电磁学都是适用的。在这一基础上，爱因斯坦把它推广为一条普遍性原理：所有的基本规律都在任一惯性系中具所有的基本规律都在任一惯性系中具有相同的形式。这就叫狭义相对性原理。有相同的形式。这就叫狭义相对性
5、原理。Liaoning University 按着狭义相对性原理，各个惯性系完全等价。这样在原则上就不可能用物理实验来判断哪个惯性系是真正静止的。在众多的相对作匀速运动的惯性系中，哪些静止，哪些运动，速度多大，完全只有相对的意义。因此，狭义相对性原理说明了速度的相对性。Liaoning University2.2.惯性系的疑难惯性系的疑难 既然物理规律仅限于惯性参考系中成立，就自然产生这样的问题，自然界自然界中哪些参考系是惯性系？中哪些参考系是惯性系？Liaoning University通常的惯性系定义 不受外力作用的物体，在其中保持静止或匀速不受外力作用的物体，在其中保持静止或匀速直线运动
6、状态不变的坐标系。直线运动状态不变的坐标系。但是，什么是不受外力作用呢？当物体在惯性系中保持静止或匀速直线运动状态不变时，它就不受外力作用。由此可见，惯性系与不受外力构成了循环定义。实际上，狭义相对论无法定义惯性系。作为狭义相对论基础的惯性系竟然无法严格定义，不能不说是理论上的严重缺陷。Liaoning University现实的参照系都不是严格的惯性系 地面上的实验室参照系不是严格的惯性系。地球围绕其地心有自转，围绕太阳有公转，其加速度约为3.4102m/s2。太阳又在绕银河中心转动，其加速度约为3.01010m/s2，所以太阳也不是严格的惯性系，尽管它比地面参照系更接近惯性系。由于各星系间
7、的万有引力，银河系也必然作加速运动，或许这个加速会更小些，但它终究也不是严格的惯性系。Liaoning University 由此可见，由于物质间引力的普遍存在，任一物质参照系总有加速度，因而总不会是严格的惯性系。只不过尺度越大，物质越稀疏。引力越弱，因而能找到更好的近似惯性系。Liaoning University 上述原因使爱因斯坦突破了惯性系的局限性，将狭义相对论原理推广为广义相对论原理广义相对论原理：一切参照系都是平权的。或者说，客观的物理一切参照系都是平权的。或者说，客观的物理规律应在任意坐标变换下保持形式不变。规律应在任意坐标变换下保持形式不变。Liaoning Universit
8、y 在狭义相对论中，用四维正交矢量或张量表示物理量或物理公式，从一个惯性系向另一个惯性系变换时，经过洛仑兹变换，公式的形式保持不变，这叫洛仑兹协变性洛仑兹协变性。在广义相对论中，要用黎曼张量表示黎曼张量表示物理量和物理公式，使物理规律表示为对任何坐标变换保持不变的形式，即广义协变形式，这叫广义协变性原理广义协变性原理，它是广义相对性原理更确切的陈述。Liaoning University3.2 等效原理等效原理 广义相对性原理否定了惯性系的优越地位。认为一切参照系（包括惯性系，非惯性系）都是等价的。但是，在牛顿力学中，用非惯性系讨论问题就必然涉及惯性力。因此要将惯性系与非惯性系看成是等价的，就
9、应重新考虑惯性力的本质问题。能够成功解决这一问题的就是等效原理。在介绍等效原理之前，首先讨论惯性质量与引力质量惯性质量与引力质量的等同性。Liaoning University1.1.引力质量与惯性质量引力质量与惯性质量 一切物质都具有两种最根本的力学属性即惯性与引力。由牛顿第二定律 可定义物体的惯性质量，它是物体惯性大小的量度，反映了物体对加速度的阻抗。iFamLiaoning University 由万有引力定律(1)(2)2ggm mFGr 可以定义物体的引力质量，它是物体引力属性的量度，反映了物体产生与承受引力的本领。Liaoning University 显然，物质的这两种属性，从它
10、们的物理本性上说是完全不同的。无法预先期望它们之间存在着任何联系。为了更清楚地理解这一点，我们将它同电磁作用类比，惯性质量为mi的电荷q，在电场中所受的力为：()iqmvFaEBcLiaoning University 电荷在电磁场中所受的力由电荷q决定，而受这一作用所产生的加速却由惯性质量mi决定，显然q与mi毫无关系。尽管从概念上说，物质的引力质量与惯性质量是完全不同的，但是实验事实证明，二者的量值相等。现将这方面的实验结果汇集如下：Liaoning University实验者方法精度Newton（1686）单摆 10-3 Bessel（1832）单摆 210-5 Etvs，Pekar,a
11、nd Fekete(1922)扭秤 510-9 Potter(1923)单摆 210-5 Penne(1935)扭秤 210-9 Roll,Krtkov,and Dicke(1964)扭秤 10-11 Braginsky and Panov(1972)扭秤 10-12 Koester(1976)自由落体 310-4 Worden(1978)磁体悬挂 10-4 Keiser and Faller(1979)水上浮体 410-11 Worden(1978)轨道上的自由运动 10 1510-18 Liaoning University 总之，对于一切物质（包括辐射能，引力自能）而言，均有 这一恒等关
12、系在牛顿力学中纯属巧合，没有什么意义。但是，在广义相对论中，它反映了同一地点的不同物体的下落加速度相同；反映了引力作用与其它基本相互作用的根本区别。引力质量与惯性质量相等引力质量与惯性质量相等构成了广义相对论的全部论证的基础构成了广义相对论的全部论证的基础。igmmLiaoning University2.2.等效原理等效原理 前面提到，将狭义相对论原理推广为广义协变性原理的关键在于如何重新看待惯性力，这一问题同惯性质量与引力质量相等密切相关。按爱因斯坦的假想实验爱因斯坦的假想实验。设想在远离一切天体的太空中漂浮着密封的箱子，它不受引力和其他作用影响，这时箱子没有上下之分。箱子中的人手持苹果，
13、当其手松开后，苹果仍然漂浮在空中静止不动。可见，建立在箱子中的参考系是惯性系。现在假设箱子中的人发现悬浮在空中的苹果突然以一定的加速度向一方逸去，箱子变有上下之分。针对这一现象，箱子中的人会作出两种可能的解两种可能的解释释：Liaoning University 若凭着引力场中的经验，他可能认为箱子的一方存在着引力源而在箱内产生了引力场产生了引力场，苹果下落就是因受该引力场的作用，其运动符合力学规律，箱子仍是惯性系箱子仍是惯性系；他也可能认为，箱子外面没有引力源，箱内没有引力场，箱内苹果的下落反映了箱子在空中以一定的加速度向上飞行，即下落是由惯性系造成的，箱子成了加速系。Liaoning Un
14、iversity 由此可见，箱内的人无法借助力学实验来区别引力的作用效果与惯性力的作用效果。这种引力与惯性力对力学现象的等效性称为弱等效原理弱等效原理。由于引力正比于引力质量，惯性力正比于惯性质量，所以引力与惯性力对力学现象的等效性即弱等效原弱等效原理仅仅是引力质量与惯性质量相等的一个推论理仅仅是引力质量与惯性质量相等的一个推论。爱因斯坦对弱等效原理作了进一步的推广爱因斯坦对弱等效原理作了进一步的推广，他认为不仅对力学现象，而且对一切物理现象来说，均匀引力场中的惯性系与无引力场中的加速系（加速度与引力反向）之间是无法区别的，即引力与惯性力引力与惯性力的任何物理效果都是等效的的任何物理效果都是等
15、效的，这就是强等效原理强等效原理。强等效原理是一个更深刻的假定。Liaoning University 为了将强等效原理表示为更准确、实用的形式，考虑引力场中自由下落的爱因斯坦电梯。只要电梯足够小，总可以假定电梯范围内的引力场是均匀的。如果以电梯为参照系，其内部空间的引力和惯性力正好抵消。电梯内的观察者将会发现，他所做的任何力学实验都不可能显示出电梯在引力场中的降落，力学规律在这个自由下落的力学规律在这个自由下落的电梯中完全有效电梯中完全有效。按着强等效原理的思想，他所做的电磁实验及其他物理实验也无法说明电梯在引力场中的加速运动，电磁学规律在这个电磁学规律在这个自由下落的电梯参照系中也同样适用
16、自由下落的电梯参照系中也同样适用。强等效原理强等效原理可更准确地表示为：在任何引力场中任一时在任何引力场中任一时空点总能建立一个自由下落的局部参照系，其中狭空点总能建立一个自由下落的局部参照系，其中狭义相对论所确立的物理规律全部有效。义相对论所确立的物理规律全部有效。Liaoning University3.等效原理的三点讨论等效原理的三点讨论（1 1）引力与惯性力的等效性仅限于局部）引力与惯性力的等效性仅限于局部 例如，惯性离心力是与轨道半径r成正比的，而引力则与半径平方成反比，所以，二者之间只能在无穷小的局部等效。再如，匀加速力场与引力场的等效性也是局部的，匀加速力场的力线是均匀的，而一切
17、真实的引力场的力线是汇聚的，二者是可以区别的，只有在局部范围内才可以建立二者之间的等效性。222rvFmmmrrr(1)(2)2ggm mFGrLiaoning University（2 2）局部惯性系）局部惯性系 在消除引力场的时空点邻域内，狭义相对论是严格成立的。建立在这里的参照系叫做局部惯性系局部惯性系。引力场中的自由下落的电梯，在轨道上运行的卫星，飞向行星的飞船，关闭火箭的航天飞机，它们都只靠引力做自由飞行，都是局部惯性系（不考虑旋转）。注意，消除引力场的范围只限于时空点的充分小的邻域内消除引力场的范围只限于时空点的充分小的邻域内。由此可见，惯性系的概念已经发生了变化 Liaoning
18、 University 牛顿力学及狭义相对论认为惯性系就是自身没有加速度的参照系，这个概念是无法确切定义的，因为自然界中找不到一个基本的无加速系。现在依据等效原理可知，惯性系就是不存在引力场惯性系就是不存在引力场的参照系的参照系。用旧概念来讲，就是引力与惯性力相抵消的参照系，即引力场中做自由运动的参照系（不旋转）。这样的惯性系只能在局部上实现惯性系只能在局部上实现。注意，按着这种新观念，一个静止在恒星表面上的一个静止在恒星表面上的参照系反而不是惯性系了参照系反而不是惯性系了。尽管引力能在局部惯性系中消除，但是仍然可从各局部惯性系之间的联系中找到引力作用，它使得各局部惯性系之间具有相对加速度。在
19、狭义相对论中各惯性系之间是没有相对加速度的。Liaoning University（3）永久引力场与非永久引力场的区别）永久引力场与非永久引力场的区别 a.通过一个从加速系回到惯性系的坐标变换，可以把整个空间的惯性力全部消除，故惯性力场又称非永久力惯性力场又称非永久力场场。而一般物质所产生的引力场是不能通过坐标变换在全空间消除的，只能在一点的邻域内消除。比如，地球引力场就是如此，这样的引力场就是永久引力场永久引力场。b.引力场要对时空产生一定内禀效应，使时空弯曲，而惯性力场则不能。Liaoning University3.3 等效原理的简单应用等效原理的简单应用 等效原理是广义相对论的根本性原
20、理。为了深刻理解这一原理在广义相对论中的重要地位，现举出两个应用实例两个应用实例。Liaoning University1.利用等效原理讨论引力场对光路的影响利用等效原理讨论引力场对光路的影响 如图1所示，箱ABCD在均匀引力场中自由下落。箱壁AB上有小孔P,小孔离箱底高为h。运动开始时，小孔离地面高度为a。这时光源S发出的光射入小孔。取固定于箱内的X系为参照系，则X-系为局部惯性系,狭义相对论适用。因而箱内的人观测到，光在箱内以光速c沿水平直线前进，射到CD上的D点。Liaoning University 再从地面上的x-系观察。光线入P点，离地面高度为h。光在箱内传播距离L需要时间L/c。
21、而这段时间内，用非相对论近似计算，箱下落的距离为 ，可见从x-系看到的光 路是如图1所示的抛物线PQ。也就是说，光在引力场中前进，恰如抛物线一样，描出抛物线。212LgcLiaoning University引力场的几何化引力场的几何化 在光学里,光在真空中沿直线传播。直线是欧氏空间的短程线短程线。如果将这种想法用于从x-系所看到的光路，则在引力场中联接P点与Q点的最短程线却近似地成了抛物线。这表明，引力场中欧氏几何已不成立，引引力场引起了空间的形变力场引起了空间的形变，使得光线通过那里时发生了偏折。对此，爱因斯坦提出更为革命的看法，即处于形变的四维时空区域，从物理上说可以认为是有引力存在的时
22、空区域。所以，表示时空弯曲的几何量，同时也表示了引力场的状态。这样，引力场中的物理问题便等价于弯曲时空的物理问题，这种看法就称为引力场的引力场的几何化几何化。Liaoning University 在广义相对论以前，时空的几何学性质不是自然科学研究的对象。即使在狭义相对论中认为时间、空间与物质的运动状态有关，时空的几何性质也丝毫不受运动物质的影响。而在广义相对论中，时空的几何学性质用引力场表示出来，它不是先验确定的，而是由分布于时空的物质所决定的，同时也制约着物质的行动。这样看来，广义相对论是应当代替牛顿理论新的广义相对论是应当代替牛顿理论新的引力理论，同时也可以说是研究时空结构的物理引力理论
23、，同时也可以说是研究时空结构的物理学。学。Liaoning University小资料 引力场中光线弯曲是爱因斯坦1916年作为预言提出来的。于1919年5月29日由爱丁顿（Edington）在日全食时观测到了应当由太阳遮住的日掩星，证实了从太阳后边远方来的星光，经过太阳近旁的引力场时发生弯曲，才使星光传到地球上来。这次观测的成功使爱因斯坦的广义相对论轰动了全世界。关于这个问题的详细讨论，留在第七章。Liaoning University 1919年5月29日（第二次世界大战期间），英国剑桥大学物理学家Edington带领观测队到非洲普林西比岛观测日全食这一天太阳附近的星光，以验证太阳附近光线
24、的偏折角！测量方法：日全食测量太阳附近星的相对位置。半年后，再观测同一天区星的相对位置（无太阳引力场）。比较二者的结果，即可以确定偏折角大小。Liaoning University2.2.引力场对时间和光的频率的影响引力场对时间和光的频率的影响 如前所述，在引力场中，欧氏几何已不适用，因而建立在欧氏空间上的物理学中的许多基本概念，如时间、空间等都需要重新讨论，而讨论这些问题仍需借助于等效原理等效原理。Liaoning University13 现比较引力场中，两点现比较引力场中，两点P P1 1、P P2 2的时钟的时钟W1、W2运行的快慢运行的快慢 现比较引力场中，两点的时钟W1，W2运行的
25、快慢。为此。在P1近旁置一小箱，从静止开始自由下落，箱内是不显现引力的局部参局部参照系照系。箱内有一时钟W3，在开始下落的一瞬时，W1与 W3同在一个惯性系之中，所以两钟运行的时间 与 相等，即 13Liaoning University 又因W3是固定在箱内局部惯性系中的时钟。它运行的快慢恒定。当箱子经过P2点时，其速度为-v。箱子是P2处的局部惯性系。从箱内观测，P2点以速度v 从箱旁掠过。在此瞬时，如果箱内时钟W3 经过 的时间，P2处的时钟经过 的时间，则根据狭义相对论，得 3222321vc Liaoning University2222322111cvcv上式可表示为若P1，P2两
26、点的牛顿引力势分别为由下落方向可知：由牛顿力学的能量守恒定律可知 于是 或21,1221212v221121c121212210c Liaoning University 即时钟越是在引力势低的地方，它的固有时进行得越慢。简单地说，高处的时钟运行高处的时钟运行得快，低处的时钟运行得慢得快，低处的时钟运行得慢。可见，在由引力场的空间各点时钟运行的快慢不同。要确定空间各点的物理事件的时间坐标，就需要在空间每一点都放置一个时钟，来确定每一点的时间，而全局性全局性的统一时间是不存在的的统一时间是不存在的。Liaoning University上述时间延缓的问题是与谱线的红向偏移密切相关的上述时间延缓的
27、问题是与谱线的红向偏移密切相关的 上述引力引起时间延缓的问题是与谱线的红向偏移密切相关的。如果有光线连续地从P2射向P1，从W3所在局部惯性系中观察，可见到光以速度c从P2 向P1进行。设在W3经过 秒的时间内从P2发出n个光波，由于从局部惯性看光是稳定传播，所以在 秒内达到P1点的光波也是n个。33Liaoning University 从P2点用W2测得光的频率2为 从P1处测得的光的频率则 或 )21(122122322cvncvnn11n)21(2212cv211221210cLiaoning University 可见，同束光的频率，在引力同束光的频率，在引力势高处（势高处（P1）要
28、比低处（）要比低处（P2）小些小些。如果由星球表面发出的光，则观测点愈远，测得频率愈小，也就是愈“红”。这个现象是由引力场中引起的谱谱线的红向偏移线的红向偏移。上面的引力场中时间延缓和谱线红移的结论，已由天文观测及地面实验所验证。详细讨论留在第五章。Liaoning University3.4 度规与引力势 在讨论引力势的几何表示之前，首先讨论引力场中的参照系与坐标系问题。在狭义相对论中，参照系由彼此间保持固定的距离的物体组成。在同一参照系中，各处的时间是统一的，为了表达方便，可用时空坐标系来代替参照系可用时空坐标系来代替参照系。但是，在广义相对论中，引力场的出现破坏了时空的对称性，使平直时空
29、变为弯曲时空。在引力场各处的时钟运行的快慢不同，物体之间的距离也不确定。Liaoning University 为了确定引力场中的空间位置，就必须在整个空间处处都用物体来标记，即由无限多个物体来组成空间参照系。为了记录时间，在这个系统中每处都放置一个时钟，而这些时钟的运行又可以是因地而异、随时变化。这样构成的坐标网格，好像是由弹性线编成的鱼网在水中飘荡，每个网孔的大小和方向随时变化。由于物质的存在，实际空间并不是均匀的，空间发生了“弯曲”：Liaoning University 由此可见，在弯曲的四维时空中，全局性的刚架和在弯曲的四维时空中，全局性的刚架和统一时间都是不存在的，参照系的概念只限
30、于局部统一时间都是不存在的，参照系的概念只限于局部。所谓局部参照系局部参照系就是按一定方式在时空中运动的观测者所携带的局部刚架和时钟。选定时空坐标系的作用仅是对物理事件的时空位置提供一种确定的表达，它完全不具有一个全局性参它完全不具有一个全局性参照系的含义照系的含义。而且时空坐标系不再是欧氏空间的笛时空坐标系不再是欧氏空间的笛卡尔直角坐标系，而是弯曲空间的曲线坐标系卡尔直角坐标系，而是弯曲空间的曲线坐标系，广义相对论所采用的时空坐标系正是这种曲线坐标系。Liaoning University 在引力场存在的时空中的某一区域内，建立一个任意的坐标系x系，又在内某一点P的邻域内总可以建立一个局部惯
31、性系X系。于是在P点的邻域内任何一点都由两种坐标，两种坐标间的关系为 0(=0,1,2,3,)xXXcT和0123(,)()Xfxx xxfx（3.4.1）2221 22232()()()sc TXXXXX （3.4.2）0103,2,111000010000100001闵可夫斯基(Minkowski)度规 Liaoning University也可用x系表示，由（3.4.1）式得：2S()()fXfxxfxxx（3.4.3）式中上下指标重复表示取0，1，2，3求和。将（3.4.3）代入(3.4.2)式得：2()Sgxxx（3.4.4）其中()ffgxgxx（3.4.5）如果在引力场中存在的区
32、域中的各点的 已经预先知道，则可由(3.4.4)式得出四维时空的线元平方不变量 。称为度规张量度规张量，它规定了测量距离的规则，定义了度规的空间称为黎曼（黎曼（Riemann）空间）空间。()gx2S()gxLiaoning Universityg)(xf)(xfgg 由(3.4.5)式可知，度规 由函数 确定。而 表示了X系与x系之间的关系。X系是世界点P的邻域受引力作用自由下落的箱内所设立的惯性系，所以 如何变化依赖于引力场的分布情况。可见，度规度规 与引力场的分与引力场的分布状况有着密切的联系。因此，布状况有着密切的联系。因此，度规度规 又称为爱因斯坦又称为爱因斯坦引力势。引力势。在牛顿
33、引力理论中，引力势是用一个标量 表示的，而在爱因斯坦理论中却由有十个分量的度规 来表示。这种情况类似于电磁势，在开始研究静电场势，标量势即库仑势已足够用，而后来电场、磁场总起来研究时，还需要用另外三个分量的矢量势，合起来要用四个分量的四维矢量势来代替库仑静电势。g)(xgLiaoning University 总之，存在引力场的空间为弯曲的黎曼空间，引力势可用黎曼空间的度规来表示。度规是黎曼几何学的最基本的几何量，它完全决定黎曼空间的特征。于是，引力场中的物理引力场中的物理问题便等价于弯曲时空的物理问题问题便等价于弯曲时空的物理问题。下一章我们将看到，在黎曼空间中可以把一切几何关系表示成与坐标
34、系无关的形式，这种表示方法就是黎曼空间的张量分析张量分析。按广义协变原理，任何物理规律的形式都应与坐标系的选择无关，所以要研究弯曲时空的物理问题，就需要掌握黎曼空间的张量分析黎曼空间的张量分析。Liaoning University思考题 简述狭义相对论与广义相对论的基本原理。什么是广义相对论的等效原理？强等效原理与弱等效原理有何区别？在牛顿力学中是否能够定义惯性参照系？什么是局部惯性系？引力与惯性力有何异同？弯曲时空是用什么几何量来描述的？什么是引力场的几何化？如何利用等效原理说明引力场中光线弯曲与谱线的红向偏移?狭义相对论和广义相对论中的参照系和坐标系有何异同？黎曼（Riemann）时空中的度规与闵可夫斯基(Minkowski)时空中的度规有何关系？
