1、社会保险精算原理第三章 医疗保险精算基础本章重点本章重点疾病发生次数分布规律每次医疗费用分布规律总成本的估计等23.1医疗保险精算的基本思想医疗保险精算的基本思想在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值。资金周转使用时间越长，实现的价值增值就越大。同时，等额的货币在不同时间上，由于受通货膨胀的影响，其实际价值也不同。因此转让货币使用权应得到与放弃这个使用机会时期长短相应的报酬，利息正是借入资本需要支付的使用代价，或者是出让资本使用权得到的报酬。利息的计算与累积函数的形式、利息的计息次数、投资时期长短等有关。33.2疾病发生次数的分布疾病发生次数的分布4二项分布泊松分布负二项分布-二项分布
2、Poisson-Poisson分布与泊松-二项分布混合泊松分布3.2.1二项分布二项分布5N重贝努力实验中成功的次数X所服从的分布为二项分布，具有如下的概率式：Px=k=，=0,1,2n 表示一次实验成功的概率,表示特定的k个单位成功、(n-k)个单位失败的概率，表示产生上述事件的方式数。nkknkknppC1)1(knkknppC)1(3.2.2泊松分布泊松分布6在对二项分布的论述中，我们实际上已多次遇到过泊松公布，特别是用它来逼近二项分布作近似计算，我们还会看到，这种计算的结果在多数情况下令人满意。我们通常将泊松分布定义为如下概率分布式 k=0,1,2 其中参数0!kekxpk3.2.2泊
3、松分布泊松分布7可以证明，泊松分布具有以下性质：在k=处，概率最大，当为整数时，在k=和k=-1处同时达到最大。泊松分布的期望和方差相等，E(x)=D(x)=。在分布拟合历史数据时，利用这一性质可以做预先判断。泊松分布具有可加性。3.2.3负二项分布负二项分布8同二项分布一样，负二项分布也产生于N重贝努力实验，假定独立进行的每次实验成功的概率为P，则恰好有r次实验成功时一共进行的实验次数x的分布为负二项分布。概率式为：，k=r,r+11111(1)rrkkp xkpCpp3.2.3负二项分布负二项分布9可以证明，负二次分布具有以下性质：P表示实际成功的概率。在医疗保险精算中，它表示保险期内平均
4、每个被保险人的住院次数。负二项分布的期望为E(x)=r(1-P)/P ，方差为D(x)=r(1-P)/P2。由于 PE(x)，这是负二项分布的一个重要性质。负二项分布是当参数服从 分布时的泊松分布的复合形式。3.2.4-二项分布二项分布10负二项分布是泊松分布的推广，它充分利用了 分布的“差异性”性质，很好地表达了风险非均匀的客观情况，即通过假设参数 具有 分布而改变泊松分布的等概率条件。二项分布描述的也是等概率的随机分布现象，基于相同的思想，假设二项分布的参数P服从分布，我们得到-二项分布。1)1(),(1)(1ppBpf3.2.5 Poisson-Poisson分布与泊松分布与泊松-二项分
5、布二项分布11假设保险期内投保人疾病发生的次数（X1）服从参数为1 的泊松分布，而在疾病发生后住院人数（X2）又服从参数为2的泊松分布，则投保期内因疾病发生而导致住院的人数（X）将服从于复合型的泊松分布。任意一个保险团体在保险期内最终住院人数为k的概率用式子表示为：上式即为Poisson-Poisson分布的概率式，它很好地解释了住院人数所服从的某一类型模型。12120()!iikieeiP xkik3.2.6混合泊松分布混合泊松分布12混合泊松分布针对的是事故发生强度存在个体差异的情形，与负二项分布、-二项分布不同的是，混合泊松分布个体事故概率服从于离散型的分布。我们称下式为M阶混合泊松分布
6、：11221,.,!iMmkMiiiP xkp xkp xkp xkek3.3每次医疗费用的分布每次医疗费用的分布13上节讨论了疾病发生次数的分布形式，它是确定总医疗费用支付的一个重要因素，另一个重要因素就是每次发生费用的分布。精算数学上将每次发生费用的分布称为损失分布（准确地，应为个体损失分布），它描述每次费用的发生变化规律，其特点是右偏态，带有一条长长的尾巴，这条长长的尾巴对保险公司的经营极为重要，它预示发生极大医疗费用支付的可能性。3.3.1几种常用的分布几种常用的分布14分布对数分布对数正态分布威布尔分布佩尔托分布3.3.2分布拟合分布拟合15分布拟合的主要问题是首先确定数据的变化服从
7、什么分布，再用样本对分布的参数进行估计，如果最终的模型通过统计检验的话，分布拟合的工作就算完成。判断数据的分布类型可以通过做频率分布图的方法，此外，还可以通过计算某些统计量的方法去判断数据是否属于对数正态或对数分布。在精算上常使用剩余期望函数判断数据的分布类型。3.4总成本估计总成本估计16把疾病发生次数分布和每次赔付分布结合起来，可以探讨医疗保险总赔付成本支出的分布规律，在精算上称为索赔模型。这里分两种情况来讨论索赔模型，一种是假定保单的数目固定不变的情形，另一种是假定保单数目为一随机变量的情形，前者称为个体模型，后者称为聚合模型。3.4.1索赔模型的数学基础索赔模型的数学基础17对于任何一
8、个投保人i，它的可能索赔用i表示，i服从某一损失分布，设投保人I在保险期内发生索赔的概率为P，如果引入某一离散变量I，假定当I取值为零时，投保人i在保险期内未发生索赔，当I=1时，投保人i在保险期内发生索赔。期望为E(I)0(1-P)+1P=P。如果赔付额为固定数额b，它仍为典型的两点分布，此时E(Xi)0(1-P)+bP=bP，即平均索赔额为bP。3.4.1索赔模型的数学基础索赔模型的数学基础18如果索赔额为随机变量，此时当1时发生的支付也为随机变量，i实际是两个随机变量和的整合，记为i。当1时，i与有相同的分布形式。期望的累次法可以帮助我们计算索赔随机变量的期望和方差：EE(X|Y)=E(
9、X)D(X)=ED(X|Y)+E(X|Y)3.4.2个体索赔模型个体索赔模型19在医疗保险中，一定时期内可能发生疾病赔付的次数N是一个随机变量，当固定为具体数值N时，所对应的总索赔模型就是个体索赔模型。假定保险公司某年度内拥有总数为N的保单，容易设想，保险公司所面临的可能总损失为N张保单可能损失之和，即S=X1+X+XN。当N张保单都为同一种类时，此时表示该类保单的总索赔。从而xi之间必然为同一形式的损失分布。3.4.2个体索赔模型个体索赔模型20当N张保单并非全为同一类保险的保单时,此时不妨设保险公司经管m种险种，每一险种拥有保单数为Ni(i=1，2m)，显然存在如下关系式：Ni+N2+Nm=N即所有m种保单的总和为N，记第i种保单索赔为Si(i=1，2m)，则保险公司一定时期内面临的总损失为：S=S1+S2+Sm3.4.3聚合索赔模型聚合索赔模型21从保险公司的经营过程来看，无论是就某一险种的保单而言，还是针对所有险种的保单，其数量N总是在变化的，固定为某一数量N的情形必定对应某一时间载面。将保单数N视为随机变量时对应的索赔模型称为聚合索赔模型。由于随机变量N的引入，它在某种程度上体现出保险经营动态的过程，从而更确切地模拟了现实情况。
