1、空间向量空间向量及其加减运算及其加减运算 用字母用字母 等或者等或者用有向线段用有向线段的起点与终点字母的起点与终点字母 表示表示ABba、定义：定义：既有大小又有方向的量叫向量既有大小又有方向的量叫向量 几何表示法：几何表示法：用有向线段表示；用有向线段表示；字母表示法：字母表示法：相等的向量：相等的向量：长度相等且方向相同长度相等且方向相同的向量的向量 ABCD 复习复习a2.平面向量的加减法与数乘运算平面向量的加减法与数乘运算（1）向量的加法：）向量的加法：平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则ba baba a 复习复习（2）向量的减法）向量的减法三角形法则三角形法则ba b
2、a3.平面向量的加法运算律平面向量的加法运算律)(cbacba ）（加法交换律：加法交换律：加法结合律：加法结合律：abba 复习复习nnAAAAAAAA143322101433221AAAAAAAAnnAA1OABCa b c ABa 00ABaaa平面向量平面向量概念概念加法加法减法减法运算运算运运算算律律定义定义 表示法表示法 相等向量相等向量减法减法:三角形法则三角形法则加法加法:三角形法则或三角形法则或平行四边形法则平行四边形法则空间向量的加法、减法运算空间向量的加法、减法运算空间向量空间向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量)()(cbacbaabba加法交换律加法交换律加法结合
3、律加法结合律ababab+OABbCOCOACAABOAOB空间向量的加减法空间向量的加减法abOABba 结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示们可用同一平面内的两条有向线段表示.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们量中有关结论仍适用于它们.平面向量平面向量概念概念加法加法减法减法运算运算运运算算律律定义定义 表示法表示法 相等向量相等向量减法减法:三角形法则三角形法则加法加法:三角形法则或三角形法则或平行四边形法则平行四边形法则空间向量的加
4、法、减法运算空间向量的加法、减法运算空间向量空间向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量)()(cbacbaabba加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律abba加法交换律加法交换律加法加法:三角形法则或三角形法则或平行四边形法则平行四边形法则减法减法:三角形法则三角形法则加法结合律加法结合律成立吗？成立吗？abba )(cbacba ）（1）加法交换律：）加法交换律：（2）加法结合律：）加法结合律：abca+b+c abca+b+c a+b b+c 空间向量的加法、减法运算空间向量的加法、减法运算（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾
5、向量的终点的向量即：向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：nnnAAAAAAAAAA114332211A2A3A4A1nAnA 推广推广（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：则它们的和为零向量即：011433221AAAAAAAAAAnnn1A2A3A4AnA1nA 推广推广对空间向量的加法、减法的说明对空间向量的加法、减法的说明 空间向量的运算就是平面向量运算的推广空间向量的运算就是平面向量运算的推广 两个向量相加的平行四边形法则在空间两个向量相加的平行四边形法则在空间 仍然成立仍然成立 空间向量的加法运算可以推广至若干个空间向
6、量的加法运算可以推广至若干个 向量相加向量相加 说明说明ABCDABCDa平行六面体平行六面体的六个面都是平的六个面都是平行四边形，每个行四边形，每个面的边叫做面的边叫做平行平行六面体的棱六面体的棱平行四边形平行四边形ABCD平移向量平移向量 a 到到 的轨迹所形成的几何体，叫做的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体平行六面体记记作作ABCD A B C D A B C D 平行六面体平行六面体化简结果的向量：化简结果的向量：列向量表达式，并标出列向量表达式，并标出，化简下，化简下已知平行六面体已知平行六面体DCBAABCD；BCAB ；AAADAB ABCDABCD例例 例题例题化简结果的向量
7、：化简结果的向量：列向量表达式，并标出列向量表达式，并标出，化简下，化简下已知平行六面体已知平行六面体例例DCBAABCD；BCAB 解：ABCDABCDBCAB AC 例题例题化简结果的向量：化简结果的向量：列向量表达式，并标出列向量表达式，并标出，化简下，化简下已知平行六面体已知平行六面体例例DCBAABCD 解：ABCDABCD；AAADABAAADABAAAC CCAC AC 例题例题化简结果的向量：化简结果的向量：列向量表达式，并标出列向量表达式，并标出，化简下，化简下已知平行六面体已知平行六面体例例DCBAABCD ABCDABCD；AAADAB 例题例题小结：小结：名称名称关键点
8、关键点空间向量空间向量空间中具有大小和方向的量空间中具有大小和方向的量空间向量的表示空间向量的表示零向量零向量单位向量单位向量模长为模长为1的向量的向量相反向量相反向量长度相等、方向相反的向量长度相等、方向相反的向量相等向量相等向量长度一样、方向一致的向量长度一样、方向一致的向量共线向量（平行向量）共线向量（平行向量）方向相同或相反的向量方向相同或相反的向量共面向量共面向量平行于同一个平面的向量平行于同一个平面的向量ABa、或有向线段、000、方向任意，记作：abba ()()abcabc ABMCGD)(21 )2()(21 )1(ACABAGBDBCAB 空间四边形空间四边形ABCD中中,
9、M、G分别是分别是BC、CD边的中点边的中点,化简：化简：练习练习ABMCGDAGMGBMAB 原式原式)1()(21 ACABMGBMAB (2)原式原式)(21 ACABMGBM MG MBMGBM 练习参考答案练习参考答案空间向量空间向量的数乘运算的数乘运算 1.回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b与非零向量a是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使b=a,称平面向量共线定理.2.必修必修平面向量平面向量，平面向量的一个重要定理，平面
10、向量的一个重要定理平面向量基本定理：如果平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量量a，有且只有一对实数有且只有一对实数1、2，使，使a1e12e2.其中不共线向量其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量叫做表示这一平面内所有向量的一组的一组基底基底结论：结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。1）空间任意两个向量都是共面向量。2）涉及空间任意两个向量问题，平2）涉及空间任意两个向量问题，平面向量中有关结论仍适用它们。面向量中有关结论仍适用它们。1）实数 与空间向量a的乘积 a
11、仍然是一个向量（1）当 时，a与向量a方向相同；（2）当 时，a与向量a方向相同；（3）当 时，a是零向量。例如例如:a3 a3 a2.2.空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算2.空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算满足分配律及结合律空间向量的数乘运算满足分配律及结合律()()()a babaaaaa 即即：（）FEDCBA961231P（）、（）、（）（）、（）、（）练习 练习 OaLAPaB如图：L为经过已知点且平行非零向量a的直线，对空间任意一点O，1 ，（）tROPOAta 2 ，（）tROPOAtAB 非零向量a叫做直线L的方向向量。（1）、（2）都称为空间直线的向
12、量表示式。即即：空空间间直直线线由由空空间间一一点点及及直直线线的的方方向向向向量量唯唯一一确确定定点点P在直线在直线L上上点点P在直线在直线L上上 问题；如图；已知空间四边形ABCD中，向量AB=a，AC=b，AD=c，若M为BC的中点，G为BCD的重心，试用a、b、c表示下列向量：（1）DM （2）AGAMCGDB1)-2abc（1)3abc（已知平行六面体已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的求满足下列各式的x的值的值.ABCDA1B1C1D111(3)ACABAD 解 11()()()AD ABAAABAAAD 12()ADABAA 12AC 111(3)ACABA
13、DxAC 2.x在正方体在正方体AC1中中,点点E是面是面AC 的中心的中心,若若 ，求实数，求实数x,y.AEAAxAByAD ABCDDCBAE共面向量共面向量:平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做叫做共共面向量面向量.OAaa 共面向量定理共面向量定理:如果两个向量如果两个向量 不共线不共线,则向量则向量P P与向量与向量 共面的充要条共面的充要条件是存在实数对件是存在实数对 使使ba,ba,yx,ybxaP 推论推论:空间一点空间一点P位于平面位于平面ABC内的充内的充要条件是存在有序实数对要条件是存在有序实数对x,y使使 OP=xAB+yAC或对空间任一点或对空间任一点O,
14、有有 OP=OA+xAB+yAClAPa 思考思考lAPa BOOAM GEFCBDO分析分析:证三点共线可证三点共线可尝试尝试用向量来分析用向量来分析.练习练习2:2:已知已知A A、B B、P P三点共线，三点共线，OO为直线为直线ABAB外一点外一点 ,且且 ，求，求 的值的值.OPxOAyOB xy 思考思考1二二.共面向量共面向量:1.1.共面向量共面向量:平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量叫做共面向量.OAaa注意：注意：空间任意两个空间任意两个向量是共面的向量是共面的，但空，但空间任意三个向量就不间任意三个向量就不一定共面的了。一定共面的了。AabBCPp O
15、AabBCPp 思考思考2OABCPlA A PBO得证得证.为什么为什么?类比平面向量的基本定理类比平面向量的基本定理,在空间中应有一个什么结论在空间中应有一个什么结论?NOCM1e 2e a OCOMON 1122t et e 2e 1e a c a b pAO然后证唯一性然后证唯一性/,/,/ABb BD a BCc 作作pOBBAOCODOE DCBxaybzc证明思路：先证存在证明思路：先证存在E推论推论注：注：空间任意三个不共面向量都可以构成空空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底间的一个基底.如：如：,abc 推论：推论：设点设点O、A、B、C是不共面的四点，则是不共面的
16、四点，则对空间任一点对空间任一点P，都存在唯一的有序实数对都存在唯一的有序实数对 x、y、z使OPxOAyOBzOC OABCP例例1例例2例例3答案答案练习练习例例1 1平行六面体中平行六面体中,点点MC=2=2AM,A1 1N=2=2ND,设设AB=a,AD=b,AA1 1=c,试用试用a,b,c表示表示MN.分析分析:要用要用a,b,c表示表示MN,只要结合图形只要结合图形,充充分运用空间向量加法分运用空间向量加法和数乘的运算律即可和数乘的运算律即可.ABCDA1B1D1C1MN解解:ABCDA1B1D1C1MN连连AN,则则MN=MA+ANMN=MA+ANMA=MA=AC=AC=(a+
17、b)1313AN=AD+DN=ADAN=AD+DN=ADNDND=（2 2 b+c)13=（a+b+c)13MN=MA+ANMN=MA+AN例例1 1平行六面体中平行六面体中,点点MC=2=2AM,A1 1N=2=2ND,设设AB=a,AD=b,AA1 1=c,试用试用a,b,c表示表示MN.练习练习 .空间四边形空间四边形OABCOABC中中,OA=,OA=a,OB,OB=b,OC,OC=c点点M M在在OAOA上上,且且OM=2MA,NOM=2MA,N为为BCBC的中点的中点,则则MN=().MN=().OABCMN(A)a b+c 122312(B)a+b+c 122312(C)a+b
18、c 122312(D)a+b c 122323例例3(1)答案答案(2)答案答案例例2(课本例课本例)如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD,从平从平面面AC外一点外一点O引向量引向量 ,求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.OEkOA OFkOBOGkOCOHkOD 例例2(课本例课本例)已知已知 ABCD，从平面从平面AC外一点外一点O引向量引向量 A,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求证：求证：四点四点E、F、G、H共共面；面；平面平面AC/平面平面EG.BCDOEFGH证明：证明：四边形四边形ABCD为为 ACABAD （）
19、EGOGOE kOCkOA ()k OCOA kAC（）代）代入入()k ABAD ()k OBOAODOA OFOEOHOE 所以所以 E、F、G、H共面。共面。EFEH 例例2 已知已知 ABCD，从平面从平面AC外一点外一点O引向量引向量 ,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求证：求证：四点四点E、F、G、H共共面；面；平面平面AC/平面平面EG。证明：证明：由面面平行判定定理的推论得：由面面平行判定定理的推论得：EFOFOE kOBkOA()k OBOA kAB 由知由知EGkAC/EGAC/EFAB/EGAC面面面面ABCDOEFGH1.对于空间任意一点对于空间任意一点
20、O，下列命题正确的是：，下列命题正确的是：(A)若若 ，则，则P、A、B共线共线(B)若若 ，则，则P是是AB的中点的中点(C)若若 ，则，则P、A、B不共线不共线(D)若若 ，则，则P、A、B共线共线OPOAt AB 3OPOAAB OPOAt AB OPOAAB 2.已知点已知点M在平面在平面ABC内，并且对空间任意一点内，并且对空间任意一点O，,则则x的值为的值为()1()1()0()3()3ABCDOMxOAOBOC11113333 1.下列下列说明正确的是：说明正确的是：(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线在平面内共线的向量在空间不一定共线(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线
21、在空间共线的向量在平面内不一定共线(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线在平面内共线的向量在空间一定不共线(D)在空间共线的向量在平面内一定共线在空间共线的向量在平面内一定共线2.下列说法正确的是：下列说法正确的是：(A)平面内的任意两个向量都共线平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三个向量都共面空间的任意三个向量都共面补充练习补充练习:已知空间四边形已知空间四边形OABC，对角线对角线OB、AC，M和和N分别是分别是OA、BC的中点的中点，点点G在在MN上上，且使且使MG=
22、2GN，试用基底试用基底 表示向量表示向量 ,OA OB OC OGCOABMNG解：在解：在OMG中，中，OGOMMG 1223OAMN 12()23OAONOM 111633OAOBOC 已知平行四边形已知平行四边形ABCD，从平面，从平面AC外一外一点点O引向量引向量 ，求证：，求证：(1)四点四点E、F、G、H共面；共面；(2)平面平面EG平面平面AC.OAkOE OBkOF OCkOG ODkOH HGFEODCBAABMCGD)(21 )2()(21 )1(ACABAGBDBCAB 空间四边形空间四边形ABCD中中,M、G分别是分别是BC、CD边的中点边的中点,化简：化简：ABMC
23、GD)(21 )1(BDBCABAGMGBMAB原式)1()(21 ACABMGBMAB(2)原式原式)(21 ACABMGBMMGMBMGBM 空间四边形空间四边形ABCD中中,M、G分分别是别是BC、CD边的中点边的中点,化简：化简：)(21 )2(ACABAG思考2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1111111(2)2(3)ADBDxACACABADxAC 1111(1)ABA DC CxAC 例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列
24、各式的x的值。ABCDA1B1C1D11111(1)ABA DC C 解解1111 1.ABB CC CACx 111111(2)2(3)ADBDxACACABADxAC 1111(1)ABA DC CxAC 例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D111(3)ACABAD 11()()()ADABAAABAAAD 12()ADABAA 12AC 111(3)ACABADxAC .2x向向量量的的平平行行平面向量平面向量概念概念加法加法减法减法数乘数乘运算运算运运算算律律定义定义 表示法表示法 相等向量相等向量减法减法:三角形法则三角形法则加法加法:三角形法则或三角形法则或平行四边形法则平行四边形法则空间向量空间向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量数乘数乘:ka,kka,k为正数为正数,负数负数,零零bkakbak)()()(cbacbaabba加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律数乘分配律数乘分配律8.小结小结abba加法交换律加法交换律bkakbak)(数乘分配律数乘分配律)()(cbacba加法结合律加法结合律类比思想类比思想 数形结合思想数形结合思想数乘数乘:ka,kka,k为正数为正数,负数负数,零零
