1、2022年12月16日1kcm建模方法建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动。例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动。缺点：模型粗糙，缺点：模型粗糙，没有没有考虑考虑人与车人与车、车与车轮车与车轮之间之间的相互影响。的相互影响。优点：模型简单；优点：模型简单；分析：分析：人与车人与车、车与车轮车与车轮、车轮与地面车轮与地面之间的运动存在耦合。之间的运动存在耦合。多自由度系统振动多自由度系统振动2022年12月16
2、日2k2c2m车车m人人k1c1建模方法建模方法2：车、人的质量分别考虑，并考虑各自车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。的弹性和阻尼。优点：模型较为精确，优点：模型较为精确，考虑考虑了了人与车人与车之间的耦合；之间的耦合；缺点：缺点：没有没有考虑考虑车与车轮车与车轮之间的相互影响。之间的相互影响。多自由度系统振动多自由度系统振动2022年12月16日3m人人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车车m轮轮m轮轮建模方法建模方法3：车、人、车轮的质量分别考车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。虑，并考虑各自的弹性和阻尼。优点：分别考虑了优点：分别考虑了人与车人与车、
3、车与车与车轮车轮之间的相互耦合，模之间的相互耦合，模型较为精确型较为精确.问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？多自由度系统振动多自由度系统振动2022年12月16日4多自由度系统振动多自由度系统振动2022年12月16日5多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年12月16日6 作用力方程作用力方程几个例子几个例子 例例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力。：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力。不计摩擦和其他形式的阻尼。不计摩擦和其他形式的阻尼。试建立系统的运动微分方程。试建立系统的运动微分
4、方程。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年12月16日7解：解：,1x2x21,mm的原点分别取在的原点分别取在 的静平衡位置。的静平衡位置。建立坐标：建立坐标：设某一瞬时：设某一瞬时：21mm、1x2x上分别有位移上分别有位移21xx 、加速度加速度受力分析：受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1P2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3x2m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2
5、022年12月16日8建立方程：建立方程：)()()()(2232122212121111tPxkxxkxmtPxxkxkxm 矩阵形式：矩阵形式：)()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm 坐标间的耦合项坐标间的耦合项 P1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1P2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3x2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年12月16日9例例2：转动运动：转动运动两圆盘两圆盘转动惯量转动惯量 21,II轴的三个段的扭转刚度轴的三个段的扭转刚度 321,kkk试建立系统的运动微分
6、方程试建立系统的运动微分方程。1k1I2I2k3k)(1tM)(2tM)(),(21tMtM外力矩外力矩 多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年12月16日10解：解：建立坐标：建立坐标：角位移角位移21,设某一瞬时：设某一瞬时：角加速度角加速度21,受力分析：受力分析：1k1I2I2k3k)(1tM)(2tM11k11 I)(1tM)(212k22 I)(2tM23k)(122k21多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年12月16日11建立方程：建立方程：)()()()(2232222
7、121211111tMkkItMkkI 矩阵形式：矩阵形式：)()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 坐标间的耦合项坐标间的耦合项 11k11 I)(1tM)(212k22 I)(2tM23k)(122k多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年12月16日12)()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm )()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同。如同在单自由度系统中所定义的，
8、在多自由度系统中如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)1k1I2I2k3k)(1tM)(2tM多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年12月16日13小结：小结：)()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm )()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 可统一表示为：可统一表示为：)(tPXKXM 例例1：例例2：作用力方程作用力方程位移向量位移向量加速
9、度向量加速度向量质量矩阵质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵激励力向量激励力向量多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程/作用力方程作用力方程若系统有若系统有 n 个自由度，则各项皆为个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量维矩阵或列向量 2022年12月16日14)(tPXKXM n 个自由度系统个自由度系统:多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程nnnjnnjnjmmmmmmmmm.122211111M)()()()(21tPtPtPtnPnnnjnnjnjkkkkkkkkk.122211111KnTnRxxx,.,
10、21Xnnnn1n质量矩阵第质量矩阵第 j 列列刚度矩阵第刚度矩阵第 j 列列n维广义坐标列向量维广义坐标列向量2022年12月16日15 刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵回顾：回顾：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程等效刚度：等效刚度：使系统使系统只只在选定的坐标上产生在选定的坐标上产生单位位移单位位移而而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。在这个坐标上的等效刚度。等效质量：等效质量：使系统使系统只只在选定的坐标上产生在选定的坐标上产生单位加速度单位加速度而需要在此坐标方向上施加的
11、力，叫做系而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量统在这个坐标上的等效质量。2022年12月16日16 刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵当当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定确定后，系统动力方程可完全确定M、K 该如何确定？该如何确定？)(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nRX先讨论先讨论 K加速度为零加速度为零0X)(tKPX 假设外力是以假设外力是以准静态方式准静态方式施加于系统施加于系统多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程准静态外力列向量准静态外力列向量静力平衡静力平衡2022年12月16日17)(tPKX
12、XM 作用力方程：作用力方程：nRX)(tPKX 假设作用于系统的是这样一组外力：假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第它们使系统只在第 j 个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移.即即：TTnjjjxxxxx0,.,0,1,0,.,0,.,.,111 X00100.)()()()(12221111121nnnjnnjnjnkkkkkkkkktPtPtPtP代入代入：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程njjjkkk212022年12月16日18 njjjnnnjnnjnjnk
13、kkkkkkkkkkktPtPtPt211222111112100100.)()()()(P所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵 K 的第的第 j 列列.ijk（i=1n）：在第在第 i 个坐标上施加的力个坐标上施加的力.多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年12月16日19 njjjnnnjnnjnjnkkkkkkkkkkkktPtPtPt211222111112100100.)()()()(P多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程第第j个坐标产个坐标产生单位位移
14、生单位位移刚度矩阵第刚度矩阵第j列列系统刚度矩系统刚度矩阵阵j=1n确定确定2022年12月16日20)(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nR X讨论讨论 M假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移.)(tPXM 00100.)()()()(12221111121nnnjnnjnjnmmmmmmmmmtPtPtPtP多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 假设作用于系统的是这样一组外力：假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第它们使系统只在第 j 个坐标上产生单位加
15、速度，而在其他各个坐标上不产生加速度个坐标上产生单位加速度，而在其他各个坐标上不产生加速度.njjjmmm212022年12月16日21njjjnnnjnnjnjnmmmmmmmmmmmmtPtPtPt211222111112100100.)()()()(P这组外力正是质量矩阵这组外力正是质量矩阵 M 的第的第 j 列列 ijm多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程第第j个坐标单个坐标单位加速度位加速度质量矩阵第质量矩阵第j列列系统质量矩系统质量矩阵阵j=1n确定确定2022年12月16日22 质量矩阵质量矩阵 M 中的元素中的元素mij 是使系统仅
16、在第是使系统仅在第 j 个坐标上产个坐标上产生单位加速度而相应于第生单位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力.mij、kij又分别称为又分别称为质量影响系数质量影响系数和和刚度影响系数刚度影响系数。根。根据它们的物理意义可以直接写出系统质量矩阵据它们的物理意义可以直接写出系统质量矩阵M和刚度矩和刚度矩阵阵K，从而建立作用力方程，这种方法称为，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法影响系数方法.多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 刚度矩阵刚度矩阵 K 中的元素中的元素 kij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标
17、上产个坐标上产生单位位移而相应于第生单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力.2022年12月16日23例：写出例：写出 M、K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令 T001 X多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程0221kkk使使m1产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力：2111kkk221kk 031k 保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m
18、1产生单位位移，产生单位位移，m2和和m3不动不动.在三个质量上施加力在三个质量上施加力能够使得能够使得001321xxxX系统刚度矩阵的第一列系统刚度矩阵的第一列2022年12月16日24例：写出例：写出 M、K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令 T001 X多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程刚度矩阵：刚度矩阵：?0?221kkkK使使m1产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力：2111kkk221kk 031k 保持保持m2不动所
19、需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m1产生单位位移，产生单位位移，m2和和m3不动不动.2022年12月16日25例：写出例：写出 M、K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程365322kkkkkk使使m2产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力：保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m2产生
20、单位位移，产生单位位移，m1和和m3不动不动.在三个质量上施加力在三个质量上施加力能够使得能够使得010321xxxX系统刚度矩阵的第二列系统刚度矩阵的第二列令令 T010 X212kk653222kkkkk332kk2022年12月16日26例：写出例：写出 M、K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程使使m2产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力：保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m
21、3不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m2产生单位位移，产生单位位移，m1和和m3不动不动.令令 T010 X212kk653222kkkkk332kk刚度矩阵：刚度矩阵：?0?365322221kkkkkkkkkK2022年12月16日27例：写出例：写出 M、K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程4330kkk使使m3产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力：保持保持m2不动所需施加的力：不动所需
22、施加的力：保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m3产生单位位移，产生单位位移，m1和和m2不动不动.在三个质量上施加力在三个质量上施加力能够使得能够使得100321xxxX系统刚度矩阵的第三列系统刚度矩阵的第三列令令 T100 X013k323kk4333kkk2022年12月16日28例：写出例：写出 M、K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程使使m3产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加
23、的力：保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m3产生单位位移，产生单位位移，m1和和m2不动不动令令 T100 X013k323kk4333kkk刚度矩阵：刚度矩阵：43336532222100kkkkkkkkkkkkK2022年12月16日29例：写出例：写出 M、K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令 T001 X 2111kkk221kk 031k 令令 T010 X212kk653222kkkkk332kk令令 T100
24、X013k323kk4333kkk刚度矩阵：刚度矩阵：43336532222100kkkkkkkkkkkkK多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年12月16日30只考虑动态只考虑动态 令令 T001 X 21m31mm1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程只使只使m1产生单位加速度，产生单位加速度，m2和和m3加速度为零加速度为零所需施加的力：所需施加的力：111amF 11 m1m11m所需施加的力：所需施加的力：0222amF03
25、33amF001m在三个质量上施加力在三个质量上施加力能够使得能够使得001321xxxX 系统质量矩阵的第一列系统质量矩阵的第一列m1产生单位加产生单位加速度的瞬时，速度的瞬时，m2和和m3尚没尚没有反应有反应2022年12月16日31只考虑动态只考虑动态 令令 T001 X 21m31mm1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程只使只使m1产生单位加速度，产生单位加速度，m2和和m3加速度为零加速度为零.所需施加的力：所需施加的力：111amF 11 m1m11m所需施加的力：所需施加
26、的力：0222amF0333amFm1产生单位加产生单位加速度的瞬时，速度的瞬时，m2和和m3尚没尚没有反应有反应.质量矩阵：质量矩阵：?0?0?1mM2022年12月16日32同理同理m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)?00?0?021mmM多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程令令 T010 X 2022年12月16日33同理同理m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)321000000mmmM多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程令令 T010
27、 X 令令 T100 X 2022年12月16日34令令 T001 X 111mm021m031m有：有：令令 T010 X 012 m222mm 032 m有：有：令令 T100 X 013 m023 m333mm 有：有：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)质量矩阵：质量矩阵：321000000mmmM多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年12月16日3543336532222100kkkkkkkkkkkkK321000000mmmM )()()(000000003213214333653222213213
28、21tPtPtPxxxkkkkkkkkkkkkxxxmmm 运动微分方程：运动微分方程：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)(tPKXXM 多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程外力外力列阵列阵矩阵形式：矩阵形式：2022年12月16日36例：例：21、求：求：以微小转角以微小转角为坐标，为坐标，写出微摆动的运动学方程写出微摆动的运动学方程.每杆质量每杆质量 m杆长度杆长度 l水平弹簧刚度水平弹簧刚度 k弹簧距离固定端弹簧距离固定端 a12kaO1O2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统
29、的动力学方程双刚体杆双刚体杆2022年12月16日37解：解：令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩110211k21k分别对两杆分别对两杆 O1、O2 求矩：求矩：21121kamglk221kak令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩011212k22k分别对两杆分别对两杆 O1、O2 求矩：求矩：22221kamglk212kak 0112aO1O2mgmg1k a12k22k1102aO1O2mgmg1k a11k21k多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年12月16日3821121kamglk221ka
30、k刚度矩阵：刚度矩阵：22221kamglk212kak 22222121kamglkakakamglK1102aO1O2mgmg1 ka11k21k0112aO1O2mgmg1 ka21k22k多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年12月16日39令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩11 02 11m2111131mlIm 021m令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩12m22m2222231mlIm 012 m01 12 质量矩阵：质量矩阵：22310031mlmlM21m11 02 aO1O2mgmgk
31、01 12 aO1O2mgmgk多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程11m21m12m22m2022年12月16日4022222121kamglkakakamglK运动学方程：运动学方程：22310031mlmlM0021213100312122222122kamglkakakamglmlml 12kaO1O2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年12月16日41小结：小结：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 刚度矩阵刚度矩阵 K 中的元素中的元素
32、 kij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生单位位移而相应于第位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。个坐标上所需施加的力。质量矩阵质量矩阵 M 中的元素中的元素 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生单位加速度而相应于第位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。个坐标上所需施加的力。ijm、ijmijk 又分别称为又分别称为质量影响系数质量影响系数和和刚度影响系数刚度影响系数。根据它们的物。根据它们的物理意义可以直接写出矩阵理意义可以直接写出矩阵 M 和和 K，从而建立作用力方程，这种，从而建立作用力方程，这种方法称为方法称为影响系数方
33、法。影响系数方法。刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵第第j个坐标产个坐标产生单位位移生单位位移刚度矩阵第刚度矩阵第j列列系统刚度矩系统刚度矩阵阵j=1n确定确定第第j个坐标单个坐标单位加速度位加速度质量矩阵第质量矩阵第j列列系统质量矩系统质量矩阵阵j=1n确定确定2022年12月16日42随堂测试：随堂测试：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 两个均匀刚性杆如图所示，具有相同长度但不两个均匀刚性杆如图所示，具有相同长度但不同质量，使用影响系数法求系统运动方程。同质量，使用影响系数法求系统运动方程。杆杆1、杆、杆2绕其固定点绕其固定点的惯性矩分别
34、为：的惯性矩分别为：3211lmJ 2222222487)4(12lmlmlmJ提示：提示：2022年12月16日44多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程解：解：使用影响系数法计算系统刚度阵使用影响系数法计算系统刚度阵（1）如图（如图（1）所示，令）所示，令 ，对杆，对杆1和杆和杆2分别需要施加弯矩分别需要施加弯矩 ，分别为：分别为：110211K21K211113394416Kkllk l221113394416Kkllk l 精品课件！精品课件！2022年12月16日47多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动
35、力学方程解：解：211113394416Kkllk l221113394416Kkllk l （2）如图（如图（2）所示，令）所示，令 ，对杆，对杆1和杆和杆2分别需要施加弯矩分别需要施加弯矩 ，分别为：分别为：102112K22K212113394416Kkllk l 222211123311914422164Kkllkllk lk l质量矩阵：质量矩阵：刚度矩阵：刚度矩阵：222121212141169169169169lklklklklkK2221487003lmlmM运动微分方程：运动微分方程：04116916916916948700321211112212221kkkkkllmlm
