1、 第第5章章 数字滤波概述数字滤波概述5.1 数字滤波器与模拟滤波器数字滤波器与模拟滤波器n一般来说，时域信号含有各种频率成分。所谓滤波器是一类系统，它能够使输入信号中的某些频率成分充分地衰减，同时保留那些需要的频率成分。n比如一个低通滤波器，它将使输入信号中高于某一频率（通常称这一频率为截止频率）的成分尽可能地衰减，而低于这一频率的成分不衰减或者衰减很少。被严重衰减的频率范围称为滤波器的阻带，而被保留的频率范围称为通带。一般情况下，滤波器是一类线性时不变系统。n根据处理的信号是模拟的还是数字的，滤波器可以分为模拟滤波器和数字滤波器。模拟滤波器要用硬件电路来实现，也就是用由模拟元件（比如电感、
2、电容等）组成的电路来完成滤波的功能。而数字滤波器将输入信号序列通过一定的运算后变换为输出信号序列，从而完成滤波功能。n因此，数字滤波器就是一个线性时不变的数字系统（离散系统）。所以，数字滤波器具有我们前面所讨论的LTI系统的所有性质；并且也是用数字信号处理的三种方式来实现，也即数字硬件电路实现、计算机编程软件方式实现以及DSP方式实现。5.2 5.2 两大类数字滤波器两大类数字滤波器n正如离散系统，数字滤波器也分为递归型和非递归型两大类。递归型的数字滤波器实际上叫做IIR数字滤波器，IIR是无限冲激响应(Infinite Impulse Response)的意思，就是说这类滤波器的h(n)是无
3、限长度的；而FIR数字滤波器属于非递归型的数字滤波器，FIR是有限冲激响应(Finite Impulse Response)的意思，就是说这类滤波器的h(n)是有限长度的。nh(n)是当输入信号为单位抽样信号(n)时离散系统的输出信号，而(n)只当n=0时为1，其它时刻均为0。如果滤波器是因果非递归型的，那末其输出只依赖于输入信号，因此如果在n=0时有输入，一般也就有输出h(0)，但是之后输入值就是0了，只是由于滤波器的延时单元的作用，才使得输出h(n)会持续一些时刻，但是终究会变为0，也即h(n)的长度是有限的。n如果滤波器是因果递归型的，那末其输出不仅依赖于输入信号，而且与输出信号有关，这
4、样，只要n=0时输入不为0，并且同时产生了不为0的输出，该输出值就会反馈到输入，即使之后外部的输入值均为0，也会产生输出值，并且输出还会不断地反馈到输入，因而也就不断产生输出，所以这种情况下输出序列h(n)就会无限长。n当然如果系统是稳定的，h(n)会逐渐趋于0，但是不会完全等于0。nIIR数字滤波器与FIR数字滤波器无论在特性方面还是在设计方法方面都很不相同，下面各章将对这两大类滤波器分别进行讨论。5.3 5.3 数字滤波器的设计步骤数字滤波器的设计步骤 n 设计一个数字滤波器，大致可分为三步。1.按照实际需要确定滤波器的性能要求，并且将这些性能要求以滤波器指标的形式表示出来。2用一个因果稳
5、定的系统函数去逼近这些指标。系统函数分为IIR和FIR两大类，因此，应该先确定采用哪种类型的滤波器，然后再按照这类滤波器的设计方法去设计系统函数H(z)。3.用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。要确定实现方式，选择合适的字长，以及针对滤波器类型选择适当的算法结构等等。n第一步本教材不讨论，也即我们是在给定滤波器性能指标的条件下去考虑数字滤波器的设计问题。第二步内容将在下面两章中分别对IIR滤波器和FIR滤波器进行讨论。第三步中，实现方式应该根据具体情况来确定，在这里不讨论；字长位数的选择一方面要了解字长效应产生的影响（第9章），另一方面要根据实现的方式以及实际要求和实际条件来确定；算法结构
6、的问题将在第8章中详细讨论。第第6章章 IIR数字滤波器的原理及设计数字滤波器的原理及设计6.1 6.1 概述概述 6.1.1 6.1.1 IIR IIR 数字滤波器的差分方程和系统函数数字滤波器的差分方程和系统函数n我们已经知道IIR数字滤波器是一类递归型的线性时不变因果系统，其差分方程可以写为：（6.1）MiNiiiinybinxany01)()()(n进行z变换，可得：n于是得到IIR数字滤波器的系统函数：(6.2)MiNiiiiizYzbzXzazY01)()()(NiiiMiiizbzazXzYzH101)()()(6.1.2 6.1.2 IIR IIR 数字滤波器的设计方法数字滤波
7、器的设计方法n 对(6.2)式的有理函数的分子、分母多项式进行因式分解，可以得到：(6.3)n其中ci 为零点而di为极点。H(z)的设计就是要确定系数、或者零极点、，以使滤波器满足给定的性能指标。一般有三种方法。NiiMiiNiiiiMiizdzcazbzazH1111010)1()1(1)(1.1.零极点位置累试法零极点位置累试法n IIR系统函数在单位圆内的极点处出现峰值、在零点处出现谷值,因此可以根据此特点来设置H(z)的零极点以达到简单的性能要求。所谓累试，就是当特性尚未达到要求时，通过多次改变零极点的位置来达到要求。当然这种方法只适用于简单的、对性能要求不高的滤波器的设计。2.2.
8、借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设计数字滤波器借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设计数字滤波器n 模拟滤波器的逼近和综合理论已经发展得相当成熟，产生了许多效率很高的设计方法，很多常用滤波器不仅有简单而严格的设计公式，而且设计参数已图表化，设计起来方便准确。n而数字滤波器就其滤波功能而言与模拟滤波器是相同的,因此，完全可以借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设计数字滤波器。在IIR数字滤波器的设计中，较多地采用了这种方法。3.3.用优化技术设计用优化技术设计n 系统函数H(z)的系数、或者零极点、等参数，可以采用最优化设计方法来确定。最优化设计法的第一步是要选择一种误差判别准则，用来计算误差和误
9、差梯度等。n第二步是最优化过程，这个过程的开始是赋予所设计的参数一组初值，以后就是一次次地改变这组参数，并一次次计算H(z)的特性与所要求的滤波器的特性之间的误差，当此误差达到最小值时，所得到的这组参数即为最优参数，设计过程也就到此完成。n这种方法能够精确地设计许多复杂的滤波器，但是往往计算很复杂，需要进行大量的迭代运算，故必须借助于计算机，因而优化设计又叫做IIR滤波器的计算机辅助设计(CAD)。n第一种方法的算法简单、设计粗糙，在这里不具体讨论了；第三种方法所涉及的内容很多，并且需要最优化理论作为基础，因此在本章中只能作简要介绍；本章将着重讨论用得最多的第二种方法。6.1.3 6.1.3
10、借助于模拟滤波器的理论和方法的设计原理借助于模拟滤波器的理论和方法的设计原理n利用模拟滤波器来设计数字滤波器，要先根据滤波器的性能指标设计出相应的模拟滤波器的系统函数Ha(s)，然后由Ha(s)经变换而得到所需要的数字滤波器的系统函数H(z)。常用的变换方法有冲激响应不变法和双线性变换法。6.2 6.2 模拟低通滤波特性的逼近模拟低通滤波特性的逼近n模拟滤波器的设计包括逼近和综合两大部分，其中逼近部分是与数字滤波器的设计有关的。本节要讨论的是，在已知模拟低通滤波器技术指标的情况下，如何设计其系统函数Ha(s)，使其逼近所要求的技术指标。n模拟系统的频率响应Ha(j)是冲激响应ha(t)的傅里叶
11、变换，Ha(j)的模表征系统的幅频特性，下面要讨论如何根据幅频特性指标来设计系统函数。n图6.1中用虚线画出的矩形表示一个理想的模拟低通滤波器的指标，是以平方幅度特性|Ha(j)|2来给出的。nc 是截止频率，当0c时，|Ha(j)|2=0，是阻带。图6.1中的实的曲线表示一个实际的模拟低通滤波器的平方幅度特性，我们的设计工作就是要用近似特性来尽可能地逼近理想特性。通常采用的典型逼近有Butterworth逼近、Chebyshev逼近和Cauer逼近（也叫椭圆逼近。6.2.1 6.2.1 ButterworthButterworth低通滤波特性的逼近低通滤波特性的逼近n 对于Butterwor
12、th滤波器有：（6.4）n满足此平方幅度特性的滤波器又叫做B型滤波器。这里N为正整数，为B型滤波器的阶次，为截止频率。|()|()HjaNc2211 6.2.1.1 6.2.1.1 B B型滤波特性型滤波特性 1.最平坦函数nB型滤波器的幅频特性是随增大而单调下降的。在=0附近以及很大时幅频特性都接近理想情况，而且在这两处曲线趋于平坦，因此B型特性又叫做最平坦特性。n2.3db带宽n由(6.4)式可知，当=c时，=，而n因此截止频率又叫做3db带宽或者半功率点。dbjHca3log10|)(|log102110210|()|Hja212 图图6.1 6.1 ButterworthButterw
13、orth低通滤波器的平方幅度特性低通滤波器的平方幅度特性 3.N的影响n在通带内，0(/c)1，故N越大，随增大而下降越快。|()|Hja2|()|Hja2n因此，N越大，B型滤波器的幅频特性越接近理想的矩形形状；而不同的N所对应的特性曲线都经过c 处的半功率点。离c越近，幅频特性与理想特性相差越大。6.2.1.2 6.2.1.2 由得到由得到Ha(s),BHa(s),B型滤波器的极点型滤波器的极点n由于Ha(s)是s的实系数有理函数，故有：，令s=j,则有：，而 (6.5)n由(6.4)式和(6.5)式有：n用s代替上式中的j:(6.6)HsHsaa*()()HjHjaa*()()|()|(
14、)()()()*HjHjHjHjHjaaaaa2HjHjaaNjjNcc()()()()111122)(1 1)()(2NjsaacsHsH 图图 6.2 6.2 阶次阶次N N对对B B型特性的影响型特性的影响n(6.6)式的极点为：p=0,1,2N-1 n 作为 1的2N次方根，p 均匀地分布在单位圆上，幅角间隔为/N；它们关于实轴对称，却没有一个在实轴上。显然，将 的模乘上，再将其按逆时针方向旋转，就得到sp。因此，sp均匀地分布在半径为的圆周上，其位置关于虚轴对称，却没有一个在虚轴上，这就是说，2N个极点sp在s平面的左、右两半平面各有N个。pcNcpjjs)2/(1)1(n 这2N个
15、极点是Ha(s)Ha(-s)的极点，考虑到系统函数Ha(s)的极点必须在左半平面系统才是稳定的，因而将左半s平面的N个极点sk（k=0,1,N-1)分给Ha(s)，这样，右半平面的N 个极点-sk就正好是Ha(s)的极点。因此有：(6.8)()()(110NNcasssssssHn这个式子中的常数 是为了使(6.5)式满足而加入的。这N个极点s0、s1、sN-1在s 平面的左半平面而且以共轭形式成对出现，当N为奇数时,有一个在实轴上 (为-)。cNc6.2.1.3 6.2.1.3 一般情况下的一般情况下的B B型低通滤波器型低通滤波器 图图 6.3 6.3 一般情况下低通滤波器的设计指标一般情
16、况下低通滤波器的设计指标n此时，应该将角频率 标称化，通常以1为基准频率，则标称化角频率为：=/1。于是通带边界的标称化角频率为 1=1，并且在通带有01，在过渡带和阻带则有 1。n以下为了方便起见，仍用不带撇的表示标称化的角频率。频率标称化后，B型滤波器的平方幅度特性仍如(6.2)式所示，只是式中的参数和N都需要由图6.3给出的指标来确定。n（6.4）式可以写成：(6.10)n当=1=1时，上式为：(6.11)n令 (6.12)n则由(6.11)式可得：)(1 1|)(|2212NNacjH21221)1(1/1)(AjHNca221)(BNcBA21211n当 时有：(6.13)n故 (6
17、.14)n由(6.14)式可求出N，再将其代入(6.12)式，即可求 得 。222222221 1|)(|ABjHNa22222/)11(BANc 6.2.2 6.2.2 Chebyshev Chebyshev 低通滤波特性的逼近低通滤波特性的逼近n Chebyshev滤波特性分为两个类型。Chebyshev型在通带是等波纹波动的，在过渡带和阻带为单调波形；Chebyshev型则在通带和过渡带为单调波形，而在阻带是等波纹波动的。这里讨论的是Chebyshev型低通滤波特性。n 现将低通滤波器的平方幅度特性写成一般形式：（6.15）n当f()=0，便有 ，达到最大值。而B型滤波器在带通内f()的
18、零点都集中于=0处，因而只在=0附近通带特性好。如果将通带内f()的零点分散开，则 将在通带内多个点上出现最大值，于是通带内的总体特性就会得到改善。|()|()Hjfa22111|)(|2jHa|()|Hjan Chebyshev响应就具有这样的特点，具有这种特性的滤波器又叫做C型滤波器。C型滤波器的平方幅度特性为：(6.16)n其中为标称化的角频率，基准频率为通带边界频率，即=1；N为滤波器阶数，它可以是0和正整数；是N 阶Chebyshev多项式,为一常数。|()|()HjCaN22211 CN()6.2.2.1 6.2.2.1 ChebyshevChebyshev多项式多项式 n 从(6
19、.16)式可知，C型滤波器的平方幅度特性主要由Chebyshev多项式CN()决定，因此，我们首先讨论CN()的特性。n 定义为：(6.17)CNNN()cos(cos)cosh(cosh)11011CN()n这里cosh(x)为双曲余弦函数:(6.18)1.关于n 在的情形，令 ，则 cos=,而cos(-)=-cos=-,故有：(6.20)cosh,coshln()xeexxxxx2112CN()01cos1cos()cos11n于是有：(6.23)()1()coscos()1()cossin()sin()coscos()cos()cos(cos)(coscos)(11111NNNNCNN
20、NNNNNCn(6.23)式虽然是对 时 的定义式推导出的，但可以证明同样对于 时的定义式也成立。因此有：(6.24)01CN()1CNNN2212111()cos(cos)|cosh(cosh)|2.关于分界点n(6.17)和(6.24)这两个分段表达式意味着 与 都在分段点|=1处连续。事实上，可以证明，对于 区间的表达式，有 ；而对于区间的表达式，也有 。又由于两段都满足 ，故在0 时的分界点=-1处也是连续的。CN()CN2()011)2cos()1(kNCNCNeeN()cosh(cosh)cosh11021100)()1()(NNNCC3.是一个多项式n 当 时，若令 ，则 。而
21、（6.25）(6.26)01cos1CNN()cos()sinsincoscos)1cos()(1NNNCNsinsincoscos)1cos()(1NNNCNn将(6.25)式和(6.26)式两边分别相加得 n于是可得到下面的递推公式：(6.27)n由于 (6.28)(6.29)CCNCNNN1122()()coscos()CCCNNN112()()()C001()cos C11()cos(cos)n于是由(6.27)式、(6.28)式、(6.29)式就可以得到N为任何非负整数时的 ，而且显然这些表达式都是多项式。下面列出了0N8时的Chebyshev多项式。N 0 1 1 2 CN()CN
22、()212 3 4 5 6 7 8 433881421620553324818164264112567753128251603218642n看出，的阶次N正好等于多项式的最高幂次，而最高次项的系数即为 ；并且当N为偶数时，多项式CN()只含的偶次方项，而当N为奇数时，CN()只含的奇次方项。n上述结果虽然是在 时推导出的，但是实际上，上表中的 的多项式表达式以及(6.27)的递推公式对于 1，由于 实际上是一指数函数，故不再有零点，而且|随|增大而单调上升，N越大上升越快。CN()CN()CN()5.关于CN(0)n 由余弦函数的性质可以得到：(6.31)为奇数为偶数N0N1)0(2NC 6.
23、2.2.2 6.2.2.2 C C型低通滤波器的平方幅度特性型低通滤波器的平方幅度特性n根据上面对Chebyshev多项式 的特性分析以及(6.16)式，可以得到C型低通滤波器的平方幅度特性。1.通带特性n 在通带即|1范围内，在1与 之间等波纹波动，波动的幅度为：(6.32)CN()|()|Hja2112 RW 1112n此幅度通常用通带内 的最小值的分贝损耗来表示，即：（6.33）nRWdb 是描写C型滤波器特性的一个参数，若RWdb=0.5(对应于=0.3493),我们就叫此滤波器为0.5db滤波器，余此类推。|()|Hja2)1(log1011log10210210dbRW2.边界特性
24、n由于 =1，因此在通带边界频率1=1处，无论N为何值，总有：（6.34）n当=0，由(6.16)式和(6.31)式可以得到：(6.35)CN()1222111)1(|)(|jHjHaa)(N1)(N11|)0(|22为奇数为偶数jHa3.过渡带和阻带特性以及3db带宽n当1，即在过渡带和阻带，随增大而单调下降，N越大下降越快。n3db带宽c 并不是C型滤波器的重要参数，它由N和决定，有：(6.36)|()|Hja2)/1(coshcosh11Nc。图图6.4 6.4 C C型低通滤波器的平方幅度特性型低通滤波器的平方幅度特性n 对于C型滤波器，这种滤波器正是将通带内f()的N 个零点分散开来
25、实现的，因此通带的总体特性优于B型滤波器。此外，对于同样的阶数N，C型滤波器的过渡带和阻带特性也优于B 型滤波器。fCN()()4和N的影响nC型滤波器的特性参数是 和N。增大 会使阻带衰减增大，从而改善阻带特性；但同时通带波动幅度增大，通带特性变坏。加大N可使阻带衰减增大，过渡带变陡；而N的大小只影响通带波动的快慢，并不影响通带波动的幅度，因此应该说不影响通带特性。图图 6.5 6.5 一个低通滤波器的指标一个低通滤波器的指标6.2.2.3 6.2.2.3 根据滤波器所要求的指标确定参数根据滤波器所要求的指标确定参数和和N Nn 下面举例来说明如何确定C型滤波器的参数 和N。n 例例6.16
26、.1 一个低通滤波器的指标如图6.5所示，为标称化的角频率。若用C型滤波特性逼近，求其参数 和N。n 解：由于通带波动大小只与有关，故应先根据通带要求确定。由 ,可得到 ,=0.48432。n再根据阻带要求确定N，由所给指标有：n故可得 (6.37)81.09.0112220 23457.22221.0)2(11|)2(|NaCjHCN22299422 05().CN().220 5n根据递推公式 n因 ,n故有 n已经看到，只要N=3，便可满足(6.37)式。因此所设计的C 型滤波器的平方幅度响应为CCCNNN112422()()()C021()C122()26274)2(,7124)2(3
27、2CC|()|.()HjCa232110 23457 6.2.2.4 6.2.2.4 C C型低通滤波器的极点和系统函数型低通滤波器的极点和系统函数n 由（6.3）式和(6.16)式可得：（6.38）n用s代替j，便有：(6.39)HjHjHjCjjaaaN()()|()|()22211)(11)()(22jsCsHsHNaan故 的极点是方程 的根。可以证明，这些根共有2N个，它们成复共轭对出现，而且关于虚轴对称，却没有一个在虚轴上。这2N个极点实际上分布在一个椭圆上，椭圆的短轴半径为a，长轴半径为b，这里：(6.41)n而 (6.42)()(sHsHaa1022 CjsN()abNNNN1
28、2121111(),()121n 将左半平面的N个极点分给 ，设这N个极点为 k=1,2,N (6.43)n则有 (6.44)(sHa,kkkjsNkbNkakk2)12(cos,2)12(sinn 由于 的最高次幂的系数为 ，因此(6.39)式中Ha(s)的分母多项式的最高次项的系数应为 ，于是有：(6.46)n 椭圆上的这2N个极点还可以由作图法确定，如图6.6所示，图中是N=3的情况。CN()21N21N)()(2)(2111NNasssssssH 图图6.6 6.6 C C型低通滤波器的极点分布型低通滤波器的极点分布n 例例6.2 6.2 求=0.04,N=4的C型低通滤波器的系统函数
29、。n解：a=(1/4-1/4)/2=(50.021/4-50.02-1/4)/21.142 b=(1/4+-1/4)/2=(50.021/4+50.02-1/4)/21.518n左 半 平 面 的 极 点 为：sk =k+j k，其中 ，k=1,2,3,4。02.500016.0/1104.0/1121Nkak2)12(sinNkbk2)12(cosn可 求 得 系 统 函 数 的 分 母 多 项 式 为：Q(s)=(s-s1)(s-s2)(s-s3)(s-s4)n=(s+0.437j1.4)(s+1.055j0.581)(s+1.055+j0.581)(s+0.437+j1.4)n =s4+
30、2.984s3+5.446s2+5.807s+3.121n该C型低通滤波器的系统函数为：121.3807.5446.5984.2125.3)(204.0)(2)(2343111sssssQsQsHNan我们看到，B型和C型滤波器的系统函数Ha(s)的分子都是常数，分母都是s 的多项式，这样的滤波器叫做全极点滤波器。就幅频特性而言，C型滤波器是最佳的全极点滤波器，当给定允许的通带和阻带的误差容限时，它有最短的过渡带。6.2.3 6.2.3 Cauer Cauer 低通滤波特性简介低通滤波特性简介n 由于全极点滤波器系统函数的零点即衰减极点在s=，因此，全极点滤波器的阻带特性不是很好并且其过渡带也
31、不会太陡；如果要求过渡带较陡较窄，那末全极点滤波器的阶次N就会较大。若是在阻带内有频率有限大的传输零点，并使其靠近通带，这样就会使过渡带的衰减特性变陡。Cauer滤波器就具有这样的特性，其平方幅度函数为：（6.47）n这里 为雅可比椭圆函数，N为滤波器阶次。此滤波器幅度特性主要由雅可比椭圆函数决定，故又叫椭圆（函数）滤波器。这种滤波器的系统函数的分子分母都是s的多项式，其一般形式为：|()|()HjJaN22211 JN()nN为偶数：nN为奇数：n由于分子也是s的多项式，因此Ha(s)在s平面的有限远处具有零点。nCauer 滤波器在通带和阻带都有等波纹幅度特性，如图6.7所示。01112/
32、122)()(bsbsbsasksHNNNNiia01112/)1(1220)()()(bsbsbsasasksHNNNNiia 图图 6.7 6.7 CauerCauer低通滤波器的平方幅度响应低通滤波器的平方幅度响应 6.2.4 6.2.4 三种滤波器的比较三种滤波器的比较n B型滤波器和C 型滤波器都是全极点滤波器，而cauer滤波器不是。这三种滤波器无论在滤波特性、设计方法以及稳定性方面都是不同的，总的来说，C型滤波器在各个方面都介于B型滤波器和Cauer滤波器之间。1.关于滤波器的幅度频率特性:Butterworth滤波器在整个频带内都是单调下降的；Chebyshev型滤波器在通带内
33、等波纹振动，在过渡带和阻带单调下降；Cauer滤波器除了过渡带外，在通带和阻带都等波纹振动。2.关于过渡带的陡度:Cauer滤波器最陡，Butterworth滤波器最差。因此，对于相同要求的过渡带特性，所需的滤波器阶次N，Cauer为最低，Butterworth为最高。3.关于设计的复杂性：B型滤波器最简单，Cauer滤波器最复杂。4关于滤波器频率特性对于参数变化的灵敏度：按照对滤波器幅频特性的要求来设计出的系统函数Ha(s)在实现时，各个系数是由电子元件的数值来产生的。而电子元件的精度是有限的，因此所产生的各个系数与所设计的Ha(s)的系数之间就会有误差，n于是所实现的滤波器的频率特性就会与
34、所设计的Ha(s)，继而与所要求的频率特性之间产生误差。在系数的误差范围相同的情况下，所引起的频率特性的变化越小，就意味着滤波器对于参数变化的灵敏度特性越好。关于灵敏度特性，Butterworth滤波器最好，Chebyshev滤波器次之，Cauer滤波器最差。6.2.5 6.2.5 滤波器图表法设计滤波器图表法设计n 模拟滤波器的理论和设计方法都已经相当成熟，并且有许多现成的图表可以利用，使设计工作非常方便。下面介绍两种与滤波特性的逼近有关的图表设计方法。6.2.5.1 6.2.5.1 用列线图求滤波器的阶数用列线图求滤波器的阶数N Nn 将幅频响应特性用衰减(db)来表示。（6.49）n假设
35、所要设计的低通滤波器的指标如图6.8 所示，表示通带所允许的最大衰减，表示阻带所要求的最小衰减，所设计的滤波器的衰减特性曲线不应落入图中阴影部分。()log|()|dbHja101102maxmin 图图 6.8 6.8 用衰减用衰减来表示的低通滤波器指标来表示的低通滤波器指标n不同类型的滤波器有各自的列线图，如B型响应列线图、C型响应列线图等，但它们的构造和使用都相同。图图 6.9 6.9 用列线图求滤波器的阶数用列线图求滤波器的阶数N N1 6.2.5.2 6.2.5.2 查表求得滤波器的系统函数查表求得滤波器的系统函数H Ha a(s)(s)n 求得所要求的滤波器的阶数N 后，只需查表就
36、可以得到它的系统函数。对于B型滤波器，系统函数Ha(s)的分母多项式为 (6.50)n(6.50)式中的系数是以3db带宽 为基准频率时的值，即此时 =1，因此Ha(s)的分子为1。0111)(bsbsbssQNNNccn 对于C型滤波器，根据不同的RWdb（或有多个不同的表格，根据所求得的N在相应的表格中可以查到Ha(S)的分母多项式Q(S)的各系数，Q(s)的表达式仍如(6.50)式所示。注意，在C型滤波器的情形，是以通带边界频率1为基准频率的，即1=1，而Ha(s)的分子则为 。112N 6.3 6.3 模拟滤波器的变换模拟滤波器的变换n上面介绍的逼近方法都是针对低通滤波特性的，本节介绍
37、由模拟低通滤波器到模拟高通滤波器以及由模拟低通滤波器到模拟带通滤波器的变换方法。n假设已经设计出了模拟低通滤波器的系统函数H(s)，我们将此低通滤波器叫做低通原型滤波器，并且仍用来表示其角频率。变换后的系统函数用F(p)来表示，而其角频率用来表示。n滤波器到滤波器的变换仅是作为自变量的频率或者复频率之间的变换，对于频率响应函数并无影响。也就是说，是在满足|H(j)|=|F(j)|的条件下进行的模拟频率之间的变换，而系统函数之间满足关系：(6.51)n其中g(p)为变换函数。)()()(pgssHpF 6.3.1 6.3.1 由模拟低通到模拟高通的变换由模拟低通到模拟高通的变换n变换函数：s=g
38、(p)=1/p (6.52)n对于标称化的角频率，有：=1/，原型低通滤波器与高通滤波器的通带边界频率的标称值都是1。n 例例6.36.3 一个高通滤波器的指标如图6.10所示，用B型特性来逼近，求其系统函数。n解：令f1为基准频率。高通滤波器：通带边界1=1，阻带边界2=f2/f1=3000/6000=1/2；n原型低通滤波器：通带边界1=1/1=1，阻带边界2=1/2=2。n根 据 B 型 特 性，有：|H(j 1)|2=|H(j 1)|2=1/1+(1/c)2N=0.82=0.64，因此有 (1/c)2N=(1/0.64)-1=0.5625 (6.53)n另有：=0.182=0.0324
39、，因此 22 N=(1/0.0 3 2 4)-1 /(1/c)2 N 29.9/0.562553.16 2N=ln53.16/ln2 5.73)/1(1/1)(22222NNcjH 图图6.10 6.10 一个模拟高通滤波器的指标一个模拟高通滤波器的指标 n取N=3，代入(6.53)式：（1/c）6=0.5625 c=1.1。nN=3、c=1.1的B型低通滤波器的系统函数：n将s0=jc ej/6=c ej2/3、s1=jc ej/2=c ej、s2=jc ej5/6=c ej4/3 代入上式：)()()(2103sssssssHc3223322)(ccccssssHn故可得到高通滤波器的系统
40、函数：32332233/1331.142.22.21331.1)/1(2)/1(2)/1()()(pppppppsHpFccccps6.3.2 6.3.2 由模拟低通到模拟带通的变换由模拟低通到模拟带通的变换n对于复频率有 (6.54)n对于频率有 (6.55)n这里为一正数，并且频率都是标称化值。pps11n由(6.55)式可以得到：，由于 ，因此无论是0、是正还是负，一个值总是对应两个值，这两个值可能绝对值不相等，但总是一正一负。图6.11是0时与的关系，看得出，0的区间与-7906,因此取N=4。)(1(log10)(1log102210210minzNzCjH79060016.0/99
41、999/)110()(2/12/1210/50zNCn例6.2已经得到了=0.04、N=4的C型低通滤波器的系统函数：n于是所设计的C型带通滤波器的系统函数为：121.3807.5446.5984.2125.3)(234sssssHn只需将=0.1543代入就可以算出各个系数。423222324241/1)(121.3)1()(807.5)1()(446.5)1(984.2)1(p)3.125()()(2ppppppppsHpFpppps6.4 6.4 冲激响应不变法冲激响应不变法n 本节和下一节所讨论的问题是，在已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)的情况下，如何求相应的数字滤波器的系统函数H(
42、z)。s是模拟复频率，Ha(s)也是模拟滤波器的冲激响应ha(t)的拉氏变换。6.4.1 6.4.1 冲激响应不变法的变换方法冲激响应不变法的变换方法n 模拟滤波器的系统函数通常可以表示为：(6.62)NkkMiiNkkkMiiiassssAsbsasH1100)()()(n而且一般都满足M0,r 1；当 0,r1。ssTjTjeeresTern(6.75)式既表示了数字角频率与模拟角频率之间的关系，也表示了z平面的幅角与s平面的虚部之间的关系。由(6.75)式还可以知道，s平面上 由-/Ts到/Ts这一条状区域映射到z平面上由-到的区域，即整个z平面；s平面上的水平线=-/Ts映射到z平面上
43、的射线=-，而当这条射线按逆时针方向旋转时，对应的s平面上的水平线就向上平移。n 上面所阐述的不仅是模拟域s平面与数字域z平面之间的映射关系，而且也是模拟滤波器的频率与用冲激响应不变法所得到的数字滤波器的频率之间的关系。s平面与z平面的映射关系保证了将稳定的模拟滤波器变换为稳定的数字滤波器。图图 6.14 6.14 模拟复频率模拟复频率 s s 与数字复频率与数字复频率 z z 之间的映射关系之间的映射关系 n 例例6.66.6 用冲激响应不变法设计一个三阶 Butteworth数字低通滤波器，抽样频率为fs=1.2 kHz,截止频率为=400 Hz。n解：此 数 字 滤 波 器 的 截 止
44、频 率：c =2 fc=2400=800 弧度/sn这也是模拟滤波器的截止频率，于是可以写出模拟滤波器的系统函数:n其中 ，n现在进行部分分式分解，令 (*2)()()(2103sssssssHcacjcjes)2321(3/20cjces1cjcjes)2321(3/42210210)()(1ssCssBssAssssssn可以得到：n根据(*1)式和(*2)式，再将A、B、C代入，便得到：232/32/3cjA21cB232/32/3cjC2102/)3/1(2/)3/1()(ssjssssjsHcccan上式中Ts=1/fs=1/1200（秒）。11111121021013/)3/1(1
45、3/213/)3/1()12/)3/1(112/)3/1()(zejzezejzejzezejTzHssssssTsTsTsTscTscTscs而6.5 6.5 双线性变换法双线性变换法 6.5.1 6.5.1 双线性变换关系的导出双线性变换关系的导出n模拟滤波器的系统函数 可以变换 为：n这里为了方便说明，已令M=N。NiiiMiiiasbsasH00)(NjjjNjjjasdscAsH101)(n由此式可以看出，模拟滤波器的基本单元是积分器 ，因此，只要设法用某种数字网络来代替此基本单元，就能够将模拟滤波器转变成相应的数字滤波器。n模拟滤波器基本单元的系统函数为：n则其冲激响应为：1sH
46、ssI()1 h tLHsttII11000()n设有一信号(t0）输入到该积分器系统，则其输出也即对的响应为：n设0t10，即右半平面 r1,即单位圆外 =0，即虚轴 r=1,即单位圆 0，即左半平面 r1,即单位圆内n因此，用双线性变换法，稳定的模拟滤波器导出的数字滤波器也必定是稳定的。但是，与冲激响应不变法不同的是，在双线性变换下，模拟滤波器的复频率s与相应的数字滤波器的复频率z之间的映射是一一对应的关系。图图 6.16 6.16 双线性变换法双线性变换法s s平面与平面与z z平面之间的映射关系平面之间的映射关系 6.5.3 6.5.3 频率预畸变频率预畸变 n 下面讨论s平面的虚轴与
47、z平面的单位圆的映射关系，也即模拟滤波器的角频率与相应的数字滤波器的角频率之间的关系。在(6.84)式中令 =0，便可得到：或 （6.85）221sTtg22tgTs 图图 6.17 6.17 与与之间的非线性关系之间的非线性关系n与的关系是非线性的，但是，s平面上的虚轴一一对应地映射到了z平面单位圆的一周之上，因此，采用双线性变换法，不存在频域混叠失真的问题。n由双线性变换所引起的模拟滤波器频率与数字频率之间的非线性关系，使得所得到的数字滤波器的相位频率特性产生失真；n但对于幅度频率特性，可以通过频率预畸变来校正。实际上，只要首先根据所要求的数字滤波器的各关键频率，按照(6.85)式转变成相
48、应的模拟频率，再根据这些频率指标来设计模拟滤波器，则最后转换成的数字滤波器的各关键频率就会正好映射到所要求的位置上。6.5.4 6.5.4 双线性变换法的特点双线性变换法的特点 1模拟滤波器经过双线性变换后，不存在频率特性的混叠失真，因而对模拟滤波器的频率响应函数Ha()无限带要求，而且能够直接用于设计低通、高通、带通、带阻等各种类型的数字滤波器。2与冲激响应不变法中模拟频率与数字频率之间的线性关系=Ts不同的是，双线性变换法中模拟滤波器的频率与所转换成的数字滤波器的频率之间是非线性关系，但是，如果事先进行频率预畸变，这种非线性关系不会使所设计的数字滤波器的幅频特性受到影响。3双线性变换方法比
49、较容易，不需要将模拟系统函数进行部分分式分解。n因此，双线性变换法是用得很普遍、并且很有效的一种方法；只是，由于频率的非线性关系会产生相频特性失真，所以若对数字滤波器的相位特性要求较严，则不宜采用这种变换方法。n 最后必须强调说明一下用双线性变换法来设计数字滤波器时各种频率之间的关系。我们在考虑一个数字滤波器的频域特性时，所采用的频率变量可以是数字频率，也可以是模拟频率。模拟角频率=2f，f是以赫兹(Hz)为单位的真正具有物理意义的频率变量。与的关系为=Ts，Ts为抽样周期。n数字滤波器的频率响应 =，是的周期函数，以2为周期；是的周期函数，周期为s=2/Ts。上述这些关系与数字滤波器的设计方
50、法无关。如果数字滤波器是用冲激响应不变法设计的，则模拟滤波器的频率变量也就是数字滤波器的模拟频率变量；如果数字滤波器是用双线性变换法来设计的，那末模拟滤波器的频率变量并不是数字滤波器的模拟频率变量。H ej()H ej()(sTjeH)(sTjeHn我们在6.5.2 节中所述的双线性变换法s平面与z平面的映射关系实际上是被变换的模拟滤波器的复频率s 与所得到的数字滤波器的复频率z之间的关系，(6.85)式中的也是此模拟滤波器的角频率，并不是数字滤波器的模拟角频率。为了便于区分，应该将(6.85)式中的模拟滤波器角频率用 来表示，即为：；而数字滤波器的数字角频率与其本身的模拟角频率之间仍然是上面
