1、第七章第七章 具有耦合电感的电路具有耦合电感的电路 7.1 互感互感 7.2 具有耦合电感电路的计算具有耦合电感电路的计算7.3 空心变压器空心变压器 7.4 理想变压器理想变压器 小结小结学学 习习 目目 标标 正确理解自感系数正确理解自感系数 、互感系数互感系数 和同名端的概念和同名端的概念深刻理解互感线圈串联的等效电感和互深刻理解互感线圈串联的等效电感和互感线圈并联的等效电感感线圈并联的等效电感 深刻理解和掌握空心变压器（即线性深刻理解和掌握空心变压器（即线性变压器）是利用磁耦合的一种器件的概变压器）是利用磁耦合的一种器件的概念。对于含空心变压器的电路念。对于含空心变压器的电路,可利用可
2、利用反射阻抗的概念反射阻抗的概念,通过作初、次级等效通过作初、次级等效电路的方法进行分析的计算电路的方法进行分析的计算深刻理解和掌握理想变压器具有深刻理解和掌握理想变压器具有3 3个重个重要特性要特性:变压、变流、变阻抗。变压、变流、变阻抗。7.1 互感互感 在第1章中讨论的电感元件中的磁通链和感应电压都是由本电感线圈电流产生的。当在载流线圈的近侧，放置另一线当在载流线圈的近侧，放置另一线圈时，载流线圈中电流所产生的磁通（自感磁通）将有一部圈时，载流线圈中电流所产生的磁通（自感磁通）将有一部分穿过另一个线圈。对另一个线圈来说，这部分磁通不是由分穿过另一个线圈。对另一个线圈来说，这部分磁通不是由
3、它本身电流引起的，而是由其他线圈中电流产生的，故称为它本身电流引起的，而是由其他线圈中电流产生的，故称为互感磁通互感磁通。与它对应的磁通链称为互感磁通链。在这种情况下，我们说这两个线圈间有磁耦合。图7.1(a)所示为两个相邻放置的线圈1和2，它们的匝数分别为N1和N2。自感磁链与自感磁通、互感磁链与互感磁通之间有如下关系：21221121122222211111,NNNN(71)仿照自感系数定义，我们定义互感系数为12i1N1N22111(a)12i2N1N22212(b)图7.1 两个线圈的互感 7.1.1 两个耦合电感线圈的互感两个耦合电感线圈的互感 互感的大小反映一个线圈的电流在另一个线
4、圈中产生磁链的互感的大小反映一个线圈的电流在另一个线圈中产生磁链的能力。互感的单位与自感相同，也是亨利能力。互感的单位与自感相同，也是亨利(H)。1212121212iMiM(72)可以证明 MMM2112(73)2211122121LLMk(74)耦合系数耦合系数k总是小于总是小于1的的。k值的大小取决于两个线圈的相对位置及磁介质的性质。如果两个线圈紧密地缠绕在一起，如图7.2(a)所示，则k值就接近于1，即两线圈全耦合；若两线圈相距较7.1.2 两个耦合电感线圈的耦合系数两个耦合电感线圈的耦合系数只有部分磁通相互交链 远，或线圈的轴线相互垂直放置，如图7.2(b)所示，则k值就很小，甚至可
5、能接近于零，即两线圈无耦合。(a)(b)图7.2 耦合系数k与线圈相对位置的关系 3.互感互感 电压电压 如果选择互感电压的参考方向与互感磁通的参考方向符合如果选择互感电压的参考方向与互感磁通的参考方向符合右手螺旋法则，则根据电磁感应定律，右手螺旋法则，则根据电磁感应定律，结合式(72)，有dtdiMdtdudtdiMdtdu2121212121(75)当线圈中的电流为正弦交流时，如 2.2.12.1.1.21.21211212211)2sin()2sin(cossin,sinIjXIMjUIjXIMjUtMIutMItMIdtdiMutIitIiMMmmmmm 则(76)7.1.3 互感线圈
6、的同名端及伏安关系互感线圈的同名端及伏安关系 12i1u212111(a)ABCD12i1u212111(b)ABCD图7.3 互感电压的方向与线圈绕向的关系 为了表示线圈的相对绕向以确定互感电压的极性，常采用标记同名端的方法。1.同各端的标记原则同各端的标记原则 互感线圈的同名端是这样规定的：如果两个互感线圈的电流互感线圈的同名端是这样规定的：如果两个互感线圈的电流i1和和i2所产生的磁通是相互增强的，那么，两电流同时流入所产生的磁通是相互增强的，那么，两电流同时流入(或流或流 出出)的端钮就是同名端；如果磁通相互削弱，则两电流同时流入的端钮就是同名端；如果磁通相互削弱，则两电流同时流入(或
7、或 流出流出)的端钮就是异名端。同名端用标记的端钮就是异名端。同名端用标记“”、“*”或或“”标出，标出，另另 一端则无须再标。一端则无须再标。根据上述标记原则可以判断出图7.3所示两组耦合 线圈的同名端。图7.4中标出了几种不同相对位置和绕向的互感线圈的同名端。同名端只取决于两线圈的实际绕向和相对位置。A(a)B*CD*1234*56*(b)图7.4 几种互感线圈的同名端 同名端总是成对出现的，如是有两个以上的线圈彼此间都存在磁耦合时，同名端应一对一对地加以标记，每一对须用不同的符号标出，如图7.4(b)所示。2.同名端的测定同名端的测定 对于难以知道实际绕向的两线圈，可以采用实验的方法来测
8、定同名端。RSUSAiL1CL2DBmV图7.5 测定同名端的实验电路 3 伏安关系及相量形式伏安关系及相量形式 同名端确定后，互感电压的极性就可以由电流对同名端的方向来确定，即互感电压的极性与产生它的变化电流的参考方向对同名端是一致的。i1u12i2M(a)ABCDi1u12i2M(b)ABCD 图7.6 图7.3的互感线圈的电路符号 在互感电路中，线圈端电压是自感电压与互感电压的代数和，即 dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu1222211 1(77)例例7.1 写出图7.7(a)、(b)所示互感线圈端电压u1和u2的表达式。1.2.22.2.1.11.IMjILjUIMjILjU
9、(78)i1u1L1u2L2i2M(a)i1u1L1u2L2i2M(b)图7.7 例7.1电路图 解解 对于图(a),有 dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu12222111 例例7.2 在图7.8(a)所示电路中，已知两线圈的互感M=1H，电流源i1(t)的波形如图7.8(b)所示，试求开路电压uCD的波形。对于图(b)，同样可得dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu12222111i1(t)L1L2M(a)ABDCi1/A(b)t/s21010uCD /V(c)t/s2101010图7.8 例7.2图 解解 由于L2线圈开路，其电流为零，因而L2上自感电压为零，L2上仅有电流
10、i1产生的互感电压。根据i1的参考方向和同名端位置，则有dtdiMuCD1由图7.8(b)可知：0t1s 时，i1=10 tA，则 1t2s 时，i1=(10 t+20)A t2s时，i1=0,则 开路电压uCD的波形如图7.8(c)所示。VdttdMuCD10)10(VdttdMuCD10)2010(0CDu作业：作业：P（239240）页）页 7.1 7.2 7.2 具有耦合电感电路的计算具有耦合电感电路的计算 1 耦合电感的串联耦合电感的串联 两个具有互感的线圈串联时有两种接法两个具有互感的线圈串联时有两种接法顺接和反接。顺接和反接。（1）互感线圈的顺接）互感线圈的顺接 图7.11(a)
11、所示电路为互感线圈的顺向串联，即异名端相连互感线圈的顺向串联，即异名端相连。在图示电压、电流参考方向下，根据KVL可得线圈两端的总电 压为iM(a)u1u2uL1L2iM(b)u1u2uL1L2 图7.11 互感线圈的串联 7.2.1 耦合电感的串联与并联耦合电感的串联与并联 称为顺向串联的等效电感。故图7.11(a)所示电路可以用一个等效电感Ls来替代。（2）耦合电感的反接）耦合电感的反接 图7.11(b)所示电路为互感线圈的反向串联，即同名端相连互感线圈的反向串联，即同名端相连。串联电路的总电压为 MLLLILjIMLLjIMjILjIMjILjUUUSS2)2(21.21.2.12.1.
12、(79)式中.21.2.12.1.)2(ILjIMLLjIMjILjIMjILjUUUfMLLLS221 其中Lf称为反向串联的等效电感。即(710)比较式(79)和式(710)，可以看出LsLf，LsLf，当外当外加相同正弦电压时，顺向串联时的电流小于反向串联时的电流。加相同正弦电压时，顺向串联时的电流小于反向串联时的电流。根据Ls和Lf可以求出两线圈的互感M为 4fsLLM(711)例例7.3 将两个线圈串联接到50Hz、60V的正弦电源上，顺向串 联时的电流为2A，功率为96W，反向串联时的电流为2.4A，求互 感 M。解解 顺向串联时，可用等效电阻R=R1+R2和等效电感 Ls=L1+
13、L2+2M相串联的电路模型来表示。根据已知条件，得1824)260()(24296222222RIULIPRsss057.050218sL 反向串联时，线圈电阻不变，由已知条件可求出反向串联时的等效电感mLLMLRIULfsfff75.84022.0057.04022.05027724)4.260()(2222所以得 2 耦合电感的并联耦合电感的并联 耦合电感的并联也有两种接法，一种是两个线圈的同名端相耦合电感的并联也有两种接法，一种是两个线圈的同名端相连，称为同侧并联连，称为同侧并联，如图7.12(a)所示；另一种是两个线圈的异名另一种是两个线圈的异名端相连，称为异侧并联端相连，称为异侧并联
14、，如图7.12(b)所示。当两线圈同侧并联时，在图7.12(a)所示的电压、电流参考方向下，由KVL有2.1.1.2.2.2.1.1.IIIIMjILjUIMjILjUL2M(a)I2L1I1UIL2M(b)I2L1I1UI图7.12 互感线圈的并联 根据上述电压、电流关系，按照等效的概念，图7.12(a)所示具有互感的电路就可以用图7.13(a)所示无互感的电路来等效，这种处理互感电路的方法称为互感消去法互感消去法。图7.13(a)称为图7.12(a)的去耦等效电路去耦等效电路。由图7.13(a)可以直接求出两个互感线圈同侧并联时的等效电感为 由电流方程可得 ,将其分别代入电 压方程中，则有
15、 2.1.1.2.,IIIIII.2.22.2.2.1.11.1.1.)()()()(IMjIMLjIIMjILjUIMjIMLjIIMjILjU(712)MLLMLLL22同理可以推出互感线圈异侧并联的等效电感为 (713)MLLMLLL22(a)UIL1 ML2 MMI1I2(b)UIL1 ML2 MI1I2M其异侧并联的去耦等效电路如图7.13(b)所示。图7.13 并联互感线圈的去耦等效电路 互感消去法不但可以用于互感并联电路，也可以对两个互感互感消去法不但可以用于互感并联电路，也可以对两个互感线圈只有一端相连的电路进行互感消去。具有互感的两个线圈仅线圈只有一端相连的电路进行互感消去。
16、具有互感的两个线圈仅一端相连时，同样有同名端相连和异名端相连两种连接方式一端相连时，同样有同名端相连和异名端相连两种连接方式，如图7.14(a),(b)所示。1M(a)L1L223I1I21M(b)L1L223I2I11(c)L1 M23I1ML2 MI21(d)L1 M23I2L2 MM图7.14 一端相连的互感线圈及去耦等效电路 图7.14(a)为同名端相连的情况，在图示参考方向下，可列出其端钮间的电压方程为 1.2.2.232.1.113.IMjILjUIMjILjU(714)由式(715)可得如图7.14(c)所示的去耦等效电路。同理，两互感线圈异名端相连可等效为如图7.14(d)所示
17、的去耦等效电路。例例7.4 在图7.15所示的互感电路中，ab端加10V的正弦电压，已知电路的参数为R1=R2=3，L1=L2=4,M=2。求 cd端的开路电压。解解 当cd端开路时，线圈2中无电流，因此，在线圈1中没有互感电压。以ab端电压为参考，电压 利用电流 的关系式可将式(514)变换为 2.1.III.2.223.1.113.)()(IMjIMLjUIMjIMLjU(715)VUoab0/10.AjLjRUIooab1.53/2430/101.1.由于线圈2中没有电流，因而L2上无自感电压。但L1上有电流，因此线圈2中有互感电压，根据电流对同名端的方向可知，cd端的电压aI1R2cb
18、dUabL2L1R1MUcd 图7.15 例7.4图VjUIMjUoooabcd3.10/4.13109.36/4101.53/2.1.例例7.5 图7.16(a)所示具有互感的正弦电路中，已知XL1=10,XL2=20,XC=5，耦合线圈互感抗XM=10，电源电压 S=20/0 V,RL=30,求电流 İ2。M(a)L1L2I1CI2RLUS(b)L1 MI1CI2RLUSML2 M(c)I1I230 USj10 j20 j30 j5 图7.16 例7.5图 解解 利用互感消去法，得去耦等效电路如图7.16(b)所示，其相量模型如图7.16(c)所示。利用阻抗串、并联等效变换，求得电流作业：
19、作业：P240 页页 7.4 7.5 oSIjjjjjIjjjjjjjjjUI45/2)3030()510(510124)3030()510()3030()510(201.2.1.应用阻抗并联分流关系求得电流 7.3 空心变压器空心变压器 变压器是电子技术中经常用到的器件，它是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的一种器件。变压器可以用铁芯也可以不用铁芯（空心变压器）。变压器可以用铁芯也可以不用铁芯（空心变压器）。空心变压器是由两个绕在非铁磁材料制成的心子上并且具空心变压器是由两个绕在非铁磁材料制成的心子上并且具有互感的线圈组成的有互感的线圈组成的。空心变压器在通信工程和测量仪器
20、中得到广泛应用。1.初次级回路电压方程及其电流初次级回路电压方程及其电流 变压器，这种变压器的电磁特性是线性的。图7.21为空心变压器的电路模型。根据图示电压、电流的参 考方向以及标注的同名端，可列出初、次级回路的KVL方程如下：AL1CL2MBDR1R2ZL=RLj XLU1I1I2 图7.21 空心变压器电路 0)()(2.221.1.2.1.11IjXRLjRIMjUIMjILjRLL 令Z11=R+jL1,为初级回路自阻抗；Z22=R2+jL2+RL+jXL=R22+jX22，为次级回路自阻抗。ZM=jM=jXM，为初、次级回路间的互阻抗。则有02.221.12.1.11IZIjXUI
21、jXIZMM(7 17)(716)由式(717)可得221.2.ZIMjI(718)将式(718)代入式(7 16)中得 111.122211.11.)(ZZUZMZUI(719)2.反射阻抗、反射电阻、反射电抗反射阻抗、反射电阻、反射电抗11222222221)()(jXRjXRMZMZ(720)Z1称为次级回路在初级回路中的反射阻抗。整理式(7 20)可得 2222222222122222222221)()(XXRMXRXRMR(721)(722)式中,R1、X1分别为反射电阻和反射电抗。分别为反射电阻和反射电抗。由式(721)知,R10恒成立。可以证明,R1吸收的有功功率等于次级回路的有
22、功功率。反射电阻的功率PR1=I21R1,由式(718)可得次级电流的有效值为 3.初次级等效电路初次级等效电路 利用反射阻抗的概念,根据式(718)、(719)可以得到空心变压 器的初、次级等效电路,如图7.22所示。注意图中jXMİ1的极性要根 据初级电流参考方向和同名端的位置来确定。22222212XRMII次级回路的功率为 11212122222222222222)()(RLPRIIRXRMRRIPZ11U1I1Z1Z22I1I2jXM 图7.22 空心变压器初、次级等效电路 例例7.6 空心变压器电路如图7.23（a）所示,已知L1=0.6H,R1=10,L2=0.4H,R2=10,
23、M=0.4H,RL=30,电压源电压u1=100 sin100tV。（1）用初、次级等效电路求电流İ1和İ2;（2）用戴维南定理求 İ2。解解（1）根据已知参数得初、次级回路的自阻抗为 240404.0100)3010()(60106.01001022221111jjLjRRZjjLjRZL 反射阻抗Z1为 202045/2204040)4.0100()(22221jjZMZo 作初级等效电路如图7.23（b）所示。由图（b）得L1L2MR1R2RLU1I1I2(a)Z11Z1U1I1(b)Z22I1I2(c)j M 图7.23 例7.6图 ooojjZZUI1.53/21.53/500/10
24、020206010100111.11.作初级等效电路如图7.23（b）所示。由图（b）得oooojjZIMjI1.8/414.145/2409.36/8040401.53/24.0100221.2.（2）用戴维南定理求解。先求RL开路时的电压 ,如图7.24（a）所示。因 İ2=0,故.ocUVjjjIMjUjLjRUZUIoooco601090/400060100/1004.010060100/10010.11.111.110.再在图7.24（b）所示的电路中求C、D两点间的输入阻抗Zi2。利用反射阻抗的概念,将原来的次级当做初级,原来的初级当做次级,参照式(720)得初级回路对次级回路的反
25、射阻抗为60101000700601016004010601016006010)4.0100()(222222221122jjjjZLjRZZZjjZMZi则 注意:Z22是不包括负载电阻RL在内的次级回路自阻抗。L1L2MR1R2U1I10(a)CDUocL1L2MR1R2(b)CDZi2RLZi2Uoc(c)I2CD 图7.24 例7.6电路图 这样就得到图7.24（c）所示的戴维南等效电路,接上RL可求次级电流İ2为oooooLiocjjjjRZUI1.8/414.11.98/4.282890/4000280040090/40003060101000700601090/40002.2.作
26、业：作业：P241页页 7.8 7.97.4 理想变压器理想变压器 理想变压器是一种特殊的无损耗、全耦合变压器。它作为实理想变压器是一种特殊的无损耗、全耦合变压器。它作为实际变压际变压 器的理想化模型器的理想化模型,是对互感元件的一种理想化抽象是对互感元件的一种理想化抽象,它满足它满足以下三个条件以下三个条件:（1）耦合系数）耦合系数k=1,即无漏磁通。即无漏磁通。（2）自感系数）自感系数L1、L2无穷大且无穷大且L1/L2等于常数。等于常数。（3）无损耗）无损耗,即不消耗能量即不消耗能量,也不储存能量。也不储存能量。u2u1i1i2n1 图7.28 理想变压器 1 理想变压器的变压作用理想变
27、压器的变压作用 图7.29所示为一铁芯变压器的示意图。N1、N2分别为初、次级线圈1和2的匝数。由于铁芯的导磁率很高,一般可认为磁通全部集中在铁芯中,并与全部线匝交链。若铁图7.29铁芯变压器 芯磁通为,则根据电磁感应定律,有nNNuudtdNudtdNu21212211所以得理想变压器的变压关系式为u1N1N2i2u2i1 图7.29 铁芯变压器(723)式中n称为变比称为变比,它等于初级线圈与次级线圈的匝数比它等于初级线圈与次级线圈的匝数比,是一个常是一个常数。数。2 理想变压器的变流作用理想变压器的变流作用 考虑理想变压器是考虑理想变压器是L1、L2无穷大无穷大,且且L1/L2为常数为常
28、数,k=1的无损耗的无损耗互感线圈互感线圈,则由互感线圈模型如图7.30所示,可得端电压相量式为 2.2.21.2.1.1UILjIMjUIMjILj (724)(725)因为k=1,即 21LLM,则 2.2.21.211.2.211.1UILjILLjUILLjILj (726)(727)由式(727)得2.121.1112)(UILLjILjLLnLLIIILLLjUInLLUU1122.1.2.121.11.21.2.1将式(726)与上式联立求得 由式(726)可得 由于L1,因而 式(729)为理想变压器的变流关系式。理想变压器可以看成是一种极限情况下的互感线圈理想变压器可以看成是
29、一种极限情况下的互感线圈,这一抽这一抽 象象,使元件性质发生了质的变化。理想变压器不是动态元件使元件性质发生了质的变化。理想变压器不是动态元件,它既它既 不储能不储能,也不耗能也不耗能,仅起到一个变换参数的作用。它吸收的瞬时功仅起到一个变换参数的作用。它吸收的瞬时功 率恒等于零率恒等于零。即(729)(728)此外此外,在进行变压、变流关系计算时在进行变压、变流关系计算时,要根据理想变压器符号中要根据理想变压器符号中的同名端来确定变压、变流关系式中的正、负号。原则是的同名端来确定变压、变流关系式中的正、负号。原则是:（1）两端口电压的极性对同名端一致的）两端口电压的极性对同名端一致的,则关系式
30、中冠正号则关系式中冠正号,否否则冠负号；则冠负号；（2）两端口电流的方向对同名端相反的）两端口电流的方向对同名端相反的,则关系式中冠正号则关系式中冠正号,否否则冠负号。则冠负号。根据上述原则,图7.31所示理想变压器的初级与次级间的电压、电流的关系为0)1(22222211iuinnuiuiupI2U2I1U1n1 图7.31 理想变压器 2.1.2.11InIUnU3 理想变压器的阻抗变换理想变压器的阻抗变换 如图7.32（a）所示为理想变压器电路,若在次级接一负载ZL,那么负载电压 ,这时从初级看进去的输入阻抗为2.2.IZULLiZnIUnInUnIUZ2.222.2.2.1.11(73
31、0)由式(730)可知,图7.32（a）所示含理想变压器电路初级等效电 路如图7.32（b）所示。I2U2I1U1ZLn1(a)n2ZL(b)I1U1图7.32 理想变压器变换阻抗的作用 例例7.7 电路如图7.33（a）所示。如果要使100电阻能获得最大功率,试确定理想变压器的变比n。解解 已知负载R=100,故次级对初级的折合阻抗 ZL=n2100 电路可等效为图7.33（b）所示。由最大功率传输条件可知,当n2100等于电压源的串联电阻（或电源内阻）时,负载可获得最大功率。所以 n2100=900 变比n为 n=3n1(a)U1US900 U2100(b)U1US900 n2100 图7
32、.33 例7.7图 作业：作业：P241页页 7.10小小 结结 (1)耦合电感是研究两个相邻线圈的电磁感应现象，它用三耦合电感是研究两个相邻线圈的电磁感应现象，它用三个参数表征：自感系数个参数表征：自感系数 、和互感系数和互感系数 。带。带“”号的端钮为号的端钮为同名端。同名端是指如果电流从一个线圈的同名端。同名端是指如果电流从一个线圈的“”端流入，那么，端流入，那么，在另一个线圈中，感应的电压在在另一个线圈中，感应的电压在“”端为正极性。端为正极性。也就是说，流入的电流和互感电压的参考方向对同名端一致。212121iiM为了表征互感线圈耦合的紧密程度为了表征互感线圈耦合的紧密程度,定义耦合
33、系数定义耦合系数 21LLMk(0k1)k=1时时,称全耦合称全耦合;k=0时时,称无耦合。称无耦合。(2)在时域电路中耦合电感电压与电流的关系式在时域电路中耦合电感电压与电流的关系式1L2LM 式中各项的正、负号与端钮的电压、电流参考方向及同名端的位式中各项的正、负号与端钮的电压、电流参考方向及同名端的位置有关。置有关。(3)互感线圈串联的等效电感互感线圈串联的等效电感dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu122221114221fsLLMMLLL 顺向串联时为顺向串联时为“+2M”,反向串联时为反向串联时为“2M”。互感。互感MLLMLLL221221 互感线圈并联的等效电感互感线圈
34、并联的等效电感 同侧并联时同侧并联时,2M项前取项前取“”,异侧并联时异侧并联时,2M项前取项前取“+”。用无互感的电路去等效代替有互感的电路称为互感消去法。用无互感的电路去等效代替有互感的电路称为互感消去法。(4)空心变压器（即线性变压器）是利用磁耦合的一种器件。对空心变压器（即线性变压器）是利用磁耦合的一种器件。对于含空心变压器的电路于含空心变压器的电路,可利用反射阻抗的概念可利用反射阻抗的概念,通过作初、次级等效通过作初、次级等效电路的方法进行分析。电路的方法进行分析。(5)理想变压器是在耦合电感基础上理想变压器是在耦合电感基础上,加进无耗、全耦合、参数无加进无耗、全耦合、参数无穷大穷大3个理想条件而抽象出的一类多端元件。它的初、次级电压、电个理想条件而抽象出的一类多端元件。它的初、次级电压、电流关系为流关系为21211ininuu式中各项的正、负号与端钮电压、电流的参考方向和同名端的位式中各项的正、负号与端钮电压、电流的参考方向和同名端的位 置有关。置有关。理想变压器具有理想变压器具有3个重要特性个重要特性:变压、变流、变阻抗。变压、变流、变阻抗。
