1、 第七章第七章 静态、动态测试数据处理静态、动态测试数据处理 本章的主要内容有静态测试数据处理方本章的主要内容有静态测试数据处理方法、回归分析、曲线拟合，动态试验数据法、回归分析、曲线拟合，动态试验数据的时域分析和频域分析。的时域分析和频域分析。第一节 静态测试数据处理 一、试验数据处理方法一、试验数据处理方法 1.1.表格法表格法用表格来表示函数的方法。用表格来表示函数的方法。特点：特点：简单方便，但不能给出所有的函数关系，简单方便，但不能给出所有的函数关系，不易看出函数的变化规律。不易看出函数的变化规律。2.2.图示法图示法根据试验结果作出的尽可能反映真根据试验结果作出的尽可能反映真实情况
2、的曲线。实情况的曲线。特点：特点：直观看出函数变化规律，但图示仅有函数直观看出函数变化规律，但图示仅有函数变化关系而不能进行数学分析。变化关系而不能进行数学分析。3.3.经验公式法经验公式法用回归分析的方法确定经验公用回归分析的方法确定经验公式的函数类型及其参数的方法。式的函数类型及其参数的方法。特点：特点：可对公式进行数学分析。可对公式进行数学分析。二、回归分析与曲线拟合二、回归分析与曲线拟合 为了便于用数学方法研究汽车试验中各被测量之为了便于用数学方法研究汽车试验中各被测量之间的规律，在静态测量数据处理中，寻求用简便的经间的规律，在静态测量数据处理中，寻求用简便的经验公式表达各变量之间的关
3、系是很重要的。根据最小验公式表达各变量之间的关系是很重要的。根据最小二乘法原理确定经验公式的数理统计方法称为回归分二乘法原理确定经验公式的数理统计方法称为回归分析。处理两个变量之间的关系称为一元回归分析。析。处理两个变量之间的关系称为一元回归分析。1.一元线性回归分析一元线性回归分析 如果对两个变量如果对两个变量x 和和y 分别进行了分别进行了n次测定，得到次测定，得到n对测定对测定值（值（，），），(i1，2，n)，将其描在直角坐标图上，将其描在直角坐标图上，就得到就得到n个坐标点。若各点都分布在一条直线附近，则可用个坐标点。若各点都分布在一条直线附近，则可用一条直线来代表变量一条直线来代表
4、变量x与之间的关系。与之间的关系。式中：式中：回归直线上的理论计算值；回归直线上的理论计算值；a,b 线性回归系数。线性回归系数。ixiy yab x y用实例介绍一元线性回归分析的方法和步骤用实例介绍一元线性回归分析的方法和步骤 例：某车辆在水平道路上行驶，测得车辆行驶的距离和时例：某车辆在水平道路上行驶，测得车辆行驶的距离和时间的数值如表间的数值如表7-1所示。求距离与时间的函数关系。所示。求距离与时间的函数关系。表表7-1 解：解：1）回归方程的确定）回归方程的确定 将表将表7-1中的数据画在坐标纸上中的数据画在坐标纸上,如图如图7-1所示。所示。图图7-1 某车行驶时时间某车行驶时时间
5、距离关系距离关系距离(m)700900116011901270149016202130时间(s)3.84.24.74.84.95.45.65.7 从图从图7-1看出，这些点近似于一条直线，于是可以利用一看出，这些点近似于一条直线，于是可以利用一条直线来代表变量之间的关系条直线来代表变量之间的关系 式中：式中：公式中算出的值；公式中算出的值；x 距离距离L的值；的值；a,b 线性回归系数。线性回归系数。2）确定函数中的各参数）确定函数中的各参数 用这条直线算出的用这条直线算出的 值，代表测定数据的平均值，实测值，代表测定数据的平均值，实测值与平均值之差代表残差，残差值越小说明回归直线越接值与平均
6、值之差代表残差，残差值越小说明回归直线越接近理想直线。因此确定回归直线的原则是找出一条直线使近理想直线。因此确定回归直线的原则是找出一条直线使其与实测数据之间的误差比任何其他直线与实测数据之间其与实测数据之间的误差比任何其他直线与实测数据之间的误差都小，即残差的平方和最小，这就是最小二乘法的的误差都小，即残差的平方和最小，这就是最小二乘法的基本思想。记基本思想。记 yabx y y2211()()min nniiiiiiQyyyabx 回归方程的确定就是确定系数回归方程的确定就是确定系数a、b，据，据数学分析数学分析知，知，使使Q取最小的取最小的a、b必须满足如下方程组：必须满足如下方程组：即
7、即 niiibxayaQ10)(2niiiixbxaybQ10)(2niiniiybxna11)(niiiniiniiyxbxax1121)()(解得：或 式中：222 ()iiiiiiixyxx yanxx 22 ()iiiiiinxyx ybnxx ayb x2()()()iiixxyybxx11ninixx11niniyy3 3）对曲线拟合所得经验公式的精度进行检验）对曲线拟合所得经验公式的精度进行检验 尽管最小二乘法反映的是误差最小原则，但所求得的经验尽管最小二乘法反映的是误差最小原则，但所求得的经验公式的精度并非一定可以满足要求。因为，由前面的分析过公式的精度并非一定可以满足要求。因
8、为，由前面的分析过程不难看出，前面计算中的误差最小只是测试结果与我们所程不难看出，前面计算中的误差最小只是测试结果与我们所选定曲线类型之间的误差最小，或许实测结果的规律原本就选定曲线类型之间的误差最小，或许实测结果的规律原本就与选定曲线的类型不符。我们需对曲线拟合的精度进行检验。与选定曲线的类型不符。我们需对曲线拟合的精度进行检验。关于关于“精度精度”检验，人们提出过多种方法，在此仅介绍一种检验，人们提出过多种方法，在此仅介绍一种在工程上最常用的方法，即相对误差法。在工程上最常用的方法，即相对误差法。所谓所谓“精度精度”，事实上就是相对误差的大小。若能将经验，事实上就是相对误差的大小。若能将经
9、验公式的检测结果与实测值之间的相对误差控制在要求的范围公式的检测结果与实测值之间的相对误差控制在要求的范围内，显然是符合工程上的要求的，即：内，显然是符合工程上的要求的，即：式中：式中：允许的相对误差。允许的相对误差。m ax()iiiyyvyv 2.一元非线性回归一元非线性回归 一元线性回归是工程实际中最简单的一种形式，但更多的一元线性回归是工程实际中最简单的一种形式，但更多的是一些非线性的问题。下面介绍如何利用线性回归方法解决非是一些非线性的问题。下面介绍如何利用线性回归方法解决非线性问题。线性问题。1）确定经验公式类型）确定经验公式类型 将测试结果描在坐标图上，并用光滑曲线将其连起来。江
10、将测试结果描在坐标图上，并用光滑曲线将其连起来。江实验曲线与实验曲线与数学手册数学手册上的典型曲线进行比较，选取与试验上的典型曲线进行比较，选取与试验曲线最接近的曲线方程作为经验公式的类型。曲线最接近的曲线方程作为经验公式的类型。2）将曲线进行直线化变换）将曲线进行直线化变换 如：如：双曲线方程双曲线方程 令令 则：则：变为：变为：xbay1yy1xx1xbay1bxay 对数曲线对数曲线 令：令：则：则：指数曲线指数曲线 对上式两边取对数得：对上式两边取对数得：令：令：，则：则：3）按照前面所介绍的直线（一元线性）拟合的方法进行）按照前面所介绍的直线（一元线性）拟合的方法进行计算。计算。4）
11、检验其曲线拟合的精度）检验其曲线拟合的精度，若达不到所需精度的要求，若达不到所需精度的要求，则应重新选择曲线类型进行拟合，直至满足精度要求为止。则应重新选择曲线类型进行拟合，直至满足精度要求为止。5）再将直线方程变换为原曲线方程）再将直线方程变换为原曲线方程。xbaylgxxlgbxaybxcey bxcy lnlnyylncclnbxcy a)a)双曲线双曲线 b)b)指数曲线指数曲线 c)c)幂函数曲线幂函数曲线 d)d)对数曲线对数曲线 e)e)指数曲线指数曲线 f)Sf)S型曲线型曲线 图图7-2 几种常见的典型函数曲线几种常见的典型函数曲线byaxbxyaebyaxlgyabxbxy
12、a e1xyabe3.将试验结果拟合成多项式将试验结果拟合成多项式 前面所讲的典型曲线往往是有限的，当试验结果与任何一条典型曲线前面所讲的典型曲线往往是有限的，当试验结果与任何一条典型曲线都不相符时，就要寻找新的曲线，显然那就是多项式。都不相符时，就要寻找新的曲线，显然那就是多项式。1）多项式次数的确定）多项式次数的确定 多项式次数的确定一般采用差分法。设自变量多项式次数的确定一般采用差分法。设自变量的取值是等间距的，即：的取值是等间距的，即：计算出因变量计算出因变量 的相邻值之间的差值，即一阶差值的相邻值之间的差值，即一阶差值 ，二阶差值二阶差值 为为 ，三阶差值三阶差值 为为 ，2012
13、mmyaa xa xa x21321mmxxxxxxx yy121yyy232yyy11mmmyyy2y2121yyy 2232yyy 3yny322121yyy 322232yyy 11121nnnyyy 11232nnnyyy n阶差值阶差值 为为 ，当某阶差值满足下列关系式时，当某阶差值满足下列关系式时，式中：式中：y y 的测量误差。的测量误差。2）确定多项式的系数）确定多项式的系数 同样用最小二乘法，即：同样用最小二乘法，即：令令 ，即可求出，即可求出 a0，a1，am的数值的数值m ax2 iiyy22201211()()nnmyiiiimiiiiQyyyaa xa xa x210
14、min nmjijiijya x00yQa10yQa0ymQa 3）经验公式精度的检验）经验公式精度的检验 多项式的曲线拟合，其拟合精度的检验方法与一元线性回多项式的曲线拟合，其拟合精度的检验方法与一元线性回归相同。归相同。第二节第二节 动态测试数据处理动态测试数据处理一、动态测试数据处理概述一、动态测试数据处理概述1）动态测试与静态测试）动态测试与静态测试静态测试：静态测试：被测量静止不变被测量静止不变 测量误差基本相互独立测量误差基本相互独立动态测试：动态测试：被测量随时间或空间而变化被测量随时间或空间而变化 测量系统处于动态情况下测量系统处于动态情况下 测量误差具有相关性测量误差具有相关
15、性2）动态测量误差特点）动态测量误差特点时空性；随机性；相关性；动态性时空性；随机性；相关性；动态性1.动态测试动态测试2.动态测试数据的分类动态测试数据的分类确定性数据确定性数据动态测试数据动态测试数据随机过程数据随机过程数据周期数据周期数据非周期数据非周期数据非平稳过程非平稳过程平稳过程平稳过程正弦周期正弦周期复杂周期复杂周期准周期准周期各态历经各态历经瞬态数据瞬态数据非各态历经非各态历经确定性数据：能够用明确的数学关系式表达确定性数据：能够用明确的数学关系式表达）周期数据）周期数据 正弦周期数据正弦周期数据)2sin()(ftAtx 复杂周期数据复杂周期数据0)(fxffA)(txA0t
16、t0)(tx0)(fxf1f0 x13f12 f14 f1x2x3x4x)2sin2cos()(1110nnntnfbtnfaAtx）非周期数据）非周期数据 准周期数据准周期数据)2sin()(1nnnntnfAtx0)(fxf1f3f2f（不全为有理数）（不全为有理数）mnff/瞬态数据瞬态数据0)(fxfaA二、时域内研究随机变量之间的关系二、时域内研究随机变量之间的关系1.两随机变量的相关系数两随机变量的相关系数两变量两变量x,y之间的相关程度：之间的相关程度：相关系数相关系数xyyxyxxyyxE)(1xy分析两个信号或一个信号分析两个信号或一个信号在一定时移前后之间的关系在一定时移前
17、后之间的关系表示一变量随另一变量的增加而增或减。表示一变量随另一变量的增加而增或减。2.信号的自相关函数信号的自相关函数021lim()()()TxxTxxx tx tdtT 对各态历经随机信号及功率信号定义自相关函数对各态历经随机信号及功率信号定义自相关函数为)(xRTTxdttxtxTR0)()(1)(lim22000)()(1lim)()(1lim)(1limxxTTxxTTxTTdttxtxTdttxTdttxT22)()(xxxxR则自相关函数性质：自相关函数性质：2222)(xxxxxR1）2）自相关函数在自相关函数在0时为最大值：时为最大值：TxTxdttxtxTR02)()(1
18、)0(lim3）当）当2(0()()xxxx tR 足够大或时，之间不存在内在关系4）自相关函数为偶函数）自相关函数为偶函数)()(xxRR)()()()(1)()(1)(00limlimxTTTTxRutduuxuxTdttxtxTR令5 5）周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数）周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数,其幅值其幅值 与原周期信号的幅值有关与原周期信号的幅值有关,而丢失了原信号的相位信息而丢失了原信号的相位信息.例例7-1 求正弦函数求正弦函数)sin()(0txtx的自相关函数的自相关函数.为一随机变量为一随机变量.解解:在一个周期内来研究在一个周期内来研究00200
19、001()()()1sin()sin()2,limTxTTRx t x tdtTxttdtTTdtdt令则222000()sin()cos22xxxRd可见可见:正弦函数的自相关函数是一个余弦函数正弦函数的自相关函数是一个余弦函数,在在0时具有最大值时具有最大值,但它不随但它不随的增加而而衰减至零的增加而而衰减至零.它它保留保留了原正弦信号的幅值和频率信息了原正弦信号的幅值和频率信息,而丢失了初始相位信息而丢失了初始相位信息.自相关函数的应用自相关函数的应用:1)1)信号类型的判别信号类型的判别 2)2)实际分析中的应用实际分析中的应用 3.信号的互相关函数信号的互相关函数两个各态历经过程的随
20、机信号两个各态历经过程的随机信号x(t)和和y(t)的互相关函数：的互相关函数：TTxydttytxTR0)()(1)(lim定义互相关函数：)(xyR的性质的性质：yxyxxyxyR)()()()()(yxyxxyyxyxR1）2）同频相关，不同频不相关同频相关，不同频不相关3）互相关函数不是偶函数；互相关函数不是偶函数；时呈最大值0:0 x(t)和和y(t)之间的滞后时间之间的滞后时间当时移当时移足够大或足够大或时时,x(t)和和y(t)互不相关互不相关,。而yxxyxyR)(,0随机过程是平稳的随机过程是平稳的,在在t时刻时刻从样本计算的互相关函数应和从样本计算的互相关函数应和t时刻时刻
21、从样本采样计算的互相关函数是一致的从样本采样计算的互相关函数是一致的,即即:)()()(1lim)()(1lim)()(1lim)(000yxTTTTTTxyRdttxtyTdttytxTdttytxTR)(xyR为非偶函数的证明：为非偶函数的证明：)()()(0)()sin()()sin()()()(2700 xyRtytxttxtytytxtxtytx求其互相关函数的相位差；与时刻的相位角；相对于和设有两个周期信号例解：解：因为是周期函数，可以用一个共同周期内的平均值因为是周期函数，可以用一个共同周期内的平均值 代替其整个历程的平均值，代替其整个历程的平均值，故：故：可见可见:两个均值为零
22、且具有相同频率的周期信号两个均值为零且具有相同频率的周期信号,其互相关函数中保留了这两个信号的其互相关函数中保留了这两个信号的圆频率圆频率,对应的对应的幅值幅值以及以及相位差值相位差值的信息的信息.)cos(21)(sin()sin(1)()(1lim)(0000000yxdttytxTdttytxTRTTTxydttytxTdttytxTRTTTTxy)(sin()sin(1lim)()(1lim)(201000解：解：因为两信号的圆频率不等，不具有共同的周期，因为两信号的圆频率不等，不具有共同的周期，0)(xyR可见，可见，两个非同频的周期信号是不相关的两个非同频的周期信号是不相关的根据正
23、余弦函数的正交性，可知根据正余弦函数的正交性，可知0)(xyR)()sin()()sin()(372010 xyRtytytxtx求其互相关函数频率不等设有两个周期信号的圆例三、试验数据的频域分析与处理三、试验数据的频域分析与处理1.1.自功率谱密度函数自功率谱密度函数 定义及其物理意义：定义及其物理意义：前提：前提：x(tx(t)是零均值的随机过程，即是零均值的随机过程，即0 x 又假定又假定x(tx(t)中没有周期分量，则当中没有周期分量，则当0)(,xRdRx)(:则deRfSfjx2)()(dfefSRfjxx2)()(的自功率谱密度函数)()(txfS为实偶函数)(fSdfRdfRj
24、dfRdeRfSxxxfjx)2cos()(2sin)()2cos()()()(2)()(xRfSdffSdttxTRxTTx)()(1)0(002lim的定义，可得：和自功率谱密度函数，据自相关函数当为自功率谱密度函数故称密度沿频率轴的分布，就是信号的功率率，面积就是信号的平均功的曲线下和频率轴所包围的物理意义：)()()()(fSfSfSfSxxxx应用应用1 1）信号的频域结构特征更为明显）信号的频域结构特征更为明显2 2）检测出信号中有无周期成分）检测出信号中有无周期成分3 3）求系统的幅频特性）求系统的幅频特性:对于一个线性系统，对于一个线性系统，若其输入为若其输入为x(tx(t),
25、),输出为输出为y(ty(t)，系统的频率响应函数为系统的频率响应函数为H(fH(f),),则：则：)()()(fXfHfY)()()(2fSfHfSxy则2)(1lim)(fXTfSTx2.互功率谱密度函数互功率谱密度函数22()(),()()()()()()()()xyxyjfxyxyjfxyxyxyxyRRdSfRedx ty tRSf edfRSf 定义：如果互相关函数满足傅立叶变换的条件则定义为和的互谱密度函数。一对傅立叶变换对应用应用1）获得系统的频率响应函数）获得系统的频率响应函数:)()()(fSfHfSxxy2）排除噪声的影响）排除噪声的影响输出输出:)()()()()(321tntntntxty)()()()()()()()()()(),(),()(321321fSfHfSfSRRRR、Rtntntntxxxxxyxxxyxnxnxn均为零。所以、关函数是独立无关的，故互相和噪声由于输入)()()()()(321xnxnxnxxxyRRRRR
