1、(1)Green公式公式:的取正向的边界曲线。的取正向的边界曲线。是是其中，其中，则有：则有：，上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数在在及及数数围成，函围成，函由分段光滑曲线由分段光滑曲线设单连通区域设单连通区域DLQdyPdxdxdy)yPxQ(D)y,x(Q)y,x(PLDLD一、复习一、复习(2)(2)积分与路径无关的充要条件：积分与路径无关的充要条件：命题命题1、对于对于 中的任何曲线中的任何曲线 ，与路与路 DCcdz)z(f径无关的充要条件是：对于径无关的充要条件是：对于 中的任何简中的任何简D单闭曲线单闭曲线 ，0dz)z(fyPxQ定理定理1、（柯西、（柯西-古萨积分定理）
2、古萨积分定理）.0d)(,)(czzfCDDzf有曲线内的任一条正向简单闭对上的解析函数，则是单连通区域设DC18251825年年 Cauchy Cauchy 建立该定理时，对建立该定理时，对 u u,v v 加了导数连续性加了导数连续性条件；条件；Gaursat Gaursat 去掉了导数连续性的假设。去掉了导数连续性的假设。c.z)z(f0d注意注意2 2 若曲线若曲线 C C 是区域是区域 D D 的边界的边界,)z(f 函数函数则则上连续上连续在闭区域在闭区域 ,CDD ,D内解析内解析在在注意注意1 1 定理中的定理中的 C C 可以不是简单曲线可以不是简单曲线.DC 注意注意3 3
3、 定理的条件必须是定理的条件必须是“单连通区域单连通区域”.解解例例1 11321z.zzd 计计算算积积分分 ,内解析内解析在在函数函数1321zz根据根据CauchyCauchy积分定理积分定理,有有10321z.zzd二、变上限积分与原函数二、变上限积分与原函数定义：定义：设设 在单连通区域在单连通区域 内连续，称复变函数：内连续，称复变函数：)z(fD固定。固定。000z,Dz,z,d)(f)z(Fzz 为变上限积分为变上限积分（积分上限函数）（积分上限函数）积分上限函数的求导积分上限函数的求导定理：定理：设设 在单连通区域在单连通区域 内连续，且对内连续，且对 内任何简单闭曲线内任何
4、简单闭曲线 都有：都有：则变上限积分在则变上限积分在 内解析，且：内解析，且：DCcdz)z(f0Dz)z(f)z(FDD)z(f复变量定积分的计算公式复变量定积分的计算公式:结论：结论：若若，则为的一个原函数，则为的一个原函数;)z(f)z(F)(zF)z(fzzd)(f)z(F0是是 的一个原函数的一个原函数)z(f定理定理:函数是单连通区域函数是单连通区域 内的解析函数，内的解析函数，zfD)z(F)z(Fdz)z(fzz0110是它的一个原函数，对于任意的两点是它的一个原函数，对于任意的两点 、有、有:)z(F0z1z例例3、计算：计算：idzz102例例4、计算：计算：zd11第三节
5、第三节 复合闭路定理复合闭路定理一、复合闭路定理一、复合闭路定理,DC,C,CC,CC,C,CDCnn为边界的区域全含于为边界的区域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它们它们内部的简单闭曲线内部的简单闭曲线是在是在内的一条简单闭曲线内的一条简单闭曲线多连通域多连通域为为设设2121 ,内解析内解析在在如果如果D)z(fDC1C2C3C那末那末,d)(d)(1 nkCCkzzfzzf ;均取正方向均取正方向及及其中其中kCC);(AA,AA如图如图作两条辅助线作两条辅助线4321,n2设设证明证明DCA1A2A3A4C1C2EFGIH构成的边界，构成的边界，为为这样这样IEA
6、HAAGAAFAAEA12344321 二、特殊情况：闭路变形原理二、特殊情况：闭路变形原理 ,)()z(f如图如图在多连通域内解析在多连通域内解析设函数设函数 ),(正向为逆时针方向正向为逆时针方向单闭曲线单闭曲线内的任意两条简内的任意两条简为为及及DCC1.DDCC全含于全含于为边界的区域为边界的区域及及 11DC1C1D CCzzfzzf1d)(d)(由复合闭路原理由复合闭路原理这就是闭路变形原理这就是闭路变形原理解析函数沿闭曲线的积分解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.DC1C1D CCzzfzzf1d)(d)(说明
7、：说明：三、典型例题三、典型例题例例1 1解解 d .z,zzzz曲线曲线在内的任何正向简单闭在内的任何正向简单闭为包含圆周为包含圆周计算积分计算积分2112,10122zzzzz和和内有两个奇点内有两个奇点在复平面在复平面因为函数因为函数依题意知依题意知,xyo 1 包含这两个奇点，包含这两个奇点，,21CC 和和不相交的正向圆周不相交的正向圆周内作两个互不包含也互内作两个互不包含也互在在xyo 1 ,zC01只包含奇点只包含奇点 ,zC12只包含奇点只包含奇点1C2C根据复合闭路原理根据复合闭路原理,zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11C
8、CCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 例例2 2 1 2 d .zz,zzez所组成所组成向圆周向圆周和负和负为正向圆周为正向圆周计算积分计算积分xyo121C2C解解 ,围成一个圆环域围成一个圆环域和和21CC,上处处解析上处处解析在此圆环域和其边界在此圆环域和其边界函数函数zez圆环域的边界构成一条复合闭路圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合原理根据闭路复合原理,.0d zzez例例3 3.,d 为整数为整数的任一简单闭路的任一简单闭路为含为含求求na,z)az(n11解解 ,内部内部在曲线在曲线因为因为a a ,故可取很小的正数故可取很小的正数 ,:1内部内部含在含在使使az1 由闭路变形原理，由闭路变形原理，1 d)(1 d)(1 11zazzaznn,20 ieaz令令 1d)(11zazn 201d)(niieie 20d ninie .0,00,2d)(1 1nnizazn 故故 a 1 这一结果很重要。这一结果很重要。
